Поворот (угол)

Революция
Революция
Единица	Вращение
Символ	оборот, r, цикл, c
Конверсии
1 оборот за...	... равно...
Базовые единицы	1

Вращение
Вращение
Другие имена	количество оборотов, количество циклов, количество оборотов, количество оборотов
Общие символы	Н
единица СИ	Безразмерный
Измерение	1

Повернуть
Повернуть
	против часовой стрелки Вращение вокруг центральной точки, где полный поворот соответствует углу поворота в 1 оборот.
Общая информация
Единица	Плоский угол
Символ	тр, пла, оборот, цикл
Конверсии
1 тр в...	... равно...
радианы	2 π рад ; ≈ 6,283 185 307 ... рад
миллирадианы	2000 пи мрад ; ≈ 6 283 .185 307 ... мрад
степени	360°
градиенты	400 г

Поворот равная (символ tr , pla или N ) — это единица измерения плоского угла, угловой мере, заключенной в полный круг в его центре. Таким образом, он равен $2 π$ радиан , 360 градусам или 400 граданам . В качестве угловой единицы один оборот также соответствует одному циклу (символ cyc или c ). ^[1] или на один оборот (символ rev или r ). ^[2] Распространенными единицами измерения частоты являются циклы в секунду (cps) и обороты в минуту (об/мин). ^[а] Угловая единица витка полезна, среди прочего, в связи с электромагнитными катушками (например, трансформаторами ), вращающимися объектами и количеством намоточных кривых.

В ISQ произвольное «количество оборотов» (также известное как «число оборотов» или «количество циклов») формализуется как безразмерная величина , называемая вращением , определяемая как соотношение заданного угла и полного оборота. представлен символом Н. Он ( см. ниже Формулу .) Подразделения поворота включают полуобороты и четверть оборота, охватывающие полукруг и прямой угол соответственно; Также можно использовать метрические префиксы , например, сантитурны (ctr), миллитурны (mtr) и т. д.

Другая распространенная единица представления углов — радианы, которые обычно выражаются в единицах измерения углов. $\pi$ ( пи ). Символ $\pi$ , обозначающий один полуоборот, был разработан Уильямом Джонсом в 1706 году, а затем популяризирован Леонардом Эйлером . ^[3]^[4] В 2010 году Майкл Хартл предложил вместо этого использовать символ $\tau$ (тау), равный $2\pi$ и соответствует одному повороту для большей концептуальной простоты. ^[5] Первоначально это предложение не получило широкого признания в математическом сообществе. ^[6] но константа получила более широкое распространение, ^[7] был добавлен в несколько основных языков программирования и калькуляторов.

Символы единиц [ править ]

Для хода и связанных с ним концепций имеется несколько символов единиц.

Единицы СИ [ править ]

В Международной системе величин (ISQ) вращение (символ N ) — это физическая величина, определяемая как количество оборотов : ^[8]

N — число (не обязательно целое число) оборотов, например, вращающегося тела вокруг заданной оси. Его значение определяется:
$N={\frac {\varphi }{2\pi \;\mathrm {rad} }}$
где φ обозначает меру вращательного смещения .

Приведенное выше определение является частью ISQ, формализованного в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время). ^[8] и принята в Международной системе единиц (СИ). ^[9]^[10] В ISQ/SI вращение используется для получения частоты вращения ( скорости изменения вращения во времени), обозначаемой n :

n={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}

является Производной единицей частоты вращения в системе СИ обратная секунда (с). ^-1). Обычными связанными единицами измерения частоты являются герцы (Гц), циклы в секунду (cps) и обороты в минуту (об/мин).

Замененная версия ISO 80000-3:2006 определяет «революцию» как специальное название безразмерной единицы «один». ^[б]который получил и другие специальные названия, например радиан. ^[с]Несмотря на свою размерную однородность , эти две специально названные безразмерные единицы применимы для несравнимых видов величин : поворота и угла соответственно. ^[12]«Цикл» также упоминается в ISO 80000-3 в определении периода . ^[д]

ЕС и Швейцария [ править ]

Немецкий стандарт DIN 1315 (март 1974 г.) предложил для поворотов символ единицы измерения «pla» (от латинского: plenus angulus «полный угол»). ^[13]^[14] Описанный в стандарте DIN 1301-1 [ de ] (октябрь 2010 г.), так называемый Фольвинкель («полный угол») не является единицей СИ . Однако это законная единица измерения в ЕС. ^[15]^[16] и Швейцария. ^[17]

Калькуляторы [ править ]

Научные калькуляторы HP 39gII и HP Prime поддерживают символ единицы «tr» для оборотов с 2011 и 2013 годов соответственно. Поддержка «tr» также была добавлена в новый RPL для HP 50g в 2016 году, а также для hp 39g+ , HP 49g+ , HP 39gs и HP 40gs в 2017 году. ^[18]^[19] Угловой режим ПОВОРОТ был предложен для WP 43S . и ^[20] но вместо этого калькулятор реализует «MUL $π$ » ( кратное $π$ ) в качестве режима и единицы измерения с 2019 года. ^[21]^[22]

Подразделения [ править ]

Оборот можно разделить на 100 сантуритнов или 1000 миллитурнов, причем каждый миллитурн соответствует углу 0,36°, который также можно записать как 21′ 36″ . ^[23]^[24] Транспортир , разделенный на сантитурны, обычно называется « процентным транспортиром».

