Синус и косинус

«Синус» и «Косинус» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Синус (значения) и Косинус (значения) . «Синус» не следует путать со знаком , знаком (математика) или функцией знака .

Синус и косинус
Общая информация
Общее определение	${\begin{aligned}&\sin(\alpha )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]&\cos(\alpha )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]\end{aligned}}$
Области применения	Тригонометрия , ряды Фурье и т. д.

В математике ​ синус и косинус являются тригонометрическими угла функциями . Синус и косинус острого угла определяются в контексте прямоугольного треугольника : для указанного угла его синус — это отношение длины стороны, противоположной этому углу, к длине самой длинной стороны треугольника ( гипотенуза . ), а косинус — отношение длины прилежащего катета к гипотенузы длине Для угла $\theta$, функции синуса и косинуса обозначаются как $\sin(\theta )$ и $\cos(\theta )$.

Определения синуса и косинуса были расширены до любого реального значения в терминах длин определенных отрезков в единичном круге . Более современные определения выражают синус и косинус как бесконечные ряды или как решения некоторых дифференциальных уравнений , позволяя расширять их до произвольных положительных и отрицательных значений и даже до комплексных чисел .

Функции синуса и косинуса обычно используются для моделирования периодических явлений, таких как звуковые и световые волны , положение и скорость гармонических осцилляторов, интенсивность солнечного света и продолжительность дня, а также изменения средней температуры в течение года. Их можно проследить до функций джья и коти-джья, которые использовались в индийской астрономии в период Гуптов .

Элементарные описания

Определение прямоугольного треугольника

Для угла α функция синуса дает отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.

Определить синус и косинус острого угла. $\alpha$, начните с прямоугольного треугольника , содержащего угол измерения $\alpha$; на прилагаемом рисунке угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ представляет собой угол интереса. Три стороны треугольника называются следующим образом:

• Противоположная сторона — это сторона, противоположная интересующему углу; в данном случае это $a$.
• Гипотенуза — это сторона , противолежащая прямому углу; в данном случае это $h$. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника.
• Прилегающая сторона является оставшейся стороной; в данном случае это $b$. Он образует сторону (и примыкает к) как интересующего угла, так и прямого угла.

Если такой треугольник выбран, синус угла равен длине противоположной стороны, деленной на длину гипотенузы, а косинус угла равен длине прилежащей стороны, разделенной на длину гипотенузы. гипотенуза: $$\sin(\alpha )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.$$

Другие тригонометрические функции

Аналогично определяются и другие тригонометрические функции угла; например, тангенс — это соотношение между противоположной и прилегающей сторонами или, что то же самое, соотношение между функциями синуса и косинуса. Обратная величина синуса — косеканс, который дает отношение длины гипотенузы к длине противоположной стороны. Точно так же обратная величина косинуса является секущей, что дает отношение длины гипотенузы к длине прилежащей стороны. Котангенс – это отношение между прилежащей и противоположной сторонами, обратное касательной. Эти функции можно сформулировать как: $${\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adjacent}}{\text{opposite}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}.\end{aligned}}$$

Специальные угловые меры

Как было сказано, значения $\sin(\alpha )$ и $\cos(\alpha )$ по-видимому, зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол измерения $\alpha$. Однако это не так, поскольку все такие треугольники подобны , и поэтому соотношения для каждого из них одинаковы. Например, каждый катет прямоугольного треугольника 45-45-90 равен 1 единице, а его гипотенуза равна ${\sqrt {2}}$; поэтому, ${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$. В следующей таблице показаны специальные значения каждого входа как для синуса, так и для косинуса с областью значений между ${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$. Входные данные в этой таблице предоставляют различные системы единиц измерения, такие как градусы, радианы и т. д. Углы, отличные от этих пяти, можно получить с помощью калькулятора.

