Эллиптические функции Диксона cm, sm применяются к вещественному аргументу x . Обе функции периодические с действительным периодом π 3 ≈ 5,29991625. В математике эллиптические функции Диксона sm и cm — это две эллиптические функции ( двоякопериодические мероморфные функции на комплексной плоскости ), которые отображают каждый правильный шестиугольник в шестиугольной мозаике на всю комплексную плоскость. Поскольку эти функции удовлетворяют тождеству cm 3 z + sm 3 z = 1 {\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1} действительные функции параметризуют кубическую кривую Ферма x 3 + y 3 = 1 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=1} тригонометрические функции синус и косинус параметризуют единичную окружность x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
Они были названы sm и cm Альфредом Диксоном в 1890 году по аналогии с тригонометрическими функциями синус и косинус и эллиптическими функциями Якоби sn и cn; Йоран Диллнер описал их ранее в 1873 году. [1]
Функции sm и cm можно определить как решения задачи начального значения : [2]
d d z cm z = − sm 2 z , d d z sm z = cm 2 z , cm ( 0 ) = 1 , sm ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cm} z=-\operatorname {sm} ^{2}z,\ {\frac {d}{dz}}\operatorname {sm} z=\operatorname {cm} ^{2}z,\ \operatorname {cm} (0)=1,\ \operatorname {sm} (0)=0} Или как обратное отображение Шварца – Кристоффеля комплексного единичного круга в равносторонний треугольник, абелев интеграл : [3]
z = ∫ 0 sm z d w ( 1 − w 3 ) 2 / 3 = ∫ cm z 1 d w ( 1 − w 3 ) 2 / 3 {\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sm} z}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}=\int _{\operatorname {cm} z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}} которую также можно выразить с помощью гипергеометрической функции : [4]
sm − 1 ( z ) = z 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 ; 4 3 ; z 3 ) {\displaystyle \operatorname {sm} ^{-1}(z)=z\;{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {4}{3}};z^{3}{\bigr )}} Функция t ↦ (cm t , sm t ) t . И см, и см имеют период вдоль действительной оси π 3 = B ( 1 3 , 1 3 ) = 3 2 π Γ 3 ( 1 3 ) ≈ 5.29991625 {\displaystyle \pi _{3}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2\pi }}\Gamma ^{3}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}\approx 5.29991625} B {\displaystyle \mathrm {B} } -функция и Γ {\displaystyle \Gamma } -функция : [5]
1 3 π 3 = ∫ − ∞ 0 d x ( 1 − x 3 ) 2 / 3 = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 3 ) 2 / 3 = ∫ 1 ∞ d x ( 1 − x 3 ) 2 / 3 ≈ 1.76663875 {\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}\\[8mu]&\approx 1.76663875\end{aligned}}} Они удовлетворяют тождеству cm 3 z + sm 3 z = 1 {\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1} t ↦ ( cm t , sm t ) , {\displaystyle t\mapsto (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t),} t ∈ [ − 1 3 π 3 , 2 3 π 3 ] {\displaystyle t\in {\bigl [}{-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3},{\tfrac {2}{3}}\pi _{3}{\bigr ]}} кривую Ферма x 3 + y 3 = 1 , {\displaystyle x^{3}+y^{3}=1,} 1 2 t {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}t} ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,\,0)} ( cm t , sm t ) {\displaystyle (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t)} [6] теорему Грина :
A = 1 2 ∫ 0 t ( x d y − y d x ) = 1 2 ∫ 0 t ( cm 3 t + sm 3 t ) d t = 1 2 ∫ 0 t d t = 1 2 t . {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(x\mathop {dy} -y\mathop {dx} )={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\operatorname {cm} ^{3}t+\operatorname {sm} ^{3}t)\mathop {dt} ={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt={\tfrac {1}{2}}t.} Обратите внимание, что область между x + y = 0 {\displaystyle x+y=0} x 3 + y 3 = 1 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=1} 1 6 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi _{3}}