Хотя процентные транспортиры существуют с 1922 года, ^[25] термины сантитурн, миллитурн и микрооборот были введены гораздо позже британским астрономом Фредом Хойлом в 1962 году. ^[23]^[24] Некоторые измерительные приборы для артиллерийского и спутникового наблюдения имеют миллитурновую шкалу. ^[26]^[27]

двоичные дроби оборота Также используются . Моряки традиционно делили поворот на 32 точки компаса , которые неявно имеют угловое расстояние 1/32 оборота. Двоичная степень , также известная как двоичный радиан (или бред ), равна 1/256 оборота . ^[28] Двоичная степень используется в вычислениях, чтобы угол мог быть представлен с максимально возможной точностью в одном байте . Другие меры угла, используемые в вычислениях, могут быть основаны на делении одного целого витка на $2. н$ равные части для других значений $n$ . ^[29]

Предложения по использованию одной буквы для обозначения $2 π$ [ править ]

Число $2 π$ — это отношение длины окружности к ее радиусу и количество радианов за один оборот.

Значение символа $\pi$ изначально не было зафиксировано соотношение длины окружности и диаметра. В 1697 году Дэвид Грегори использовал $π / ρ$ (пи над ро) для обозначения периметра круга (т. е. окружности ), разделенного на его радиус. ^[30]^[31] Однако ранее в 1647 году Уильям Отред использовал $δ / π$ (дельта числа Пи) для отношения диаметра к периметру. Первое использование символа $π$ в его нынешнем значении (периметр, разделенный на диаметр) было в 1706 году валлийским математиком Уильямом Джонсом . ^[32] Затем Эйлер принял этот символ в этом значении, что привело к его широкому использованию. ^[3]

В 2001 году Робер Пале предложил вместо этого использовать число радиан за оборот в качестве фундаментальной константы круга вместо $π$ , которое соответствует количеству радиан за пол-оборота, чтобы сделать математику более простой и интуитивно понятной. В его предложении использовался символ «π с тремя ножками» для обозначения константы ( $\pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi$ ). ^[33]

В 2008 году Томас Колигнатус предложил заглавную греческую букву тета , Θ, для обозначения 2 $π$ . ^[34]Греческая буква тета происходит от финикийской и еврейской буквы тет , 𐤈 или ט, и было замечено, что старая версия символа, означающая колесо, напоминает колесо с четырьмя спицами. ^[35] Также было предложено использовать символ колеса, teth, для обозначения значения 2 $π$ , а совсем недавно среди других древних культур была установлена связь с существованием символа колеса, солнца, круга или диска, то есть других вариаций. тэтов — как представление для 2 $π$ . ^[36]

В 2010 году Майкл Хартл предложил использовать греческую букву тау для обозначения постоянной окружности: $τ = 2 π$ . Он предложил две причины. Во-первых, $τ$ — это количество радиан за один оборот , что позволяет более прямо выразить доли оборота: например, 3/4 оборота будет как представлено $3 τ / 4$ рад вместо $3 π / 2$ рад. Во-вторых, $τ$ визуально напоминает $π$ , ассоциация которого с константой окружности неизбежна. ^[5] Хартла Манифест Тау ^[37] приводит множество примеров формул, которые, как утверждается, становятся более понятными, когда $используется τ$ вместо $π$ . ^[38]^[39]^[40] Например, Хартл утверждает, что замена тождества Эйлера $e яπ = -1$ по $е это = 1$ (которое Хартл также называет «тождеством Эйлера») является более фундаментальным и значимым. ^[37]

Первоначально ни одно из этих предложений не получило широкого признания со стороны математического и научного сообщества. ^[6] Однако использование $τ$ стало более распространенным, ^[7] например:

В 2012 году образовательный сайт «Академия Хана» начал принимать ответы, выраженные через $τ$ . ^[41]
Константа $τ$ доступна в калькуляторе Google, графическом калькуляторе Desmos. ^[42] и в нескольких языках программирования, таких как Python , ^[43]^[44] Раку , ^[45] Обработка , ^[46] Nim , ^[47] Ржавчина , ^[48] GDScript , ^[49] Чертежи УЭ , ^[50] Ява , ^[51]^[52] и .NET . ^[53]^[54]
Он также использовался по крайней мере в одной математической исследовательской статье. ^[55] автор $τ$ -промоутера Питера Харремоэса. ^[56]

В следующей таблице показано, как появляются различные тождества, когда $используется τ = 2 π$ вместо $π$ . ^[57]^[33] Более полный список см. в разделе «Список формул, включающих $π»$ .