Угол, х				грех( х )		потому что ( х )
Степени	радианы	Градианы	Повороты	Точный	Десятичный	Точный	Десятичный
0°	0	0 г	0	0	0	1	1
30°	⁠ 1 / 6 ⁠ π	⁠33 + 1 / 3 ⁠ г	⁠ 1 / 12 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠	0.5	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0.8660
45°	⁠ 1 / 4 ⁠ π	50 г	⁠ 1 / 8 ⁠	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0.7071	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0.7071
60°	⁠ 1 / 3 ⁠ π	⁠66 + 2 / 3 ⁠ г	⁠ 1 / 6 ⁠	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0.8660	⁠ 1 / 2 ⁠	0.5
90°	⁠ 1 / 2 ⁠ π	100 г	⁠ 1 / 4 ⁠	1	1	0	0

Законы

Основные статьи: Закон синусов и Закон косинусов

Иллюстрация закона синусов и косинусов

Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Учитывая, что треугольник $ABC$ с боками $a$, $b$, и $c$, и углы, лежащие против этих сторон $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$. Закон гласит, $${\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.$$Это эквивалентно равенству первых трех выражений ниже: $${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$$где $R$ треугольника — радиус описанной окружности .

Закон косинусов полезен для вычисления длины неизвестной стороны, если известны две другие стороны и угол. Закон гласит, $$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}$$В случае, когда $\gamma =\pi /2$ откуда $\cos(\gamma )=0$, полученное уравнение становится теоремой Пифагора .

Определение вектора

Перекрестное произведение — это операция между двумя векторами в евклидовом векторном пространстве , а скалярное произведение — это две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы ) и возвращает одно число. Функции синуса и косинуса можно определить с помощью векторного и скалярного произведения соответственно, как показано ниже: $\mathbb {a}$ и $\mathbb {b}$ являются векторами и $\mathbb {n}$ - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей $\mathbb {a}$ и $\mathbb {b}$, то функцию синуса и косинуса можно определить, алгебраически манипулируя формулой следующим образом: $${\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{\mathbb {n} \cdot \|\mathbb {a} \|\|\mathbb {b} \|}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a|\cdot |b|}}.\end{aligned}}$$

Аналитические описания

Определение единичного круга

Функции синуса и косинуса также можно определить более общим способом, используя единичный круг , круг радиуса один с центром в начале координат. $(0,0)$, сформулированное как уравнение $x^{2}+y^{2}=1$ в декартовой системе координат . Пусть линия, проходящая через начало координат, пересекает единичную окружность, образуя угол $\theta$ с положительной половиной $x$- ось. $x$- и $y$- координаты этой точки пересечения равны $\cos(\theta )$ и $\sin(\theta )$, соответственно; то есть, $$\sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.$$

Это определение согласуется с определением синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, когда ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ потому что длина гипотенузы единичной окружности всегда равна 1; Говоря математическим языком, синус угла равен противоположной стороне треугольника, который представляет собой просто $y$- координировать. Аналогичный аргумент можно привести и в отношении функции косинуса, чтобы показать, что косинус угла при ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$, даже в соответствии с новым определением, использующим единичный круг.

График функции и его элементарные свойства

Анимация, демонстрирующая, как синусоидальная функция (красный цвет) отображается на основе y координаты (красная точка) точки на единичном круге (зеленый цвет) под углом θ . Косинус (синий) — это x координата .

Преимущество использования определения единичного круга заключается в построении графика функций синуса и косинуса. Это можно сделать, вращая против часовой стрелки точку вдоль окружности, в зависимости от введенных данных. $\theta >0$. В синусоидальной функции, если входной сигнал ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$, точка поворачивается против часовой стрелки и останавливается точно на $y$- ось. Если $\theta =\pi$, точка находится на середине круга. Если $\theta =2\pi$, точка вернулась в исходное положение. Это приводит к тому, что функции синуса и косинуса имеют диапазон между $-1\leq y\leq 1$.