1 2 π 3 = ∫ − ∞ ∞ ( ( 1 − x 3 ) 1 / 3 + x ) d x 1 6 π 3 = ∫ − ∞ 0 ( ( 1 − x 3 ) 1 / 3 + x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 − x 3 ) 1 / 3 d x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} \\[8mu]{\tfrac {1}{6}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} =\int _{0}^{1}(1-x^{3})^{1/3}\mathop {dx} .\end{aligned}}} Эллиптическая функция Диксона sm z на комплексной плоскости, иллюстрирующая ее двойную периодичность ( ω = e 2 πи /3 [7] Функция sm z {\displaystyle \operatorname {sm} z} нули в комплексных точках z = 1 3 π 3 i ( a + b ω ) {\displaystyle z={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ω {\displaystyle \omega } корнем из единицы , ω = exp 2 3 i π = − 1 2 + 3 2 i {\displaystyle \omega =\exp {\tfrac {2}{3}}i\pi =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i} a + b ω {\displaystyle a+b\omega } целое число Эйзенштейна ). Функция cm z {\displaystyle \operatorname {cm} z} z = 1 3 π 3 + 1 3 π 3 i ( a + b ω ) {\displaystyle z={\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )} полюсы в комплексных точках. z = − 1 3 π 3 + 1 3 π 3 i ( a + b ω ) {\displaystyle z=-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}
На реальной линии, sm x = 0 ↔ x ∈ π 3 Z {\displaystyle \operatorname {sm} x=0\leftrightarrow x\in \pi _{3}\mathbb {Z} } sin x = 0 ↔ x ∈ π Z {\displaystyle \sin x=0\leftrightarrow x\in \pi \mathbb {Z} }
[ редактировать ] И cm , и sm коммутируют с комплексным сопряжением,
cm z ¯ = cm z ¯ , sm z ¯ = sm z ¯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sm} z}}.\end{aligned}}} Аналогично четности тригонометрических функций (косинус — четная функция , синус — нечетная функция ), функция Диксона cm инвариантна относительно 1 3 {\textstyle {\tfrac {1}{3}}} 1 3 {\textstyle {\tfrac {1}{3}}} sm вызывают 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
cm ω z = cm z = cm ω 2 z , sm ω z = ω sm z = ω 2 sm ω 2 z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} \omega z&=\operatorname {cm} z=\operatorname {cm} \omega ^{2}z,\\\operatorname {sm} \omega z&=\omega \operatorname {sm} z=\omega ^{2}\operatorname {sm} \omega ^{2}z.\end{aligned}}} Каждая эллиптическая функция Диксона инвариантна относительно перевода на целые числа Эйзенштейна. a + b ω {\displaystyle a+b\omega } π 3 , {\displaystyle \pi _{3},}
cm ( z + π 3 ( a + b ω ) ) = cm z , sm ( z + π 3 ( a + b ω ) ) = sm z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {cm} z,\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {sm} z.\end{aligned}}} Отрицание каждого из см и см эквивалентно 1 3 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}
cm ( − z ) = 1 cm z = sm ( z + 1 3 π 3 ) , sm ( − z ) = − sm z cm z = 1 sm ( z − 1 3 π 3 ) = cm ( z + 1 3 π 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (-z)&={\frac {1}{\operatorname {cm} z}}=\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )},\\\operatorname {sm} (-z)&=-{\frac {\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}}={\frac {1}{\operatorname {sm} {\bigl (}z-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}}}=\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}.\end{aligned}}} Для n ∈ { 0 , 1 , 2 } , {\displaystyle n\in \mathbb {\{} 0,1,2\},} 1 3 π 3 ω {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}\omega }
cm ( z + 1 3 ω n π 3 ) = ω 2 n − sm z cm z , sm ( z + 1 3 ω n π 3 ) = ω n 1 cm z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{2n}{\frac {-\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{n}{\frac {1}{\operatorname {cm} z}}.\end{aligned}}} z {\displaystyle z} cm z {\displaystyle \operatorname {cm} z} sm z {\displaystyle \operatorname {sm} z} − 1 3 π 3 {\displaystyle {-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3}} ∞ {\displaystyle \infty } ∞ {\displaystyle \infty } − 1 6 π 3 {\displaystyle {-{\tfrac {1}{6}}}\pi _{3}} 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 1 6 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi _{3}} 1 / 2 3 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{3}]{2}}} 1 / 2 3 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{3}]{2}}} 1 3 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 1 2 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi _{3}} − 1 {\displaystyle -1} 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 2 3 π 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi _{3}} ∞ {\displaystyle \infty } ∞ {\displaystyle \infty }