Формула	Использование $π$	Используя $τ$	Примечания
Угол, образуемый 1/4 круга	${\color {orangered}{\frac {\pi }{2}}}\;\mathrm {rad}$	${\color {orangered}{\frac {\tau }{4}}}\;\mathrm {rad}$	$т / 4 рад = 1/4 оборота$
Окружность $C$ круга радиуса $r$	$C={\color {orangered}2\pi }r$	$C={\color {orangered}\tau }r$
Площадь круга	$A={\color {orangered}\pi }r^{2}$	$A={\color {orangered}{\frac {1}{2}}\tau }r^{2}$	Площадь сектора угла $θ$ равна $A = 1/2 θr 2$ .
Площадь правильного $n$ -угольника с единичным радиусом описанной окружности	$A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}2\pi }{n}}$	$A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}\tau }{n}}$
$n$ -шара и $n -сферы$ Рекуррентное соотношение объема	$V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)$ $S_{n}(r)={\color {orangered}2\pi }rV_{n-1}(r)$	$V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)$ $S_{n}(r)={\color {orangered}\tau }rV_{n-1}(r)$	$В 0 (р) знак равно 1$ $S 0 (р) знак равно 2$
Интегральная формула Коши	$f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}2\pi }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}\tau }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$\gamma$ является границей диска, содержащего $a$ в комплексной плоскости.
Стандартное нормальное распределение	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}\tau }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$
Приближение Стирлинга	$n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}2\pi }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$	$n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}\tau }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$
$n-$ ные корни единства	$e^{{\color {orangered}2\pi }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}+i\sin {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}$	$e^{{\color {orangered}\tau }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}+i\sin {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}$
Постоянная Планка	$h={\color {orangered}2\pi }\hbar$	$h={\color {orangered}\tau }\hbar$	$ħ$ – приведенная постоянная Планка .
Угловая частота	$\omega ={\color {orangered}2\pi }f$	$\omega ={\color {orangered}\tau }f$

Преобразование единиц измерения [ править ]

Длина окружности единичного круга ( радиус которого равна единице) равна $2 π$ .

Один оборот равен $2 π$ (≈ 6,283 185 307 179 586 ) ^[58] радианы , 360 градусов или 400 градусов .

Преобразование общих углов
Повороты	радианы		Степени	Градианы
0 ход	0 рад		0°	0 ^г
1/72 оборота	𝜏 / 72 рад	$п$ / 36 рад	5°	5 + 5 / 9 ^г
1/24 оборота	𝜏 / 24 рад	$п$ / 12 рад	15°	16 + 2 / 3 ^г
1/16 оборота	𝜏 / 16 рад	$п$ / 8 рад	22.5°	25 ^г
1/12 оборота	𝜏 / 12 рад	$п$ / 6 рад	30°	33 + 1 / 3 ^г
1/10 оборота	𝜏 / 10 рад	$п$ / 5 рад	36°	40 ^г
1/8 оборота	𝜏 / 8 рад	$п$ / 4 рад	45°	50 ^г
1/2 $π$ поворота	1 рад		в. 57,3°	в. 63,7 ^г
1/6 оборота	𝜏 / 6 рад	$п$ / 3 рад	60°	66 + 2 / 3 ^г
1/5 оборота	𝜏 / 5 рад	2 $π$ / 5 рад	72°	80 ^г
1/4 оборота	𝜏 / 4 рад	$п$ / 2 рад	90°	100 ^г
1/3 оборота	𝜏 / 3 рад	2 $π$ / 3 рад	120°	133 + 1 / 3 ^г
2/5 поворота	2𝜏 / 5 ряд	4 $π$ / 5 работа	144°	160 ^г
1/2 оборота	𝜏 / 2 рад	$п$ рад	180°	200 ^г
3/4 оборота	3𝜏 / 4 рад	3 $р$ / 2 рад	270°	300 ^г
1 ход	𝜏 рад	2 $π$ рад	360°	400 ^г

См. также [ править ]

Ампер-виток
Герц (современный) или цикл в секунду (старый)
Угол поворота
Оборотов в минуту
Повторяющийся круг
Спат (угловая единица) — телесный угол поворота, эквивалентный $4 π$ стерадианам .
Единичный интервал
Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии
Операция по модулю
Твист (математика)

Примечания [ править ]

^ Термины угловых единиц «циклы» и «обороты» также используются неоднозначно как более короткие версии соответствующих единиц частоты. ^{[ нужна ссылка ]}
^ «Специальное название «революция», символ r, для этого устройства [имя «один», символ «1»] широко используется в спецификациях вращающихся машин». ^[11]
^ «Единицами измерения величин первого измерения являются числа. В некоторых случаях этим единицам измерения даются специальные названия, например радиан...» ^[11]
^ «3-14) продолжительность периода, период: продолжительность (пункт 3‑9) одного цикла периодического события» ^[8]

Ссылки [ править ]