Расширяя угол до любой реальной области, точка непрерывно вращалась против часовой стрелки. Аналогично это можно сделать и для функции косинуса, хотя сначала точка поворачивается от $y$- координировать. Другими словами, функции синуса и косинуса являются периодическими , то есть любой угол, добавляемый окружностью окружности, сам по себе является углом. Математически, $$\sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).$$

Функция $f$ называется странным, если $f(-x)=-f(x)$, и говорят, что даже если $f(-x)=f(x)$. Функция синуса нечетная, а функция косинуса четная. Функции синуса и косинуса подобны, их разница смещается на ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$. Это означает, $${\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}$$

Итерация с фиксированной точкой x _{n +1} = cos( x _n ) с начальным значением x ₀ = −1 сходится к числу Дотти.

Ноль — единственная реальная фиксированная точка синусоидальной функции; другими словами, единственное пересечение функции синуса и тождественной функции - это $\sin(0)=0$. Единственная действительная неподвижная точка косинуса называется числом Дотти . Число Дотти — это единственный вещественный корень уравнения. $\cos(x)=x$. Десятичное расширение числа Дотти составляет примерно 0,739085.

Непрерывность и дифференциация

Основная статья: Дифференцирование тригонометрических функций

Квадранты единичного круга и sin( x ), используя декартову систему координат .

Функции синус и косинус бесконечно дифференцируемы. Производная синуса – косинус, а производная косинуса – отрицательный синус: $${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).$$Продолжение процесса в производной более высокого порядка приводит к повторению одних и тех же функций; четвертая производная синуса — это сам синус. Эти производные можно применить к тесту первой производной , согласно которому монотонность функции можно определить как неравенство первой производной функции, которая больше или меньше нуля. Его также можно применить к тесту второй производной , согласно которому вогнутость функции может быть определена путем применения неравенства второй производной функции, большей или меньшей, чем равная нулю. В следующей таблице показано, что функции синуса и косинуса имеют вогнутость и монотонность — положительный знак ( $+$) обозначает, что график растет (движется вверх), а отрицательный знак ( $-$) уменьшается (движется вниз) — в определенные промежутки времени. Эту информацию можно представить в виде декартовой системы координат, разделенной на четыре квадранта.

Квадрант	Угол		Его			Косинус
	Степени	радианы	Знак	Монотонность	Выпуклость	Знак	Монотонность	Выпуклость
1-й квадрант, я	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<{\frac {\pi }{2}}$	$+$	увеличение	вогнутый	$+$	уменьшение	вогнутый
2-й квадрант, II	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}<x<\pi$	$+$	уменьшение	вогнутый	$-$	уменьшение	выпуклый
3-й квадрант, III	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<{\frac {3\pi }{2}}$	$-$	уменьшение	выпуклый	$-$	увеличение	выпуклый
4-й квадрант, IV	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi$	$-$	увеличение	выпуклый	$+$	увеличение	вогнутый

Функции синуса и косинуса можно определить с помощью дифференциальных уравнений. Пара $(\cos \theta ,\sin \theta )$ это решение $(x(\theta ),y(\theta ))$ к двумерной системе дифференциальных уравнений $y'(\theta )=x(\theta )$ и $x'(\theta )=-y(\theta )$ с начальными условиями $y(0)=0$ и $x(0)=1$. Можно интерпретировать единичную окружность в приведенных выше определениях как определение траектории фазового пространства дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Ее можно интерпретировать как траекторию в фазовом пространстве системы дифференциальных уравнений. $y'(\theta )=x(\theta )$ и $x'(\theta )=-y(\theta )$ начиная с начальных условий $y(0)=0$ и $x(0)=1$.

Интеграл и использование в измерениях

Основная статья: Список интегралов тригонометрических функций

Их площадь под кривой можно получить, воспользовавшись интегралом с некоторым ограниченным интервалом. Их первообразные: $$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,$$где $C$ обозначает константу интегрирования . Эти первообразные можно применять для вычисления свойств измерения кривых как синусоидальных, так и косинусоидальных функций с заданным интервалом. Например, длина дуги синусоиды между $0$ и $t$ является $$\int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),$$где $\operatorname {E} (\varphi ,k)$ – неполный эллиптический интеграл второго рода с модулем $k$. Его невозможно выразить с помощью элементарных функций . В случае полного периода длина его дуги равна $$L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404\ldots$$где $\Gamma$ и функция гамма - $\varpi$ — константа лемнискаты .

