Доказательства тригонометрических тождеств.

Существует несколько эквивалентных способов определения тригонометрических функций , и доказательства тригонометрических тождеств между ними зависят от выбранного определения. Самые старые и элементарные определения основаны на геометрии прямоугольных треугольников . Доказательства, приведенные в этой статье, используют эти определения и, таким образом, применимы к неотрицательным углам, не превышающим прямого угла . Для больших и отрицательных углов см. Тригонометрические функции .

другие доказательства основаны на ряде Тейлора синуса Другие определения и, следовательно , и косинуса или на дифференциальном уравнении $f''+f=0$ для которых они являются решениями.

Элементарные тригонометрические тождества

Определения

Тригонометрические функции определяют взаимосвязь между длинами сторон и внутренними углами прямоугольного треугольника. Например, синус угла θ определяется как длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы.

Шесть тригонометрических функций определены для каждого действительного числа , за исключением некоторых из них, для углов, которые отличаются от 0 на кратное прямому углу (90°). На диаграмме справа можно увидеть шесть тригонометрических функций θ для углов, меньших прямого угла:

$\sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{h}}$

$\cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{h}}$

$\tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {a}{b}}$

$\cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {b}{a}}$

$\sec \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {h}{b}}$

$\csc \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {h}{a}}$

Соотношения тождеств

В случае углов, меньших прямого угла, следующие тождества являются прямыми следствиями приведенных выше определений посредством тождества деления.

${\frac {a}{b}}={\frac {\left({\frac {a}{h}}\right)}{\left({\frac {b}{h}}\right)}}.$

Они остаются действительными для углов больше 90° и для отрицательных углов.

$\tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

$\cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}$

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}$

$\tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}\right)}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}$

Или

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left({\frac {1}{\csc \theta }}\right)}{\left({\frac {1}{\sec \theta }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\csc \theta \sec \theta }{\csc \theta }}\right)}{\left({\frac {\csc \theta \sec \theta }{\sec \theta }}\right)}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}$

$\cot \theta ={\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}$

Дополнительные угловые тождества

Два угла, сумма которых равна π/2 радиан (90 градусов), являются дополнительными . На диаграмме углы в вершинах A и B дополняют друг друга, поэтому мы можем поменять местами a и b и изменить θ на π/2 − θ, получив:

$\sin \left(\pi /2-\theta \right)=\cos \theta$

$\cos \left(\pi /2-\theta \right)=\sin \theta$

$\tan \left(\pi /2-\theta \right)=\cot \theta$

$\cot \left(\pi /2-\theta \right)=\tan \theta$

$\sec \left(\pi /2-\theta \right)=\csc \theta$

$\csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec \theta$

Пифагорейские идентичности

Основная статья: Пифагорейское тригонометрическое тождество

Идентичность 1:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

Отсюда и тождества отношений следуют два следующих результата. Чтобы получить первое, разделите обе части $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ к $\cos ^{2}\theta$; для второго разделите на $\sin ^{2}\theta$.

$\tan ^{2}\theta +1\ =\sec ^{2}\theta$

$\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1$

Сходным образом

$1\ +\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

$\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1$

Идентичность 2:

Следующее объясняет все три взаимные функции.

$\csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =2\ +\tan ^{2}\theta$

Доказательство 2:

Обратитесь к диаграмме треугольника выше. Обратите внимание, что $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ по теореме Пифагора .

$\csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta ={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}$

Замена соответствующими функциями -

$2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}\theta +\cot ^{2}\theta$

Перестановка дает:

$\csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =2\ +\tan ^{2}\theta$

Тождества суммы углов

См. Также: Список тригонометрических тождеств § Угловые тождества суммы и разности.

Его

Иллюстрация формулы суммы.

Нарисуйте горизонтальную линию ( ось X ); отметьте начало координат О. Нарисуйте линию от О под углом $\alpha$ над горизонтальной линией и вторая линия под углом $\beta$ выше этого; угол между второй линией и осью x равен $\alpha +\beta$.