^ Фитцпатрик, Ричард (2021). Ньютоновская динамика: Введение . ЦРК Пресс . п. 116. ИСБН 978-1-000-50953-3 . Проверено 25 апреля 2023 г.
^ Единицы измерения и символы для инженеров по электротехнике и электронике (PDF) . Лондон, Великобритания: Институт инженерии и технологий . 2016. Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (1+iii+32+1 стр.)
^ Jump up to: ^а ^б «Пи» . Энциклопедия Бриттаника . 14 марта 2024 г. Проверено 26 марта 2024 г.
^ Эйлер, Леонард (1746). Новая теория света и цвета. Брошюры различной тематики (на латыни). с Амбр. Хауде и Джо. Чарльз Спенери, библиоп. п. 200. откуда установлено, что точка В будет отведена на данное расстояние от своего естественного положения, до которого она достигнет наибольшего расстояния, по истечении прошедшего времени t=π/м, обозначающего угол π, равный 180°, который становится cos(mt)=- 1 & B b=2α. [из чего видно, что точка B отодвинута на заданное расстояние от своего естественного положения, и максимального расстояния она достигнет по истечении прошедшего времени t=π/m, π обозначает угол 180°, который становится cos( mt)=- 1 & B b=2α.]
^ Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [14 марта 2010 г.]. «Манифест Тау» . Архивировано из оригинала 28 июня 2019 г. Проверено 14 сентября 2013 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Жизни Пи ничего не угрожает – эксперты проводят холодную кампанию по замене на тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б Макмиллан, Роберт (13 марта 2020 г.). «Для любителей математики ничто не может испортить День числа Пи, кроме, может быть, дня Тау» . Уолл Стрит Джорнал . ISSN 0099-9660 . Проверено 21 мая 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с «ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3. Пространство и время» (2-е изд.). Международная организация по стандартизации . 2019 . Проверено 23 октября 2019 г. [1] (11 страниц)
^ Le Système International d'Unités [ Международная система единиц ] (PDF) (на французском и английском языках) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0
^ Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (04 марта 2020 г.) [02 июля 2009 г.]. «Руководство NIST по использованию международной системы единиц, специальная публикация 811» (изд. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 17 июля 2023 г. [2]
^ Jump up to: ^а ^б «ИСО 80000-3:2006» . ИСО . 31 августа 2001 г. Проверено 25 апреля 2023 г.
^ «ISO 80000-1:2009(ru) Величины и единицы. Часть 1: Общие положения» . iso.org . Проверено 12 мая 2023 г.
^ Герман, Зигмар; Драт, Питер (13 марта 2013 г.) [1979]. Справочник единиц СИ: Определение, внедрение, сохранение и распространение единиц СИ, основы точной измерительной техники (на немецком языке) (1-е изд.). Фридрих Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH , перепечатка: Springer-Verlag . п. 421. ИСБН 978-3-32283606-9 . 978-3-528-08441-7, 978-3-32283606-9 . Проверено 14 августа 2015 г.
^ Курцвейл, Питер (09 марта 2013 г.) [1999]. Лексикон Vieweg Unit: формулы и термины из физики, химии и технологии (на немецком языке) (1-е изд.). Vieweg, перепечатка: Springer-Verlag . п. 403. дои : 10.1007/978-3-322-92920-4 . ISBN 978-3-32292920-4 . 978-3-322-92921-1 . Проверено 14 августа 2015 г.
^ «Директива 80/181/EEC - Директива Совета от 20 декабря 1979 г. о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения, и отменяющая Директиву 71/354/EEC» (на немецком языке). 15 февраля 1980 г. Архивировано из оригинала 22 июня 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
^ «Директива 2009/3/EC Европейского парламента и Совета от 11 марта 2009 г., вносящая поправки в Директиву Совета 80/181/EEC о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения (Текст имеет отношение к ЕЭЗ)» ( на немецком языке). 11 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
^ «Статья 15 Единицы в виде недесятичных кратных или частей единиц СИ» . Постановление о подразделении (на швейцарском верхненемецком языке). Федеральный совет Швейцарии . 1994-11-23. 941 202. Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 1 января 2013 г. {{cite book}}: |work= игнорируется ( помогите )
^ Лапилли, Клаудио Даниэль (11 мая 2016 г.). «RE: newRPL: Обработка юнитов» . Музей HP . Архивировано из оригинала 10 августа 2017 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Лапилли, Клаудио Даниэль (25 октября 2018 г.). «Глава 3: Единицы измерения – Доступные единицы измерения – Углы» . новоеРПЛ Руководство пользователя . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 7 августа 2019 г.
^ Пол, Матиас Р. (12 января 2016 г.) [11 января 2016 г.]. «RE: WP-32S в 2016 году?» . Музей HP . Архивировано из оригинала 5 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г. […] Я бы также хотел, чтобы был реализован режим ПОВОРОТ. Режим ПОВОРОТ работает точно так же, как DEG, RAD и GRAD (включая полный набор функций преобразования угловых единиц, как в WP 34S ), за исключением того, что полный круг не равен 360 градусам, 6,2831... рад или 400 гонам. но 1 ход. (Я […] обнаружил, что это действительно удобно в инженерии/программировании, где вам часто приходится конвертировать в другие представления единиц измерения или обратно […] Но я думаю, что это также может быть полезно в образовательных целях. […]) Наличие угла полного круга, нормализованного до 1, позволяет упростить преобразование в/из множества других угловых единиц […]
^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN. 978-1-72950098-9 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [3] [4] (314 страниц)
^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN. 978-1-72950106-1 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [5] [6] (271 страница)