Обратные функции

Обычные главные значения функций arcsin( x ) и arccos( x ), изображенные на декартовой плоскости

Обратная функция синуса — это арксинус или обратный синус, обозначаемый как «арксинус», «асин» или «асинус». $\sin ^{-1}$. Обратная функция косинуса — это арккосинус, обозначаемый как «arccos», «acos» или «acos». $\cos ^{-1}$. Поскольку синус и косинус не являются инъективными , их обратные функции являются не точными обратными функциями, а частичными обратными функциями. Например, $\sin(0)=0$, но и $\sin(\pi )=0$, $\sin(2\pi )=0$, и так далее. Отсюда следует, что функция арксинус многозначна: $\arcsin(0)=0$, но и $\arcsin(0)=\pi$, $\arcsin(0)=2\pi$, и так далее. Если требуется только одно значение, функция может быть ограничена своей основной ветвью . При этом ограничении для каждого $x$ в области выражение $\arcsin(x)$ будет оценивать только одно значение, называемое его основным значением . Стандартный диапазон главных значений arcsin составляет от ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ к ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$, а стандартный диапазон для arccos составляет от $0$ к $\pi$.

Обратная функция синуса и косинуса определяется как: $$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),$$где для некоторого целого числа $k$, $${\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}$$По определению обе функции удовлетворяют уравнениям: $$\sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x$$и $${\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}$$

Другие личности

Основная статья: Список тригонометрических тождеств

Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме двух квадратов катетов прямоугольного треугольника. Разделив формулу на обе части на квадрат гипотенузы, получим тригонометрическое тождество Пифагора , сумма квадрата синуса и квадрата косинуса равна 1: $$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.$$

Синус и косинус удовлетворяют следующим формулам двойного угла: $${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}$$

Синусоидальная функция выделена синим цветом, а функция синусоидального квадрата — красным. Ось X указана в радианах.

Формула косинуса двойного угла подразумевает, что sin ² и потому что ² сами по себе являются смещенными и масштабированными синусоидальными волнами. Конкретно, $$\sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$$На графике показаны функции синуса и синуса в квадрате: синус выделен синим цветом, а синус в квадрате — красным. Оба графика имеют одинаковую форму, но с разными диапазонами значений и разными периодами. Синус-квадрат имеет только положительные значения, но количество периодов в два раза больше.

Ряды и полиномы

Эта анимация показывает, как включение все большего количества членов в частичную сумму ряда Тейлора приближается к синусоидальной кривой.

Функции синуса и косинуса можно определить с помощью ряда Тейлора , — степенного ряда включающего производные более высокого порядка. Как упоминалось в § Непрерывность и дифференцирование , производная синуса — это косинус, а производная косинуса — это отрицательное число синуса. Это означает, что последовательные производные $\sin(x)$ являются $\cos(x)$, $-\sin(x)$, $-\cos(x)$, $\sin(x)$, продолжая повторять эти четыре функции. $(4n+k)$- ая производная, оцененная в точке 0: $$\sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}$$где верхний индекс представляет собой повторное дифференцирование. Это подразумевает следующее разложение в ряд Тейлора при $x=0$. Затем можно использовать теорию рядов Тейлора, справедливы следующие тождества . чтобы показать, что для всех действительных чисел $x$-где $x$ — угол в радианах. В более общем смысле для всех комплексных чисел : $${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}$$Взяв производную каждого члена, получим ряд Тейлора для косинуса: $${\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}$$