show z {\displaystyle z} cm z {\displaystyle \operatorname {cm} z} sm z {\displaystyle \operatorname {sm} z} − 1 4 π 3 {\displaystyle {-{\tfrac {1}{4}}}\pi _{3}} 1 + 3 + 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}} − 1 − 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}} − 2 9 π 3 {\displaystyle -{\tfrac {2}{9}}\pi _{3}} 3 6 2 sin ( 1 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}}} − 2 cos ( 1 18 π ) 3 6 {\displaystyle -{\frac {2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} − 1 9 π 3 {\displaystyle -{\tfrac {1}{9}}\pi _{3}} 2 sin ( 2 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} − 3 6 2 cos ( 1 18 π ) {\displaystyle -{\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}}} − 1 12 π 3 {\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}\pi _{3}} − 1 + 3 + 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}} − 1 + 3 − 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}} 1 12 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\pi _{3}} − 1 + 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}} 1 + 3 − 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}} 1 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}} 3 6 2 sin ( 2 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}}} 2 sin ( 1 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} 2 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}} 2 sin ( 1 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} 3 6 2 sin ( 2 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}}} 1 4 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}} 1 + 3 − 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}} − 1 + 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}} 5 12 π 3 {\displaystyle {\tfrac {5}{12}}\pi _{3}} − 1 + 3 − 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}} − 1 + 3 + 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}} 4 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{9}}\pi _{3}} − 3 6 2 cos ( 1 18 π ) {\displaystyle -{\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}}} 2 sin ( 2 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} 5 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {5}{9}}\pi _{3}} − 2 cos ( 1 18 π ) 3 6 {\displaystyle -{\frac {2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} 3 6 2 sin ( 1 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}}} 7 12 π 3 {\displaystyle {\tfrac {7}{12}}\pi _{3}} − 1 − 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}} 1 + 3 + 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}}
Эллиптические функции Диксона удовлетворяют тождествам суммы аргументов и разностей: [8]
cm ( u + v ) = sm u cm u − sm v cm v sm u cm 2 v − cm 2 u sm v cm ( u − v ) = cm 2 u cm v − sm u sm 2 v cm u cm 2 v − sm 2 u sm v sm ( u + v ) = sm 2 u cm v − cm u sm 2 v sm u cm 2 v − cm 2 u sm v sm ( u − v ) = sm u cm u − sm v cm v cm u cm 2 v − sm 2 u sm v {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {cm} (u-v)&={\frac {\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {sm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {cm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u-v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\end{aligned}}} Эти формулы можно использовать для вычисления комплексных функций в реальных компонентах: [ нужна ссылка
cm ( x + ω y ) = sm x cm x − ω sm y cm y sm x cm 2 y − ω cm 2 x sm y = cm x ( sm 2 x cm 2 y + cm x sm 2 y cm y + sm x cm 2 x sm y ) sm 2 x cm 4 y + sm x cm 2 x sm y cm 2 y + cm 4 x sm 2 y + ω sm x sm y ( cm 3 x − cm 3 y ) sm 2 x cm 4 y + sm x cm 2 x sm y cm 2 y + cm 4 x sm 2 y sm ( x + ω y ) = sm 2 x cm y − ω 2 cm x sm 2 y sm x cm 2 y − ω cm 2 x sm y = sm x ( sm x cm x cm 2 y + sm y cm 3 x + sm y cm 3 y ) sm 2 x cm 4 y + sm x cm 2 x sm y cm 2 y + cm 4 x sm 2 y + ω sm y ( sm x cm 3 x + sm x cm 3 y + cm 2 x sm y cm y ) sm 2 x cm 4 y + sm x cm 2 x sm y cm 2 y + cm 4 x sm 2 y {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x-\omega \,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cm} x(\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y\,\operatorname {cm} y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {sm} y(\operatorname {cm} ^{3}x-\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[8mu]\operatorname {sm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} y-\omega ^{2}\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sm} x(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} y(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}y+\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\end{aligned}}} Тождества дублирования и утроения аргументов могут быть получены из тождества суммы: [9]