Поместите P на линию, определяемую $\alpha +\beta$ на единицу расстояния от начала координат.

Пусть PQ — линия, перпендикулярная линии OQ, определяемая углом $\alpha$, проведенный из точки Q на этой линии в точку P. $\therefore$ OQP — прямой угол.

Пусть QA — перпендикуляр из точки A на оси x к Q, а PB — перпендикуляр из точки B на оси x к P. $\therefore$ OAQ и OBP — прямые углы.

Нарисуйте R на PB так, чтобы QR был параллелен оси x .

Теперь угол $RPQ=\alpha$ (потому что $OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha$, изготовление $RQO=\alpha ,RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha$и наконец $RPQ=\alpha$)

$RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {\pi }{2}}-RQO)=RQO=\alpha$

$OP=1$

$PQ=\sin \beta$

$OQ=\cos \beta$

${\frac {AQ}{OQ}}=\sin \alpha$, так $AQ=\sin \alpha \cos \beta$

${\frac {PR}{PQ}}=\cos \alpha$, так $PR=\cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

Подставив $-\beta$ для $\beta$ и используя тождества отражения четных и нечетных функций , мы также получаем:

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

Косинус

Используя рисунок выше,

$OP=1$

$PQ=\sin \beta$

$OQ=\cos \beta$

${\frac {OA}{OQ}}=\cos \alpha$, так $OA=\cos \alpha \cos \beta$

${\frac {RQ}{PQ}}=\sin \alpha$, так $RQ=\sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta$

Подставив $-\beta$ для $\beta$ и используя тождества отражения четных и нечетных функций , мы также получаем:

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos(-\beta )-\sin \alpha \sin(-\beta ),$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

Кроме того, используя дополнительные формулы угла ,

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\pi /2-(\alpha +\beta )\right)\\&=\sin \left((\pi /2-\alpha )-\beta \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\alpha \right)\cos \beta -\cos \left(\pi /2-\alpha \right)\sin \beta \\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\end{aligned}}$

Тангенс и котангенс

Из формул синуса и косинуса получаем

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}$

Разделив числитель и знаменатель на $\cos \alpha \cos \beta$, мы получаем

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

Вычитание $\beta$ от $\alpha$, с использованием $\tan(-\beta )=-\tan \beta$,

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \tan(-\beta )}}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

Аналогично из формул синуса и косинуса получаем

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }}$

Затем разделив числитель и знаменатель на $\sin \alpha \sin \beta$, мы получаем

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

Или, используя $\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}$,

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}={\frac {{\frac {1}{\tan \alpha \tan \beta }}-1}{{\frac {1}{\tan \alpha }}+{\frac {1}{\tan \beta }}}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

С использованием $\cot(-\beta )=-\cot \beta$,

$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot(-\beta )-1}{\cot \alpha +\cot(-\beta )}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$

Двуугольные тождества

Из тождеств суммы углов получаем

$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$

и

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta$

Пифагорейские тождества дают две альтернативные формы последнего из них:

$\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1$

$\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta$

Тождества суммы углов также дают

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot \theta -\tan \theta }}$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}$

Это также можно доказать, используя формулу Эйлера

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$

Возведение в квадрат обеих сторон дает

$e^{i2\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}$

Но замена угла его удвоенной версией, которая дает тот же результат в левой части уравнения, дает

$e^{i2\varphi }=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$

Отсюда следует, что

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$.

Расширение квадрата и упрощение левой части уравнения дает

$i(2\sin \varphi \cos \varphi )+\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$.

Поскольку мнимая и реальная части должны быть одинаковыми, у нас остаются исходные тождества.

$\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi$,

а также

$2\sin \varphi \cos \varphi =\sin 2\varphi$.