Функции синуса и косинуса с несколькими углами могут выглядеть как их линейная комбинация , в результате чего получается полином. Такой полином известен как тригонометрический полином . Широкие возможности применения тригонометрического полинома можно найти в его интерполяции и расширении периодической функции, известной как ряд Фурье . Позволять $a_{n}$ и $b_{n}$ любые коэффициенты, то тригонометрический полином степени $N$-обозначается как $T(x)$— определяется как: $$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).$$

Тригонометрический ряд можно определить аналогично тригонометрическому полиному, его бесконечному обращению. Позволять $A_{n}$ и $B_{n}$ быть любыми коэффициентами, то тригонометрический ряд можно определить как: $${\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).$$В случае ряда Фурье с заданной интегрируемой функцией $f$, коэффициенты тригонометрического ряда: $${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}$$

Связь комплексных чисел

Определения сложных экспоненциальных функций

И синус, и косинус можно расширить с помощью комплексного числа , набора чисел, состоящего как из действительных , так и из мнимых чисел . Для действительного числа $\theta$, определение функций синуса и косинуса можно расширить в комплексной плоскости с помощью экспоненциальной функции следующим образом: $${\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}$$

Альтернативно обе функции могут быть определены с помощью формулы Эйлера : $${\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}$$

При построении графика на комплексной плоскости функция $e^{ix}$ для реальных значений $x$ чертит единичную окружность в комплексной плоскости. Функции синуса и косинуса можно упростить до мнимой и действительной частей. $e^{i\theta }$ как: $${\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}$$

Когда $z=x+iy$ за реальные ценности $x$ и $y$, где $i={\sqrt {-1}}$, функции синуса и косинуса можно выразить через действительные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом: $${\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}$$

Полярные координаты

$\cos(\theta )$ и $\sin(\theta )$ являются реальной и мнимой частями $e^{i\theta }$.

Синус и косинус используются для соединения действительной и мнимой частей комплексного числа с его полярными координатами. $(r,\theta )$: $$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),$$а действительная и мнимая части: $${\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}$$где $r$ и $\varphi$ представляет величину и угол комплексного числа $z$.

Для любого действительного числа $\theta$, формула Эйлера в полярных координатах имеет вид ${\textstyle z=re^{i\theta }}$.

Сложные аргументы

Раскраска области sin( z ) в комплексной плоскости. Яркость указывает абсолютную величину, оттенок представляет собой сложный аргумент.

sin( z ) как векторное поле

Применение определения синуса и косинуса в виде ряда к комплексному аргументу z дает:

${\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}$

где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус . Это целые функции .

Также иногда полезно выразить сложные функции синуса и косинуса через действительную и мнимую части аргумента:

${\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}$

Частные дроби и разложения по произведениям комплексного синуса

Используя технику разложения в частные дроби в комплексном анализе , можно обнаружить, что бесконечный ряд $$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}$$оба сходятся и равны ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$. Аналогично можно показать, что $${\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.$$

Используя технику расширения продукта, можно получить $$\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).$$Альтернативно, бесконечное произведение синуса можно доказать с помощью комплексного ряда Фурье .

Использование комплексного синуса

sin( z ) находится в функциональном уравнении для гамма-функции ,

$\Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},$

что, в свою очередь, находится в функциональном уравнении для дзета-функции Римана ,

$\zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).$

Как голоморфная функция , sin z является двумерным решением уравнения Лапласа :

$\Delta u(x_{1},x_{2})=0.$

Комплексная синусоидальная функция также связана с кривыми уровня маятников .

