Решение треугольников

Решение треугольников ( лат . solutio triangulorum ) — основная тригонометрическая задача по нахождению характеристик треугольника ( углов и длин сторон), когда некоторые из них известны. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере . Приложения, требующие решения треугольников, включают геодезию , астрономию , строительство и навигацию .

Решение плоских треугольников

Треугольник общей формы имеет шесть основных характеристик (см. рисунок): три линейных (длины сторон $a, b, c$ ) и три угловых ( $α, β, γ$ ). Классическая задача плоской тригонометрии состоит в том, чтобы указать три из шести характеристик и определить остальные три. Треугольник может быть однозначно определен в этом смысле, если задано любое из следующих условий: ^[1]^[2]

Три стороны ( ССС )
Две стороны и входящий угол ( SAS , сторона-угол-сторона)
Две стороны и угол, не входящий между ними ( SSA ), если длина стороны, примыкающей к углу, короче длины другой стороны.
Сторона и два прилежащих к ней угла ( ASA )
Сторона, противоположный ей угол и прилежащий к ней угол ( ААС ).

Для всех случаев на плоскости должна быть указана хотя бы одна из длин сторон. Если заданы только углы, длины сторон определить невозможно, поскольку любой подобный треугольник является решением.

Тригономические отношения

Стандартным методом решения задачи является использование фундаментальных соотношений.

Закон косинусов ${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}$

Закон синусов ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$
Сумма углов: $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$
Закон касательных ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.$

Есть и другие (иногда практически полезные) универсальные соотношения: закон котангенсов и формула Молвейде .

Примечания

Чтобы найти неизвестный угол, закон косинусов безопаснее, чем закон синусов . Причина в том, что значение синуса угла треугольника не определяет этот угол однозначно. Например, если $sin β = 0,5$ , угол $β$ может быть равен либо 30°, либо 150°. Использование закона косинусов позволяет избежать этой проблемы: в интервале от 0° до 180° значение косинуса однозначно определяет его угол. С другой стороны, если угол мал (или близок к 180 °), то более надежно определить его численно по его синусу, а не по косинусу, поскольку функция арккосинус имеет расходящиеся производные в точке 1 (или -1). .
Будем считать, что взаимное расположение указанных характеристик известно. Если нет, то зеркальное отражение треугольника также будет решением. Например, три длины сторон однозначно определяют либо треугольник, либо его отражение.

Три стороны даны (ССС)

три длины сторон $a, b, c$ Пусть заданы . Для нахождения углов $α, β$ законом косинусов : можно воспользоваться ^[3] ${\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}$

Тогда угол $γ = 180° - α - β$ .

Некоторые источники рекомендуют находить угол $β$ по закону синусов , но (как указано в примечании 1 выше) существует риск спутать значение острого угла с тупым.

Другой метод вычисления углов по известным сторонам заключается в применении закона котангенсов .

Даны две стороны и прилежащий угол (SAS)

длины сторон $a, b$ и угол $γ$ Здесь известны между этими сторонами. Третью сторону можно определить из закона косинусов: ^[4] $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.$ Теперь воспользуемся законом косинусов, чтобы найти второй угол: $\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$ Наконец, $β = 180° - α - γ$ .

Даны две стороны и не включенный угол (SSA)

Этот случай не во всех случаях разрешим; решение гарантированно будет единственным, только если длина стороны, прилежащей к углу, короче длины другой стороны. две стороны $b, c$ и угол $β$ Предположим, что известны . Уравнение для угла $γ$ можно вывести из закона синусов : ^[5] $\sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .$ Обозначим далее $D = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ c / b ⁠ sin β$ (правая часть уравнения). Возможны четыре случая:

Если $D > 1$ , такого треугольника не существует, поскольку сторона $b$ не достигает линии $BC$ . По этой же причине решения не существует, если угол $β \geq 90°$ и $b \leq c$ .
Если $D = 1$ , существует единственное решение: $γ = 90°$ , т. е. треугольник прямоугольный .
Если D < 1, возможны два варианта.
1. Если $b \geq c$ , то $β \geq γ$ (большая сторона соответствует большему углу). Поскольку ни в одном треугольнике не может быть двух тупых углов, $γ$ — острый угол и решение $γ = arcsin D$ единственно.
2. Если $b < c$ , угол $γ$ может быть острым: $γ = arcsin D$ или тупым: $γ' = 180° - γ$ . На рисунке справа показаны точка $C$ , сторона $b$ и угол $γ$ в качестве первого решения, а точка $C'$ , сторона $b'$ и угол $γ'$ в качестве второго решения.

После $γ$ получения $третий угол α = 180° - β - γ$ .

Третью сторону можно найти из закона синусов: $a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

или из закона косинусов: $a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$

Даны сторона и два прилежащих угла (ASA).