cm 2 u = cm 3 u − sm 3 u cm u ( 1 + sm 3 u ) = 2 cm 3 u − 1 2 cm u − cm 4 u , sm 2 u = sm u ( 1 + cm 3 u ) cm u ( 1 + sm 3 u ) = 2 sm u − sm 4 u 2 cm u − cm 4 u , cm 3 u = cm 9 u − 6 cm 6 u + 3 cm 3 u + 1 cm 9 u + 3 cm 6 u − 6 cm 3 u + 1 , sm 3 u = 3 sm u cm u ( sm 3 u cm 3 u − 1 ) cm 9 u + 3 cm 6 u − 6 cm 3 u + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} 2u&={\frac {\operatorname {cm} ^{3}u-\operatorname {sm} ^{3}u}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {cm} ^{3}u-1}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {sm} 2u&={\frac {\operatorname {sm} u(1+\operatorname {cm} ^{3}u)}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {sm} u-\operatorname {sm} ^{4}u}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {cm} 3u&={\frac {\operatorname {cm} ^{9}u-6\operatorname {cm} ^{6}u+3\operatorname {cm} ^{3}u+1}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}},\\[5mu]\operatorname {sm} 3u&={\frac {3\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u(\operatorname {sm} ^{3}u\,\operatorname {cm} ^{3}u-1)}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}}.\end{aligned}}} Из этих формул можно вывести, что выражения вида cm ( k π 3 2 n 3 m ) {\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {k\pi _{3}}{2^{n}3^{m}}})} sm ( k π 3 2 n 3 m ) {\displaystyle \operatorname {sm} ({\frac {k\pi _{3}}{2^{n}3^{m}}})} беззнаковыми бесконечностями , либо конструкциями-оригами для любых n , m , k ∈ N {\displaystyle n,m,k\in \mathbb {N} } M = {\displaystyle \mathbb {M} =} ∪ { ∞ } {\displaystyle \cup \{\infty }\} cm ( x 2 ) {\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {x}{2}})} cm x ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} } cm ( x 2 ) ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {x}{2}})\in \mathbb {M} } t = x 3 {\displaystyle t=x^{3}} cm x ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} } cm ( x 3 ) ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {x}{3}})\in \mathbb {M} } cm x ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} } ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } cm ( n x ) ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} (nx)\in \mathbb {M} } рациональной функцией . Если cm x ∈ M {\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} } sm x ∈ M {\displaystyle \operatorname {sm} x\in \mathbb {M} } sm x = ω p 1 − cm 3 x 3 {\displaystyle \operatorname {sm} x=\omega ^{p}\,{\sqrt[{3}]{1-\operatorname {cm} ^{3}x}}} p ∈ { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle p\in \{0,1,2\}}
The cm {\displaystyle \operatorname {cm} } cm 2 9 π 3 = − cm 1 9 π 3 cm 4 9 π 3 , cm 1 4 π 3 = cl 1 3 ϖ , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}&=-\operatorname {cm} {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}\,\operatorname {cm} {\tfrac {4}{9}}\pi _{3},\\[5mu]\operatorname {cm} {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}&=\operatorname {cl} {\tfrac {1}{3}}\varpi ,\end{aligned}}}
где cl {\displaystyle \operatorname {cl} } косинус и ϖ {\displaystyle \varpi } постоянная Лемнискаты . [ нужна ссылка
Функции cm и sm можно аппроксимировать для | z | < 1 3 π 3 {\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}} серии Тейлора
cm z = c 0 + c 1 z 3 + c 2 z 6 + c 3 z 9 + ⋯ + c n z 3 n + ⋯ sm z = s 0 z + s 1 z 4 + s 2 z 7 + s 3 z 10 + ⋯ + s n z 3 n + 1 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=c_{0}+c_{1}z^{3}+c_{2}z^{6}+c_{3}z^{9}+\cdots +c_{n}z^{3n}+\cdots \\[4mu]\operatorname {sm} z&=s_{0}z+s_{1}z^{4}+s_{2}z^{7}+s_{3}z^{10}+\cdots +s_{n}z^{3n+1}+\cdots \end{aligned}}} чьи коэффициенты удовлетворяют рекуррентности c 0 = s 0 = 1 , {\displaystyle c_{0}=s_{0}=1,} [10]
c n = − 1 3 n ∑ k = 0 n − 1 s k s n − 1 − k s n = 1 3 n + 1 ∑ k = 0 n c k c n − k {\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=-{\frac {1}{3n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1-k}\\[4mu]s_{n}&={\frac {1}{3n+1}}\sum _{k=0}^{n}c_{k}c_{n-k}\end{aligned}}} Эти рецидивы приводят к: [11]