Сложные графики

Синусоидальная функция в комплексной плоскости

реальный компонент	мнимая компонента	величина

Арксинусная функция в комплексной плоскости

реальный компонент	мнимая компонента	величина

Фон

Этимология

Основная статья: История тригонометрии § Этимология

Слово синус косвенно происходит от санскритского слова jyā «тетива лука» или, точнее, от его синонима jīvá (оба заимствованы из древнегреческого χορδή «струна» из-за визуального сходства между дугой круга с соответствующей хордой и лук с тетивой (см. jyā, koti-jyā и utkrama-jyā ). Это слово было транслитерировано по -арабски как jība , что на этом языке бессмысленно и пишется как jb ( جب ). Поскольку в арабском языке нет кратких гласных, jb было. интерпретируется как омограф джайб ( جيب ), что означает «грудь», «карман» или «складка». Когда арабские тексты Аль-Баттани и аль-Хорезми были переведены на средневековую латынь в XII веке Герардом Кремонским , он использовал латинский эквивалент sinus (который также означает «залив» или «складка», а точнее «висячий»). складка тоги на груди»). Джерард, вероятно, был не первым ученым, использовавшим этот перевод; Роберт Честерский, по-видимому, предшествовал ему, и есть свидетельства еще более раннего использования. Английская форма синуса была введена в 1590-х годах.

Слово косинус происходит от аббревиатуры латинского комплементи синус «синус дополнительного угла » как косинус в Эдмунда Гюнтера » «Каноне треугольника (1620), который также включает аналогичное определение котангена .

История

Основная статья: История тригонометрии

Квадрант из Османской Турции 1840-х годов с осями для поиска синуса и версинуса углов.

Хотя раннее изучение тригонометрии восходит к древности, тригонометрические функции , используемые сегодня, были разработаны в средневековый период. Функция аккорда была открыта Гиппархом из Никеи (180–125 гг. До н.э.) и Птолемеем из Римского Египта (90–165 гг. н.э.).

Функции синуса и косинуса можно проследить до функций джья и коти-джья, которые использовались в индийской астрономии в период Гуптов ( Арьябхатия и Сурья Сиддханта ), посредством перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латынь.

Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к 9 веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), остальные пять современных тригонометрических функций были открыты арабскими математиками, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Аль-Хваризми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) открыл взаимные функции секущего и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °.

Первое опубликованное использование аббревиатур sin , cos и tan принадлежит французскому математику XVI века Альберту Жирару ; в дальнейшем они были обнародованы Эйлером (см. ниже). Opus palatinum de triangulis Георга Иоахима Ретикуса , ученика Коперника , был, вероятно, первым в Европе, который определил тригонометрические функции непосредственно в терминах прямоугольных треугольников вместо кругов, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была завершена учеником Ретикуса Валентином Отоном в 1596 году.

В статье, опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . Роджер Коутс вычислил производную синуса в своей «Harmonia Mensurarum» (1722 г.). Работа Леонарда Эйлера « Introductio in analysin infinitorum» (1748 г.) в основном способствовала созданию аналитической трактовки тригонометрических функций в Европе, а также определила их как бесконечные ряды и представила « формулу Эйлера », а также почти современные сокращения греха. , потому что. , Тан. , детская кроватка. , сек. , и косек.

Реализации программного обеспечения

См. также: Справочная таблица § Вычисление синусов.

Стандартного алгоритма вычисления синуса и косинуса не существует. IEEE 754 , наиболее широко используемый стандарт для спецификации надежных вычислений с плавающей запятой, не рассматривает вычисление тригонометрических функций, таких как синус. Причина в том, что не известен эффективный алгоритм вычисления синуса и косинуса с заданной точностью, особенно для больших входных данных.

Алгоритмы расчета синуса могут быть сбалансированы с учетом таких ограничений, как скорость, точность, портативность или диапазон принимаемых входных значений. Это может привести к разным результатам для разных алгоритмов, особенно для особых обстоятельств, таких как очень большие входные данные, например sin(1022).

Общая оптимизация программирования, особенно используемая в 3D-графике, заключается в предварительном расчете таблицы значений синуса, например, одного значения на градус, затем для промежуточных значений выбирают ближайшее предварительно рассчитанное значение или линейно интерполируют между двумя ближайшими значениями. значения для его аппроксимации. Это позволяет искать результаты в таблице, а не рассчитывать их в реальном времени. При использовании современных архитектур ЦП этот метод может не дать никаких преимуществ.