Известными характеристиками являются сторона $c$ и углы $α, β$ . Третий угол $γ = 180° - α - β$ .

Две неизвестные стороны можно вычислить по закону синусов: ^[6] ${\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\end{aligned}}$

Даны сторона, один прилежащий угол и противоположный угол (ААС).

Процедура решения треугольника AAS такая же, как и для треугольника ASA: сначала найдите третий угол, используя свойство суммы углов треугольника, затем найдите две другие стороны, используя закон синусов .

Другие заданные длины

треугольника Во многих случаях треугольники можно решить, имея три фрагмента информации, некоторые из которых — длины медиан , высоты или биссектрисы угла . Посаментье и Леманн ^[7] перечислить результаты по вопросу о разрешимости, используя не более квадратные корни (т. е. конструктивность ) для каждого из 95 различных случаев; 63 из них можно построить.

Решение сферических треугольников

Общий сферический треугольник полностью определяется тремя из шести его характеристик (3 сторонами и 3 углами). Длины сторон $a, b, c$ сферического треугольника — это их центральные углы , измеряемые в угловых, а не линейных единицах. (На единичной сфере угол (в радианах ) и длина вокруг сферы численно одинаковы. На других сферах угол (в радианах) равен длине вокруг сферы, разделенной на радиус.)

Сферическая геометрия отличается от планарной евклидовой геометрии , поэтому решение сферических треугольников строится по другим правилам. Например, сумма трех углов $α + β + γ$ зависит от размера треугольника. Кроме того, подобные треугольники не могут быть неравными, поэтому задача построения треугольника с заданными тремя углами имеет единственное решение. Основные соотношения, используемые для решения задачи, аналогичны соотношениям в плоском случае: см. Сферический закон косинусов и Сферический закон синусов .

Среди других соотношений, которые могут оказаться полезными, — формула полустороны и аналогии Нейпира : ^[8] ${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a+\,b)\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \ \!\cos {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\sin {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b).\end{aligned}}$

Даны три стороны (сферическое НДС)

Известны: стороны $a, b, c$ (в угловых единицах). Углы треугольника вычисляются с использованием сферического закона косинусов : ${\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}$

Даны две стороны и прилежащий угол (сферический SAS)

Известны: стороны $a, b$ и угол $γ$ между ними. Сторону $c$ можно найти из сферического закона косинусов : $c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).$

Углы $α, β$ можно рассчитать, как указано выше, или используя аналогии Нейпира:

${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b-a)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a-b)}}.\end{aligned}}$

Эта проблема возникает в навигационной задаче поиска большого круга между двумя точками на Земле, заданными их широтой и долготой; в этом приложении важно использовать формулы, не допускающие ошибок округления. Для этой цели можно использовать следующие формулы (которые можно вывести с помощью векторной алгебры): ${\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}$ где знаки числителей и знаменателей в этих выражениях следует использовать для определения квадранта арктангенса.

Даны две стороны и не включенный угол (сферический SSA)

Эта проблема не разрешима во всех случаях; решение гарантированно будет единственным, только если длина стороны, прилежащей к углу, короче длины другой стороны. Известно: стороны $b, c$ и угол $β$ между ними отсутствуют. Решение существует, если выполняется следующее условие: $b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.$ Угол $γ$ можно найти из сферического закона синусов : $\gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.$ Что касается плоского случая, то если $b < c$ , то существует два решения: $γ$ и $180° — γ$ .

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Нейпира: ${\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}$

Даны сторона и два прилежащих угла (сферический ASA).

Известны: сторона $с$ и углы $α, β$ . Сначала определяем угол $γ,$ используя сферический закон косинусов : $\gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,$

Мы можем найти две неизвестные стороны из сферического закона косинусов (используя рассчитанный угол $γ$ ):

${\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}$

или используя аналогии Нейпира: ${\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}$

Даны сторона, один прилежащий угол и противоположный угол (сферическая ААС).

Известны: сторона $а$ и углы $α, β$ . Сторону $b$ можно найти из сферического закона синусов : $b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.$

Если угол стороны $a$ острый и $α > β$ , существует другое решение: $b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.$

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Нейпира: ${\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}$

Даны три угла (сферическая ААА)

Известны: углы $α, β, γ$ . Из сферического закона косинусов получаем: ${\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}$

Решение прямоугольных сферических треугольников

Приведенные выше алгоритмы значительно упрощаются, если один из углов треугольника (например, угол $C$ ) является прямым. Такой сферический треугольник полностью определяется двумя его элементами, а остальные три можно вычислить с помощью пятиугольника Непера или следующих соотношений.