^ Jump up to: ^а ^б Хойл, Фред (1962). Чендлер, Миннесота (ред.). Астрономия (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macdonald & Co. (Publishers) Ltd. / Rathbone Books Limited. LCCN 62065943 . OCLC 7419446 . (320 страниц)
^ Jump up to: ^а ^б Кляйн, Герберт Артур (2012) [1988, 1974]. «Глава 8: Следя за временем» . Наука измерения: исторический обзор (Мир измерений: шедевры, загадки и путаницы метрологии) . Dover Books on Mathematics (исправленное переиздание оригинального издания). Dover Publications, Inc. / Courier Corporation (первоначально компания Simon & Schuster, Inc. ). п. 102. ИСБН 978-0-48614497-9 . LCCN 88-25858 . Проверено 6 августа 2019 г. (736 страниц)
^ Крокстон, Фредерик Э. (1922). «Процентный транспортир — предназначен для использования при построении круговых диаграмм или круговых диаграмм» . Журнал Американской статистической ассоциации . Короткая заметка. 18 (137): 108–109. дои : 10.1080/01621459.1922.10502455 .
^ Шиффнер, Фридрих (1965). Венль, Мария Эмма [на немецком языке] (ред.). «Определение орбит спутников». Астрономические сообщения обсерватории Урания в Вене (на немецком языке). 8 . Вена, Австрия: Volksbildungshaus Wiener Urania .
^ Хейс, Юджин Нельсон (1975) [1968]. Следопыты небес . История Смитсоновской программы спутникового слежения. Кембридж, Массачусетс, США: Academic Press / Издательство Говарда А. Дойла.
^ «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Бекманн, Петр (1989) [1970]. История Пи . Издательство Barnes & Noble .
^ Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Математическая ассоциация Америки . п. 165 . ISBN 978-0-88385511-9 .
^ Велинг, Энн (2001). «Пи сквозь века» . veling.nl . Архивировано из оригинала 2 июля 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б Пале, Робер (2001). «Пи ошибается» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3). Нью-Йорк, США: Springer-Verlag : 7–8. дои : 10.1007/bf03026846 . S2CID 120965049 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Круто, Томас «Колиньятус» (18 июля 2008 г.) [08 апреля 2008 г., 06 мая 2008 г.]. «Переустановка тригонометрии. Новый взгляд на тригонометрию. Измерение углов в« единицах измерения вокруг метра »и использование функций единичного радиуса Xur и Yur» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (18 страниц)
^ Манн, Стив ; Янзен, Райан Э.; Али, Мир Аднан; Скурбутакос, Пит; Гулерия, Everyday (22–24 октября 2014 г.). «Интегральная кинематика (интегралы времени от расстояния, энергии и т. д.) и интегральная кинезиология » Материалы IEEE GEM 2014 года . Торонто, Онтарио, Канада: 627–629. S2CID 6462220 . Получено 1 июля 2023 г.
^ Манн, Стив ; Чен, Хунъюй; Эйлуорд, Грэм; Йорритсма, Меган; Манн, Кристина; Дефаз Поведа, Диего Давид; Пирс, Кайден; Лам, Дерек; Лестница, Джереми; Эрмандес, Джесси; Ли, Цюши; Сян, И Синь; Канаан, Жорж (июнь 2019 г.). «Глаз как камера: датчики, целостность и доверие» . 5-й семинар ACM по портативным системам и приложениям (основной доклад): 1–2. дои : 10.1145/3325424.3330210 . S2CID 189926593 . Проверено 18 июля 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2010 г.). «Манифест Тау» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Арон, Джейкоб (08 января 2011 г.). «Майкл Хартл: Пришло время убить число пи». Новый учёный . Интервью. 209 (2794): 23. Бибкод : 2011NewSc.209...23A . дои : 10.1016/S0262-4079(11)60036-5 .
^ Ландау, Элизабет (14 марта 2011 г.). «В День Пи «пи» подвергается нападкам?» . cnn.com . CNN . Архивировано из оригинала 19 декабря 2018 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Варфоломей, Рэндин Чарльз (25 июня 2014 г.). «Давайте использовать Тау – это проще, чем число Пи. Растущее движение утверждает, что уничтожение числа Пи сделает математику проще, легче и даже красивее» . Научный американец . Архивировано из оригинала 18 июня 2019 г. Проверено 20 марта 2015 г.
^ «С Днем Тау!» . blog.khanacademy.org . 28 июня 2012 г. Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 19 декабря 2020 г.
^ «Поддерживаемые функции» . help.desmos.com . Архивировано из оригинала 26 марта 2023 г. Проверено 21 марта 2023 г.
^ Коглан, Ник (25 февраля 2017 г.). «PEP 628 — Добавить math.tau» . Python.org . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «математика — Математические функции» . Документация Python 3.7.0 . Архивировано из оригинала 29 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «Термины Perl 6» . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «ТАУ» . Обработка . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «математика» . Ним . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ "std::f64::consts::TAU — Rust" . doc.rust-lang.org . Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 9 октября 2020 г.
^ «Константы @GDScript — документация Godot Engine (стабильная) на английском языке» . Документы Годо .
^ «Получить TAU — документацию Unreal Engine 5.2» . Документация по Unreal Engine .
^ Дарси, Джо. «JDK-8283136: Добавьте константу для тау в Math и StrictMath» . bugs.openjdk.org .
^ «Урок математики» . Документация Java 19 .
^ Джон-Гонконг. «Добавить запрос на извлечение Math.Tau № 37517 · dotnet/Runtime» . Гитхаб .
^ «Математика.Поле Тау» . Справочная документация по .NET .
^ Харремоэс, Питер (2017). «Оценки хвостовых вероятностей для отрицательных биномиальных распределений». Кибернетика . 52 (6): 943–966. arXiv : 1601.05179 . дои : 10.14736/kyb-2016-6-0943 . S2CID 119126029 .
^ Харремоэс, Питер (17 ноября 2018 г.). «Постоянная Аль-Каши τ» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 20 сентября 2018 г.
^ Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi : 10.4169/mathhorizons.19.4.34 . S2CID 126179022 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 г.
^ Последовательность OEIS : A019692