Алгоритм CORDIC обычно используется в научных калькуляторах.

Функции синуса и косинуса, а также другие тригонометрические функции широко доступны на разных языках программирования и платформах. В вычислительной технике их обычно сокращают до sin и cos.

Некоторые архитектуры ЦП имеют встроенную инструкцию для синуса, включая FPU Intel x87, начиная с 80387.

В языках программирования, sin и cos обычно являются либо встроенной функцией, либо находятся в стандартной математической библиотеке языка. Например, стандартная библиотека C определяет функции синуса в math.h : sin(double), sinf(float), и sinl(long double). Параметр каждого из них представляет собой значение с плавающей запятой , определяющее угол в радианах. Каждая функция возвращает тот же тип данных , который она принимает. также определены многие другие тригонометрические функции В math.h , например, для косинуса, арксинуса и гиперболического синуса (sinh). Аналогично, Python определяет math.sin(x) и math.cos(x) внутри встроенного math модуль. В программе также доступны сложные функции синуса и косинуса. cmath модуль, например cmath.sin(z). CPython Математические функции вызывают C math библиотеку и использовать формат чисел с плавающей запятой двойной точности .

Пошаговые реализации

Некоторые библиотеки программного обеспечения предоставляют реализации синуса и косинуса с использованием входного угла в пол- оборота , причем полуоборот представляет собой угол 180 градусов или $\pi$ радианы. Представление углов в виде поворотов или полуповоротов в некоторых случаях имеет преимущества в точности и эффективности. В MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA и ARM эти функции называются sinpi и cospi. Например, sinpi(x) оценил бы $\sin(\pi x),$ где x выражается в полуоборотах, и, следовательно, окончательный вход в функцию πx можно интерпретировать в радианах как sin .

Преимущество точности обусловлено способностью идеально отображать ключевые углы, такие как полный оборот, полуоборот и четверть оборота, без потерь в двоичном формате с плавающей запятой или с фиксированной запятой. Напротив, представляя $2\pi$, $\pi$, и ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ в двоичном формате с плавающей запятой или в двоичном масштабе с фиксированной запятой всегда происходит потеря точности, поскольку иррациональные числа не могут быть представлены конечным числом двоичных цифр.

Повороты также имеют преимущество в точности и эффективности при вычислении по модулю до одного периода. Вычисления по модулю 1 оборота или по модулю 2 полуоборотов могут быть выполнены без потерь и эффективно как с плавающей, так и с фиксированной запятой. Например, вычисление по модулю 1 или по модулю 2 для значения с фиксированной точкой в ​​двоичном масштабе требует только побитового сдвига или побитовой операции И. Напротив, вычисление по модулю ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ предполагает неточности в представлении ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$.

В приложениях, в которых используются датчики угла, датчик обычно обеспечивает измерение угла в форме, непосредственно совместимой с поворотами или полуповоротами. Например, датчик угла может считать от 0 до 4096 за один полный оборот. Если в качестве единицы измерения угла используются полуобороты, то значение, полученное от датчика, напрямую и без потерь отображается в тип данных с фиксированной точкой с 11 битами справа от двоичной точки. Напротив, если в качестве единицы хранения угла используются радианы, то неточности и стоимость умножения необработанного целого числа датчика на приближение ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$ было бы понесено.

См. также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Формула аппроксимации синуса Бхаскары I
• Дискретное синусоидальное преобразование
• Эллиптические функции Диксона
• Формула Эйлера
• Обобщенная тригонометрия
• Гиперболическая функция
• Лемнискатные эллиптические функции
• Закон синусов
• Список периодических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Серия Мадхава
• Таблица синусов Мадхавы
• Теорема оптического синуса
• Полярный синус - обобщение углов при вершинах.
• Доказательства тригонометрических тождеств.
• Функция Sinc
• Синусные и косинусные преобразования
• Синусоидальный интеграл
• Синусоидальный квадрант
• Синусоидальная волна
• Уравнение Синус – Гордон
• Синусоидальная модель
• СОХ-КА-ТОА
• Тригонометрические функции
• Тригонометрический интеграл