cm z = 1 − 1 3 z 3 + 1 18 z 6 − 23 2268 z 9 + 25 13608 z 12 − 619 1857492 z 15 + ⋯ sm z = z − 1 6 z 4 + 2 63 z 7 − 13 2268 z 10 + 23 22113 z 13 − 2803 14859936 z 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=1-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{18}}z^{6}-{\frac {23}{2268}}z^{9}+{\frac {25}{13608}}z^{12}-{\frac {619}{1857492}}z^{15}+\cdots \\[8mu]\operatorname {sm} z&=z-{\frac {1}{6}}z^{4}+{\frac {2}{63}}z^{7}-{\frac {13}{2268}}z^{10}+{\frac {23}{22113}}z^{13}-{\frac {2803}{14859936}}z^{16}+\cdots \end{aligned}}} Эллиптическая кривая y 2 = 4 x 3 − 1 27 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-{\tfrac {1}{27}}} z ↦ ℘ ( z ; 0 , 1 27 ) {\displaystyle z\mapsto \wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}} Эквиангармоническая Вейерштрасса эллиптическая функция ℘ ( z ) = ℘ ( z ; 0 , 1 27 ) , {\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )},} решеткой Λ = π 3 Z ⊕ π 3 ω Z {\displaystyle \Lambda =\pi _{3}\mathbb {Z} \oplus \pi _{3}\omega \mathbb {Z} } [12]
℘ ( z ) = 1 z 2 + ∑ λ ∈ Λ ∖ { 0 } ( 1 ( z − λ ) 2 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\!\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)} Функция ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)}
℘ ′ ( z ) 2 = 4 ℘ ( z ) 3 − 1 27 {\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-{\tfrac {1}{27}}} Мы также можем записать это как обратную величину интеграла:
z = ∫ ∞ ℘ ( z ) d w 4 w 3 − 1 27 {\displaystyle z=\int _{\infty }^{\wp (z)}{\frac {dw}{\sqrt {4w^{3}-{\tfrac {1}{27}}}}}} С точки зрения ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)} [13]
cm z = 3 ℘ ′ ( z ) + 1 3 ℘ ′ ( z ) − 1 , sm z = − 6 ℘ ( z ) 3 ℘ ′ ( z ) − 1 {\displaystyle \operatorname {cm} z={\frac {3\wp '(z)+1}{3\wp '(z)-1}},\ \operatorname {sm} z={\frac {-6\wp (z)}{3\wp '(z)-1}}} Аналогично, эллиптическая функция Вейерштрасса ℘ ( z ) = ℘ ( z ; 0 , 1 27 ) {\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}}
℘ ′ ( z ) = cm z + 1 3 ( cm z − 1 ) , ℘ ( z ) = − sm z 3 ( cm z − 1 ) {\displaystyle \wp '(z)={\frac {\operatorname {cm} z+1}{3(\operatorname {cm} z-1)}},\ \wp (z)={\frac {-\operatorname {sm} z}{3(\operatorname {cm} z-1)}}} Эллиптические функции Диксона также могут быть выражены с помощью эллиптических функций Якоби , что впервые было обнаружено Кэли . [14] k = e 5 i π / 6 {\displaystyle k=e^{5i\pi /6}} θ = 3 1 4 e 5 i π / 12 {\displaystyle \theta =3^{\frac {1}{4}}e^{5i\pi /12}} s = sn ( u , k ) {\displaystyle s=\operatorname {sn} (u,k)} c = cn ( u , k ) {\displaystyle c=\operatorname {cn} (u,k)} d = dn ( u , k ) {\displaystyle d=\operatorname {dn} (u,k)}
ξ ( u ) = − 1 + θ s c d 1 + θ s c d {\displaystyle \xi (u)={\frac {-1+\theta scd}{1+\theta scd}}} η ( u ) = 2 1 / 3 ( 1 + θ 2 s 2 ) 1 + θ s c d {\displaystyle \eta (u)={\frac {2^{1/3}\left(1+\theta ^{2}s^{2}\right)}{1+\theta scd}}} Наконец, эллиптические функции Диксона таковы:
sm ( z ) = ξ ( z + π 3 / 6 2 1 / 3 θ ) {\displaystyle \operatorname {sm} (z)=\xi \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right)} cm ( z ) = η ( z + π 3 / 6 2 1 / 3 θ ) {\displaystyle \operatorname {cm} (z)=\eta \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right)} Некоторые определения обобщенных тригонометрических функций включают обычные тригонометрические синус и косинус как n = 2 {\displaystyle n=2} n = 3 {\displaystyle n=3} [15]
Например, определение π n = B ( 1 n , 1 n ) {\displaystyle \pi _{n}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}} sin n z , cos n z {\displaystyle \sin _{n}z,\,\cos _{n}z}
z = ∫ 0 sin n z d w ( 1 − w n ) ( n − 1 ) / n = ∫ cos n z 1 d w ( 1 − w n ) ( n − 1 ) / n {\displaystyle z=\int _{0}^{\sin _{n}z}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}=\int _{\cos _{n}z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}} Площадь в положительном квадранте под кривой x n + y n = 1 {\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}
∫ 0 1 ( 1 − x n ) 1 / n d x = π n 2 n {\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{n})^{1/n}\mathop {dx} ={\frac {\pi _{n}}{2n}}} Квартик n = 4 {\displaystyle n=4} эллиптическими функциями лемнискат .