Внешние ссылки [ править ]

Народный манифест

[3] Термины угловых единиц «циклы» и «обороты» также используются неоднозначно как более короткие версии соответствующих единиц частоты. ^{[ нужна ссылка ]}

[13] «Специальное название «революция», символ r, для этого устройства [имя «один», символ «1»] широко используется в спецификациях вращающихся машин». ^[11]

[14] «Единицами измерения величин первого измерения являются числа. В некоторых случаях этим единицам измерения даются специальные названия, например радиан...» ^[11]

[16] «3-14) продолжительность периода, период: продолжительность (пункт 3‑9) одного цикла периодического события» ^[8]

[Fitzpatrick_2021-1] Фитцпатрик, Ричард (2021). Ньютоновская динамика: Введение . ЦРК Пресс . п. 116. ИСБН 978-1-000-50953-3 . Проверено 25 апреля 2023 г.

[IET_2016-2] Единицы измерения и символы для инженеров по электротехнике и электронике (PDF) . Лондон, Великобритания: Институт инженерии и технологий . 2016. Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (1+iii+32+1 стр.)

[:0-4] Jump up to: ^а ^б «Пи» . Энциклопедия Бриттаника . 14 марта 2024 г. Проверено 26 марта 2024 г.

[Euler_1746-5] Эйлер, Леонард (1746). Новая теория света и цвета. Брошюры различной тематики (на латыни). с Амбр. Хауде и Джо. Чарльз Спенери, библиоп. п. 200. откуда установлено, что точка В будет отведена на данное расстояние от своего естественного положения, до которого она достигнет наибольшего расстояния, по истечении прошедшего времени t=π/м, обозначающего угол π, равный 180°, который становится cos(mt)=- 1 & B b=2α. [из чего видно, что точка B отодвинута на заданное расстояние от своего естественного положения, и максимального расстояния она достигнет по истечении прошедшего времени t=π/m, π обозначает угол 180°, который становится cos( mt)=- 1 & B b=2α.]

[Hartl_2019-6] Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [14 марта 2010 г.]. «Манифест Тау» . Архивировано из оригинала 28 июня 2019 г. Проверено 14 сентября 2013 г.

[Telegraph_2011-7] Jump up to: ^а ^б «Жизни Пи ничего не угрожает – эксперты проводят холодную кампанию по замене на тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[McMillan_2020-8] Jump up to: ^а ^б Макмиллан, Роберт (13 марта 2020 г.). «Для любителей математики ничто не может испортить День числа Пи, кроме, может быть, дня Тау» . Уолл Стрит Джорнал . ISSN 0099-9660 . Проверено 21 мая 2020 г.

[ISO80000-3_2019-9] Jump up to: ^а ^б ^с «ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3. Пространство и время» (2-е изд.). Международная организация по стандартизации . 2019 . Проверено 23 октября 2019 г. [1] (11 страниц)

[SIBrochure_9-10] Le Système International d'Unités [ Международная система единиц ] (PDF) (на французском и английском языках) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0

[NISTGuide_2009-11] Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (04 марта 2020 г.) [02 июля 2009 г.]. «Руководство NIST по использованию международной системы единиц, специальная публикация 811» (изд. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 17 июля 2023 г. [2]

[ISO_80000-3:2006-12] Jump up to: ^а ^б «ИСО 80000-3:2006» . ИСО . 31 августа 2001 г. Проверено 25 апреля 2023 г.

[ISO_80000-1-15] «ISO 80000-1:2009(ru) Величины и единицы. Часть 1: Общие положения» . iso.org . Проверено 12 мая 2023 г.

[German_2013-17] Герман, Зигмар; Драт, Питер (13 марта 2013 г.) [1979]. Справочник единиц СИ: Определение, внедрение, сохранение и распространение единиц СИ, основы точной измерительной техники (на немецком языке) (1-е изд.). Фридрих Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH , перепечатка: Springer-Verlag . п. 421. ИСБН 978-3-32283606-9 . 978-3-528-08441-7, 978-3-32283606-9 . Проверено 14 августа 2015 г.