\sin a=\sin c\cdot \sin A

(из сферического закона синусов )

\tan a=\sin b\cdot \tan A

\cos c=\cos a\cdot \cos b

(из сферического закона косинусов )

\tan b=\tan c\cdot \cos A

\cos A=\cos a\cdot \sin B

(также из сферического закона косинусов)

\cos c=\cot A\cdot \cot B

Некоторые приложения

Триангуляция

Если кто-то хочет измерить расстояние $d$ от берега до удаленного корабля с помощью триангуляции, нужно отметить на берегу две точки с известным расстоянием $l$ между ними (базовая линия). Пусть $α, β$ — углы между базовой линией и направлением на корабль.

Из приведенных выше формул (случай ASA, предполагая плоскую геометрию) можно вычислить расстояние как высоту треугольника : $d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .$

Для сферического случая можно сначала вычислить длину стороны от точки $α$ до корабля (т. е. стороны, противоположной $β$ ) по формуле ASA $\tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},$ и вставьте это в формулу AAS для прямого подтреугольника, содержащего угол $α$ и стороны $b$ и $d$ : $\sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .$ (Плоская формула на самом деле является первым членом разложения Тейлора $d$ сферического решения по степеням $ℓ$ .)

Этот метод используется в каботаже . Углы $α, β$ определяются путем наблюдения за знакомыми ориентирами с корабля.

Другой пример: если кто-то хочет измерить высоту $h$ горы или высокого здания, $углы α, β$ указываются от двух точек земли до вершины. Пусть $ℓ$ — расстояние между этими точками. Из тех же формул случая ASA получаем: $h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .$

Расстояние между двумя точками на земном шаре

Чтобы вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре,

Точка A: широта

λ A

, долгота

L A

и

Точка B: широта

λ B

, долгота

L B

мы рассматриваем сферический треугольник $ABC$ , где $C$ — Северный полюс. Некоторые характеристики: ${\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}$ Если даны две стороны и прилежащий угол , то по формулам получим ${\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.$ Здесь $R$ — радиус Земли .

См. также

Ссылки

^ «Решение треугольников» . Математика — это весело . Проверено 4 апреля 2012 г.
^ «Решение треугольников» . веб-сайт horacemann.org. Архивировано из оригинала 7 января 2014 года . Проверено 4 апреля 2012 г.
^ «Решение треугольников ССС» . Математика – это весело . Проверено 13 января 2015 г.
^ «Решение треугольников SAS» . Математика – это весело . Проверено 13 января 2015 г.
^ «Решение треугольников ССА» . Математика – это весело . Проверено 9 марта 2013 г.
^ «Решение треугольников ASA» . Математика – это весело . Проверено 13 января 2015 г.
^ Альфред С. Посаментье и Ингмар Леманн, Тайны треугольников , Prometheus Books, 2012: стр. 201–203.
^ Аналогии Нэпьера в MathWorld

Евклид (1956) [1925]. Сэр Томас Хит (ред.). Тринадцать книг стихий. Том I. Переведено с введением и комментариями. Дувр. ISBN 0-486-60088-2 .

Внешние ссылки

«Тригонометрические наслаждения» , Эли Маор , Princeton University Press, 1998. Версия электронной книги в формате PDF, представлен полный текст.
Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луи Ингольда, The Macmillan Company, 1914 год. В изображениях представлен полный текст. Гугл книга.
Сферическая тригонометрия в Math World.
Введение в сферический триггер. Включает обсуждение круга Нейпира и правил Нейпира.
Сферическая тригонометрия — для использования в колледжах и школах. И. Тодхантер, Массачусетс, Монография по исторической математике ФРС, опубликованная Библиотекой Корнелльского университета .
Триангулятор – решатель треугольников. Решите любую задачу о плоском треугольнике с минимумом входных данных. Рисунок решенного треугольника.
TriSph – Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и настроенное для гномонических вычислений.
Калькулятор сферических треугольников – решает сферические треугольники.
TrianCal — программа для решения треугольников, автор: Джесус С.

[1] «Решение треугольников» . Математика — это весело . Проверено 4 апреля 2012 г.

[2] «Решение треугольников» . веб-сайт horacemann.org. Архивировано из оригинала 7 января 2014 года . Проверено 4 апреля 2012 г.

[3] «Решение треугольников ССС» . Математика – это весело . Проверено 13 января 2015 г.

[4] «Решение треугольников SAS» . Математика – это весело . Проверено 13 января 2015 г.

[5] «Решение треугольников ССА» . Математика – это весело . Проверено 9 марта 2013 г.

[6] «Решение треугольников ASA» . Математика – это весело . Проверено 13 января 2015 г.

[7] Альфред С. Посаментье и Ингмар Леманн, Тайны треугольников , Prometheus Books, 2012: стр. 201–203.

[8] Аналогии Нэпьера в MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]