Конформная картографическая проекция земного шара на октаэдр. Поскольку октаэдр имеет равносторонние треугольные грани, эту проекцию можно описать с помощью функций sm и cm. Эллиптические функции Диксона представляют собой конформные карты равностороннего треугольника в диск и поэтому полезны для построения многогранных конформных проекций карт , включающих равносторонние треугольники, например, проецирования сферы на треугольник, шестиугольник, тетраэдр , октаэдр или икосаэдр. [16]
^ Диксон (1890), Диллнер (1873). Диллнер использует символы W = sm , W 1 = cm . {\displaystyle W=\operatorname {sm} ,\ W_{1}=\operatorname {cm} .} ^ Диксон (1890), Ван Фоссен Конрад и Флажоле (2005), Робинсон (2019). ^ Отображение обычного правильного многоугольника описано у Шварца (1869). ^ ван Фоссен Конрад и Флажолет (2005), с. 6. ^ Диллнер (1873) называет этот период 3 w {\displaystyle 3w} 3 λ {\displaystyle 3\lambda } 3 K {\displaystyle 3K} π 3 {\displaystyle \pi _{3}} A197374 . ^ Диксон (1890), Ван Фоссен Конрад и Флажоле (2005) ^ Темные области представляют собой нули, а светлые области представляют собой полюса. В аргумента качестве sm z {\displaystyle \operatorname {sm} z} − π {\displaystyle -\pi } π {\displaystyle \pi } Arg ≈ − π / 2 {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx -\pi /2} Arg ≈ 0 {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx 0} Arg ≈ π / 2 {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx \pi /2} Arg ≈ π {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx \pi } ^ Диксон (1890), Адамс (1925) ^ Диксон (1890), с. 185–186 . Робинсон (2019). ^ Адамс (1925) ^ ван Фоссен Конрад и Флажолет (2005). См. также OEIS A104133 , A104134 . ^ Рейнхардт и Уокер (2010) ^ Чаплинг (2018), Робинсон (2019). Адамс (1925) вместо этого выражает эллиптические функции Диксона через эллиптическую функцию Вейерштрасса. ℘ ( z ; 0 , − 1 ) . {\displaystyle \wp (z;0,-1).} ^ ван Фоссен Конрад и Флажолет (2005), стр.38 ^ Лундберг (1879 г.), Граммель (1948 г.), Шелупский (1959 г.), Бургойн (1964 г.), Гамбини, Николетти и Рителли (2021 г.). ^ Адамс (1925), Кокс (1935), Магис (1938), Ли (1973), Ли (1976), Макилрой (2011), Чаплинг (2016). ОС Адамс (1925). Эллиптические функции в применении к конформным картам мира (№ 297). Типография правительства США. ftp://ftp.library.noaa.gov/docs.lib/htdocs/rescue/cgs_specpubs/QB275U35no1121925.pdf Р. Бахер и П. Флажоле (2010) «Псевдофакториалы, эллиптические функции и цепные дроби» Журнал Рамануджана 21 (1), 71–97. https://arxiv.org/pdf/0901.1379.pdf А. Кэли (1882) «Сокращение ∫ d x / ( 1 − x 3 ) 2 / 3 {\textstyle \int dx/(1-x^{3}){}^{2/3}} Вестник математики 11, 142–143. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN599484047_0011?tify={%22pages%22:%5b146%5d} Ф.Д. Бургойн (1964) «Обобщенные тригонометрические функции». Математика вычислений 18 (86), 314–316. https://www.jstor.org/stable/2003310 А. Кэли (1883) «О решении эллиптической функции уравнения x 3 + и 3 − 1 = 0 Труды Кембриджского философского общества 4, 106–109. https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb/page/106/ Р. Чаплинг (2016) «Инвариантные мероморфные функции на группах обоев». https://arxiv.org/pdf/1608.05677 Дж. Ф. Кокс (1935) «Представление всей поверхности Земли в равностороннем треугольнике», Bulletin de la Classe des Sciences, Académie Royale de Belgique 5e , 21, 66–71. Г. Диллнер (1873) «Traité de Calcul Géométrique Superieur», глава 16, Новые труды Королевского общества наук Упсали, сер. III 8, 94–102. https://archive.org/details/novaactaregiaeso38kung/page/94/ Диксон, AC (1890). «О двоякопериодических функциях, возникающих из кривой x 3 + и 3 − 3 αxy = 1 . Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . XXIV : 167–233. А. Диксон (1894) Элементарные свойства эллиптических функций . Макмиллиан. https://archive.org/details/elempropellipt00dixorich/ Ван Фоссен Конрад, Эрик; Флажоле, Филипп (2005). «Кубика Ферма, эллиптические функции, цепные дроби и комбинаторный экскурс». Лотарингский семинар по комбинаторике 54 : Ст. B54g, 44. arXiv : math/0507268 Бибкод : 2005math......7268V . МР 2223029 . А. Гамбини, Дж. Николетти и Д. Рителли (2021) «Кеплерова тригонометрия». Ежемесячные выпуски по математике 195 (1), 55–72. https://doi.org/10.1007/s00605-021-01512-0 Р. Граммель (1948) «Обобщение круговых и гиперболических функций». Архив математики 1 (1), 47–51. https://doi.org/10.1007/BF02038206 Джей Си Лангер и Д. А. Сингер (2014) «Трилистник». Миланский математический журнал 82 (1), 161–182. https://case.edu/artsci/math/langer/jlpreprints/Trefoil.pdf М. Лоран (1949) «Таблицы эллиптической функции