[Kurzweil_1999-18] Курцвейл, Питер (09 марта 2013 г.) [1999]. Лексикон Vieweg Unit: формулы и термины из физики, химии и технологии (на немецком языке) (1-е изд.). Vieweg, перепечатка: Springer-Verlag . п. 403. дои : 10.1007/978-3-322-92920-4 . ISBN 978-3-32292920-4 . 978-3-322-92921-1 . Проверено 14 августа 2015 г.

[EWG_1980-19] «Директива 80/181/EEC - Директива Совета от 20 декабря 1979 г. о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения, и отменяющая Директиву 71/354/EEC» (на немецком языке). 15 февраля 1980 г. Архивировано из оригинала 22 июня 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.

[EG_2009-20] «Директива 2009/3/EC Европейского парламента и Совета от 11 марта 2009 г., вносящая поправки в Директиву Совета 80/181/EEC о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения (Текст имеет отношение к ЕЭЗ)» ( на немецком языке). 11 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.

[Einheitenverordnung_1994-21] «Статья 15 Единицы в виде недесятичных кратных или частей единиц СИ» . Постановление о подразделении (на швейцарском верхненемецком языке). Федеральный совет Швейцарии . 1994-11-23. 941 202. Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 1 января 2013 г. {{cite book}}: |work= игнорируется ( помогите )

[Lapilli_2016-22] Лапилли, Клаудио Даниэль (11 мая 2016 г.). «RE: newRPL: Обработка юнитов» . Музей HP . Архивировано из оригинала 10 августа 2017 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Lapilli_2018-23] Лапилли, Клаудио Даниэль (25 октября 2018 г.). «Глава 3: Единицы измерения – Доступные единицы измерения – Углы» . новоеРПЛ Руководство пользователя . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 7 августа 2019 г.

[Paul_2016-24] Пол, Матиас Р. (12 января 2016 г.) [11 января 2016 г.]. «RE: WP-32S в 2016 году?» . Музей HP . Архивировано из оригинала 5 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г. […] Я бы также хотел, чтобы был реализован режим ПОВОРОТ. Режим ПОВОРОТ работает точно так же, как DEG, RAD и GRAD (включая полный набор функций преобразования угловых единиц, как в WP 34S ), за исключением того, что полный круг не равен 360 градусам, 6,2831... рад или 400 гонам. но 1 ход. (Я […] обнаружил, что это действительно удобно в инженерии/программировании, где вам часто приходится конвертировать в другие представления единиц измерения или обратно […] Но я думаю, что это также может быть полезно в образовательных целях. […]) Наличие угла полного круга, нормализованного до 1, позволяет упростить преобразование в/из множества других угловых единиц […]

[Bonin_2019_OG-25] Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN. 978-1-72950098-9 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [3] [4] (314 страниц)

[Bonin_2019_RG-26] Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN. 978-1-72950106-1 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [5] [6] (271 страница)

[Hoyle_1962-27] Jump up to: ^а ^б Хойл, Фред (1962). Чендлер, Миннесота (ред.). Астрономия (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macdonald & Co. (Publishers) Ltd. / Rathbone Books Limited. LCCN 62065943 . OCLC 7419446 . (320 страниц)

[Klein_2012-28] Jump up to: ^а ^б Кляйн, Герберт Артур (2012) [1988, 1974]. «Глава 8: Следя за временем» . Наука измерения: исторический обзор (Мир измерений: шедевры, загадки и путаницы метрологии) . Dover Books on Mathematics (исправленное переиздание оригинального издания). Dover Publications, Inc. / Courier Corporation (первоначально компания Simon & Schuster, Inc. ). п. 102. ИСБН 978-0-48614497-9 . LCCN 88-25858 . Проверено 6 августа 2019 г. (736 страниц)

[Croxton_1992-29] Крокстон, Фредерик Э. (1922). «Процентный транспортир — предназначен для использования при построении круговых диаграмм или круговых диаграмм» . Журнал Американской статистической ассоциации . Короткая заметка. 18 (137): 108–109. дои : 10.1080/01621459.1922.10502455 .

[Schiffner_1965-30] Шиффнер, Фридрих (1965). Венль, Мария Эмма [на немецком языке] (ред.). «Определение орбит спутников». Астрономические сообщения обсерватории Урания в Вене (на немецком языке). 8 . Вена, Австрия: Volksbildungshaus Wiener Urania .

[Hayes_1975-31] Хейс, Юджин Нельсон (1975) [1968]. Следопыты небес . История Смитсоновской программы спутникового слежения. Кембридж, Массачусетс, США: Academic Press / Издательство Говарда А. Дойла.

[Savage_2007-32] «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Hargreaves_2010-33] Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Beckmann_1989-34] Бекманн, Петр (1989) [1970]. История Пи . Издательство Barnes & Noble .

[Schwartzman_1994-35] Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Математическая ассоциация Америки . п. 165 . ISBN 978-0-88385511-9 .

[Veling_2001-36] Велинг, Энн (2001). «Пи сквозь века» . veling.nl . Архивировано из оригинала 2 июля 2009 г.