Полуугольные тождества

Два тождества, дающие альтернативные формы для cos 2θ, приводят к следующим уравнениям:

$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},$

$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.$

Знак квадратного корня необходимо выбрать правильно - обратите внимание, что если к θ добавить 2 π , величины внутри квадратных корней не изменятся, но левые части уравнений меняют знак. Следовательно, правильный знак зависит от значения θ.

Для функции tan уравнение имеет вид:

$\tan {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}.$

Тогда умножение числителя и знаменателя внутри квадратного корня на (1 + cos θ) и использование тождеств Пифагора приводит к:

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}.$

Кроме того, если числитель и знаменатель умножаются на (1 - cos θ), результат будет:

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Это также дает:

$\tan {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta .$

Аналогичные манипуляции для функции раскладушки дают:

$\cot {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta .$

Разное – тождество тройной касательной

Если $\psi +\theta +\phi =\pi =$ полукруг (например, $\psi$, $\theta$ и $\phi$ являются углами треугольника),

$\tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi ).$

Доказательство:

${\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan \theta -\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }}\\&={\frac {\tan \theta +\tan \phi }{\tan \theta \tan \phi -1}}\\(\tan \theta \tan \phi -1)\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi -\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi &=\tan \psi +\tan \theta +\tan \phi \\\end{aligned}}$

Разное – тройное тождество котангенса

Если $\psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}=$ четверть круга,

$\cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )$.

Доказательство:

Замените каждый из $\psi$, $\theta$, и $\phi$ их дополнительные углы, поэтому котангенсы превращаются в тангенсы и наоборот.

Данный

$\psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}$

$\therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi$

так что результат следует из тождества тройного касания.

Сумма идентификаторов продуктов

• $\sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)$
• $\cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$
• $\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

Доказательство синусоидального тождества

Во-первых, начнем с тождеств суммы и угла:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

Сложив их вместе,

$\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \cos \beta$

Аналогично, вычитая два тождества суммы и угла,

$\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \sin \beta$

Позволять $\alpha +\beta =\theta$ и $\alpha -\beta =\phi$,

$\therefore \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}$ и $\beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}$

Заменять $\theta$ и $\phi$

$\sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

$\sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)$

Поэтому,

$\sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)$

Доказательство косинус тождеств

Аналогично для косинуса начните с тождеств суммы и угла:

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

Опять же, прибавляя и вычитая

$\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta$

$\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =-2\sin \alpha \sin \beta$

Заменять $\theta$ и $\phi$ как и прежде,

$\cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

$\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

Неравенства

См. Также: Список неравенств треугольника.

Иллюстрация синусоидального и касательного неравенств.

На рисунке справа показан сектор круга радиусом 1. Этот сектор равен θ /(2 π ) всего круга, поэтому его площадь равна θ /2 . Здесь мы предполагаем, что θ < π /2 .

$OA=OD=1$

$AB=\sin \theta$

$CD=\tan \theta$

Площадь треугольника OAD равна AB /2 или sin( θ )/2 . Площадь треугольника OCD равна CD /2 или tan( θ )/2 .

Поскольку треугольник OAD полностью лежит внутри сектора, который, в свою очередь, полностью лежит внутри треугольника OCD , имеем

$\sin \theta <\theta <\tan \theta .$

Этот геометрический аргумент основан на определениях длины дуги и area , которые выступают в качестве допущений, поэтому это скорее условие, налагаемое при построении тригонометрических функций, чемдоказуемое свойство. Для функции синуса мы можем обрабатывать другие значения. Если θ > π /2 , то θ > 1 . Но sin θ ≤ 1 (из-за тождества Пифагора), поэтому sin θ < θ . Итак, у нас есть

${\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\ \ \ \mathrm {if} \ \ \ 0<\theta .$

Для отрицательных значений θ в силу симметрии синусоидальной функции имеем

${\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}<1.$

Следовательно

${\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\quad {\text{if }}\quad \theta \neq 0,$

и

${\frac {\tan \theta }{\theta }}>1\quad {\text{if }}\quad 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}.$

Идентичности, связанные с исчислением

Предварительные сведения

$\lim _{\theta \to 0}{\sin \theta }=0$

$\lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1$

Идентичность соотношения синуса и угла

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1$

Другими словами, функция синус дифференцируема в точке 0, а ее производная равна 1.