Диксона для интервала 0-0, 1030». Бюллетень Королевской академии наук Бельгии Classe des Sciences , 35, 439–450. Л. П. Ли (1973) «Конформная тетраэдрическая проекция с некоторыми практическими приложениями». Картографический журнал , 10 (1), 22–28. https://doi.org/10.1179/caj.1973.10.1.22 Л. П. Ли (1976) Конформные проекции на основе эллиптических функций Картографическая монография № 16. Э. Лундберг (1879) «О гипергониометрических функциях комплексных переменных». Рукопись, 1879 г. Перевод Яака Пеэтре «О гипергониометрических функциях комплексных переменных». https://web.archive.org/web/20161024183030/http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/jaak/hypergf.ps Ж. Магис (1938) «Расчет каркаса конформного изображения всей сферы в равностороннем треугольнике». Бюллетень Géodésique 59 (1), 247–256. http://doi.org/10.1007/BF03029866 Доктор медицины Макилрой (2011) «Обои-карты». Надежные и исторические вычисления . Спрингер. 358–375. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-24541-1_27 В.П. Рейнхардт и П.Л. Уокер (2010) «Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса», Цифровая библиотека математических функций NIST , §23.5(v). https://dlmf.nist.gov/23.5#v П. Л. Робинсон (2019) «Диксоновы эллиптические функции». https://arxiv.org/abs/1901.04296 Х. А. Шварц (1869) «О некоторых задачах изображения». Журнал Крелля 1869 (70), 105–120. http://doi.org/10.1515/crll.1869.70.105 Б. Р. Сет и Ф. П. Уайт (1934) «Кручение балок, поперечное сечение которых представляет собой правильный многоугольник с n сторонами». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 30(2), 139. http://doi.org/10.1017/s0305004100016558. Д. Шелупский (1959) «Обобщение тригонометрических функций». Американский математический ежемесячник 66 (10), 879–884. https://www.jstor.org/stable/2309789 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{(1-x ^{3})^{2/3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\ int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}\\[8mu]&\approx 1.76663875\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e86b8579dc86e0be51fd43dfdd2be0646a62743)
![{\displaystyle t\in {\bigl [}{-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3},{\tfrac {2}{3}}\pi _{3}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f739bb3fadde127df9ed965f20d3304e867b58)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl (}(1-x^ {3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} \\[8mu]{\tfrac {1}{6}}\pi _{3}&=\int _{- \infty }^{0}{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} =\int _{0}^{1} (1-x^{3})^{1/3}\mathop {dx} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505eef586df7fdedeb4fe3bd1aa6c4eb8e42c250)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
![{\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b334c659a0d1f1bec7640a43d828241bfc3f0c)
![{\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf3f10925afb38ddb876a67dc0c2b9bc28f0148)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f0b8bac49b6c27d3678705694b0e0927239cef)
![{\displaystyle -{\frac {2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3de6779af726913f1fd0c313b62f30c6720d2b2)
![{\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afb363a926fcf5cd9492d6cf645c682252d0929)
![{\displaystyle -{\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50eb7744252bd3386cc09444d042171ceb2ad9c)
![{\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42828b760befc0c67acca9e96ed1e6e15c64c857)
![{\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7154274cb944ac7c57047c2e183fd35bad03a633)
![{\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4b5d1f57c663df0617c1663a971171d0a4e939)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6262c6b488a03e29acf2638c537874392379098)
![{\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd8975db38a11110fa75def1166a17792032d28)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu] \operatorname {см} (uv)&={\frac {\operatorname {см} ^{2}u\,\operatorname {см} v-\operatorname {см} u\,\operatorname {см} ^{2} v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname { sm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {cm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v }{\operatorname {см} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm } (uv)&={\frac {\operatorname {см} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {cm} u\,\ имя_оператора {см} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68e3ab4b41dd1ff50604a3a6d82295c18e48c9e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {см} (x+\omega y)&= {\frac {\operatorname {см} x\,\operatorname {см} x-\omega \,\operatorname {см} y\,\operatorname {см} y}{\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}y-\omega \,\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {см } y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {см} x(\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {см} ^{2}y+\operatorname {см} x \,\operatorname {см} ^{2}y\,\operatorname {см} y+\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {см} y)}{\ имя оператора {см} ^{2}x\,\operatorname {см} ^{4}y+\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\ имя оператора {см} ^{2}y+\operatorname {см} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {см} x\,\operatorname {см} y(\operatorname {см} ^{3}x-\operatorname {см} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\ имя_оператора {см} ^{4}y+\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {см} y\,\operatorname {см} ^{2}y+\operatorname { см} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[8mu]\operatorname {sm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} ^{ 2}x\,\operatorname {см} y-\omega ^{2}\,\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {см} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sm} x (\operatorname {см} x\,\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}y+\operatorname {см} y\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {см} y\,\operatorname {см} ^{3}y)}{\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {см} ^{4}y+\operatorname {см} x\,\operatorname {см } ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}} \\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} y(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}y+\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\ имя_оператора {см} ^{4}y+\operatorname {см} x\,\operatorname {см} ^{2}x\,\operatorname {см} y\,\operatorname {см} ^{2}y+\operatorname { см} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f0c761469b826d410e66e30dcaf9aeb984382b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {см} 2u&={\frac {\operatorname {см} ^{3}u-\operatorname {sm} ^{3}u}{\operatorname {см} u( 1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {cm} ^{3}u-1}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{ 4}u}},\\[5mu]\operatorname {sm} 2u&={\frac {\operatorname {sm} u(1+\operatorname {cm} ^{3}u)}{\operatorname {cm} u (1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {sm} u-\operatorname {sm} ^{4}u}{2\operatorname {cm} u-\ имя оператора {см} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {см} 3u&={\frac {\operatorname {см} ^{9}u-6\operatorname {см} ^{6}u +3\operatorname {cm} ^{3}u+1}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u +1}},\\[5mu]\operatorname {sm} 3u&={\frac {3\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u(\operatorname {sm} ^{3}u\,\ operatorname {cm} ^{3}u-1)}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1 }}.\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86c3d7575929bf43351f8b103212fd4813a1015)
![{\displaystyle \operatorname {см} x=\omega ^{p}\, {\sqrt[{3}]{1-\operatorname {cm} ^{3}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20f24a7a8b884842fda9a419cdd3f9031819260)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}&=-\operatorname {cm} {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}\,\operatorname {cm} {\tfrac {4}{9}}\pi _{3},\\[5mu]\operatorname {cm} {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}&=\operatorname {cl} {\tfrac {1}{3}}\varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ac64afeea2d31a99521caf006efe370b4be517)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {см} z&=c_{0}+c_{1}z^{3}+c_{2}z^{6}+c_{3}z^{9} +\cdots +c_{n}z^{3n}+\cdots \\[4mu]\operatorname {sm} z&=s_{0}z+s_{1}z^{4}+s_{2}z^ {7}+s_{3}z^{10}+\cdots +s_{n}z^{3n+1}+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd2e395b56512f0baf958267f60ada9aa6cce1a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=-{\frac {1}{3n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1- k}\\[4mu]s_{n}&={\frac {1}{3n+1}}\sum _{k=0}^{n}c_{k}c_{nk}\end{aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c94a41e4691be8ce458576cfa67d271f6174dc5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {см} z&=1- {\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{18}}z^{6}- {\frac {23}{2268}}z^{9}+{\frac {25}{13608}}z^{12}-{\frac {619}{1857492}}z^{15}+\cdots \\[8mu]\operatorname {sm} z&=z-{\frac {1}{6}}z^{4}+{\frac {2}{63}}z^{7}-{\frac { 13}{2268}}z^{10}+{\frac {23}{22113}}z^{13}-{\frac {2803}{14859936}}z^{16}+\cdots \end{aligned }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c620114b3a5826efd52633b26739ad5f818426d5)