Ссылки

Цитируемые работы

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , девятое издание
• Адлай, Семен (2012), «Красноречивая формула для периметра эллипса» (PDF) , Американское математическое общество , 59 (8): 1097
• Экслер, Шелдон (2012), Алгебра и тригонометрия , John Wiley & Sons , ISBN  978-0470-58579-5
• Бурштейн, Людмила; Бурштейн, Андрей (2022), Теория бесконечных последовательностей и рядов , Springer, doi : 10.1007/978-3-030-79431-6 , ISBN  978-3-030-79431-6
• Гюнтер, Эдмунд (1620), Канон треугольников
• Хоуи, Джон М. (2003), Комплексный анализ , Springer, номер документа : 10.1007/978-1-4471-0027-0 , ISBN  978-1-4471-0027-0
• Траупман, доктор философии, Джон К. (1966), Латинский и английский словарь Нового колледжа , Торонто: Bantam, ISBN  0-553-27619-0
• Кац, Виктор Дж. (2008), История математики (PDF) (3-е изд.), Бостон: Аддисон-Уэсли, Английское слово «синус» происходит от серии неправильных переводов санскритского jyā-ardha (половина аккорда). ). Арьябхата часто сокращал этот термин до джья или его синонима джива . Когда некоторые из индуистских произведений позже были переведены на арабский язык, это слово было просто фонетически транскрибировано в бессмысленное арабское слово джиба . Но поскольку арабский язык пишется без гласных, более поздние авторы интерпретировали согласные jb как jaib , что означает грудь или грудь. В двенадцатом веке, когда работа по арабской тригонометрии была переведена на латынь, переводчик использовал эквивалентное латинское слово sinus , которое также означало грудь и, в более широком смысле, складку (как в тоге на груди), залив или залив.
• Маор, Эли (1998), Тригонометрические наслаждения , Princeton University Press
• Мерле, Жан-Пьер (2004), «Заметки по истории тригонометрических функций», в Чеккарелли, Марко (редактор), Международный симпозиум по истории машин и механизмов , Springer, doi : 10.1007/1-4020-2204 -2
• Мерцбах, Ута К. ; Бойер, Карл Б. (2011), История математики (3-е изд.), John Wiley & Sons . Наше слово «синус» появилось в результате перевода Роберта Честера с арабского языка. Индусы дали полухорде название джива в тригонометрии, а арабы переняли его как джиба. В арабском языке также есть слово джаиб, означающее «залив» или «залив». Когда Роберт Честерский пришел переводить техническое слово джиба, он, кажется, перепутал его со словом джаиб (возможно, потому, что гласные были опущены); следовательно, он использовал слово sinus, латинское слово, означающее «залив» или «входное отверстие».
• Плофкер (2009), Математика в Индии , Princeton University Press
• Пауэлл, Майкл Дж. Д. (1981), Теория и методы приближения , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-29514-7
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157
• Смит, Д.Э. (1958) [1925], История математики , том. Я, Dover Publications , ISBN  0-486-20429-4
• Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007), Исчисление (9-е изд.), Пирсон Прентис Холл , ISBN  978-0131469686
• Винс, Джон (2023), Исчисление для компьютерной графики , Springer, doi : 10.1007/978-3-031-28117-4 , ISBN  978-3-031-28117-4
• Янг, Синтия (2012), Тригонометрия (3-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  978-1-119-32113-2
• ——— (2017), Тригонометрия (4-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  978-1-119-32113-2
• Циммерманн, Пол (2006), «Можем ли мы доверять числам с плавающей запятой?», «Большие проблемы информатики» (PDF) , стр. 14/31 {{citation}}: CS1 maint: статус URL ( ссылка )
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е, переиздание), Cambridge University Press , MR   0236587

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с функцией синуса, на Викискладе?