[Palais_2001-37] Jump up to: ^а ^б Пале, Робер (2001). «Пи ошибается» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3). Нью-Йорк, США: Springer-Verlag : 7–8. дои : 10.1007/bf03026846 . S2CID 120965049 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Cool_2008-38] Круто, Томас «Колиньятус» (18 июля 2008 г.) [08 апреля 2008 г., 06 мая 2008 г.]. «Переустановка тригонометрии. Новый взгляд на тригонометрию. Измерение углов в« единицах измерения вокруг метра »и использование функций единичного радиуса Xur и Yur» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (18 страниц)

[Mann-Janzen-Ali-Scourboutakos-Guleria_2015-39] Манн, Стив ; Янзен, Райан Э.; Али, Мир Аднан; Скурбутакос, Пит; Гулерия, Everyday (22–24 октября 2014 г.). «Интегральная кинематика (интегралы времени от расстояния, энергии и т. д.) и интегральная кинезиология » Материалы IEEE GEM 2014 года . Торонто, Онтарио, Канада: 627–629. S2CID 6462220 . Получено 1 июля 2023 г.

[Mann-Chen-Aylward-Jorritsma-Mann-Defaz-Pierce-Lam-Stairs-Hermandez-Li-Xiang-Kanaan_2019-40] Манн, Стив ; Чен, Хунъюй; Эйлуорд, Грэм; Йорритсма, Меган; Манн, Кристина; Дефаз Поведа, Диего Давид; Пирс, Кайден; Лам, Дерек; Лестница, Джереми; Эрмандес, Джесси; Ли, Цюши; Сян, И Синь; Канаан, Жорж (июнь 2019 г.). «Глаз как камера: датчики, целостность и доверие» . 5-й семинар ACM по портативным системам и приложениям (основной доклад): 1–2. дои : 10.1145/3325424.3330210 . S2CID 189926593 . Проверено 18 июля 2023 г.

[Hartl_2010-41] Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2010 г.). «Манифест Тау» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Aron_2011-42] Арон, Джейкоб (08 января 2011 г.). «Майкл Хартл: Пришло время убить число пи». Новый учёный . Интервью. 209 (2794): 23. Бибкод : 2011NewSc.209...23A . дои : 10.1016/S0262-4079(11)60036-5 .

[Landau_2011-43] Ландау, Элизабет (14 марта 2011 г.). «В День Пи «пи» подвергается нападкам?» . cnn.com . CNN . Архивировано из оригинала 19 декабря 2018 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Bartholomew_2014-44] Варфоломей, Рэндин Чарльз (25 июня 2014 г.). «Давайте использовать Тау – это проще, чем число Пи. Растущее движение утверждает, что уничтожение числа Пи сделает математику проще, легче и даже красивее» . Научный американец . Архивировано из оригинала 18 июня 2019 г. Проверено 20 марта 2015 г.

[khanacademy-45] «С Днем Тау!» . blog.khanacademy.org . 28 июня 2012 г. Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 19 декабря 2020 г.

[Desmos-46] «Поддерживаемые функции» . help.desmos.com . Архивировано из оригинала 26 марта 2023 г. Проверено 21 марта 2023 г.

[Python_2017-47] Коглан, Ник (25 февраля 2017 г.). «PEP 628 — Добавить math.tau» . Python.org . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Python_370-48] «математика — Математические функции» . Документация Python 3.7.0 . Архивировано из оригинала 29 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Perl6-49] «Термины Perl 6» . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Processing-50] «ТАУ» . Обработка . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Nim-51] «математика» . Ним . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Rust-52] "std::f64::consts::TAU — Rust" . doc.rust-lang.org . Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 9 октября 2020 г.

[GDScript-53] «Константы @GDScript — документация Godot Engine (стабильная) на английском языке» . Документы Годо .

[UnrealBlueprintTAU-54] «Получить TAU — документацию Unreal Engine 5.2» . Документация по Unreal Engine .

[Java-55] Дарси, Джо. «JDK-8283136: Добавьте константу для тау в Math и StrictMath» . bugs.openjdk.org .

[Java-docs-56] «Урок математики» . Документация Java 19 .

[dotnet-57] Джон-Гонконг. «Добавить запрос на извлечение Math.Tau № 37517 · dotnet/Runtime» . Гитхаб .

[dotnet-docs-58] «Математика.Поле Тау» . Справочная документация по .NET .

[Harremoes_2017-59] Харремоэс, Питер (2017). «Оценки хвостовых вероятностей для отрицательных биномиальных распределений». Кибернетика . 52 (6): 943–966. arXiv : 1601.05179 . дои : 10.14736/kyb-2016-6-0943 . S2CID 119126029 .

[Harremoes_2018-60] Харремоэс, Питер (17 ноября 2018 г.). «Постоянная Аль-Каши τ» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 20 сентября 2018 г.

[Abbott_2012-61] Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi : 10.4169/mathhorizons.19.4.34 . S2CID 126179022 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 г.

[OEIS2C_A019692-62] Последовательность OEIS : A019692

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[б]

[с]

[12]

[д]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[11]