Доказательство. Из предыдущих неравенств для малых углов имеем

$\sin \theta <\theta <\tan \theta$,

Поэтому,

${\frac {\sin \theta }{\theta }}<1<{\frac {\tan \theta }{\theta }}$,

Рассмотрим правое неравенство. С

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

$\therefore 1<{\frac {\sin \theta }{\theta \cos \theta }}$

Умножить на $\cos \theta$

$\cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}$

В сочетании с левым неравенством:

$\cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1$

принимая $\cos \theta$ до предела, как $\theta \to 0$

$\lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1$

Поэтому,

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1$

Тождество отношения косинуса и угла

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}=0$

Доказательство:

${\begin{aligned}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&=\left({\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\times \sin \theta \times \left({\frac {1}{1+\cos \theta }}\right)\\\end{aligned}}$

Пределы этих трех величин равны 1, 0 и 1/2, поэтому результирующий предел равен нулю.

Тождество отношения косинуса и квадрата угла

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}}$

Доказательство:

Как и в предыдущем доказательстве,

${\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}\times {\frac {\sin \theta }{\theta }}\times {\frac {1}{1+\cos \theta }}.$

Пределы этих трех величин равны 1, 1 и 1/2, поэтому результирующий предел равен 1/2.

Доказательство композиции тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Все эти функции следуют из тригонометрического тождества Пифагора. Мы можем доказать, например, функцию

$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Доказательство:

Мы начинаем с

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ (Я)

Затем разделим это уравнение (I) на $\cos ^{2}\theta$

$\cos ^{2}\theta ={\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}$ (II)

$1-\sin ^{2}\theta ={\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}$

Затем используйте замену $\theta =\arctan(x)$:

$1-\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}$

$\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {\tan ^{2}[\arctan(x)]}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}$

Затем мы используем тождество $\tan[\arctan(x)]\equiv x$

$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ (III)

И первоначальная тригонометрическая тождественность Пифагора доказана...

Аналогично, если мы разделим это уравнение (I) на $\sin ^{2}\theta$

$\sin ^{2}\theta ={\frac {\frac {1}{1}}{1+{\frac {1}{\tan ^{2}\theta }}}}$ (II)

$\sin ^{2}\theta ={\frac {\tan ^{2}\theta }{\tan ^{2}\theta +1}}$

Затем используйте замену $\theta =\arctan(x)$:

$\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {\tan ^{2}[\arctan(x)]}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}$

Затем мы используем тождество $\tan[\arctan(x)]\equiv x$

$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ (III)

И первоначальная тригонометрическая тождественность Пифагора доказана...

$[\arctan(x)]=[\arcsin({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}})]$

$y={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

$y^{2}={\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}$ (IV)

Давайте догадаемся, что нам нужно доказать:

$x={\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

$x^{2}={\frac {y^{2}}{1-y^{2}}}$ (V)

Замена (V) на (IV):

$y^{2}={\frac {\frac {y^{2}}{(1-y^{2})}}{{\frac {y^{2}}{(1-y^{2})}}+1}}$

$y^{2}={\frac {\frac {y^{2}}{(1-y^{2})}}{\frac {1}{(1-y^{2})}}}$

Так что это правда: $y^{2}=y^{2}$ и предположение было верным: $x={\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

$[\arctan(x)]=[\arcsin({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}})]=[\arcsin(y)]=[\arctan({\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}})]$

Теперь y можно записать как x; и у нас есть [arcsin], выраженный через [arctan]...

$[\arcsin(x)]=[\arctan({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}})]$

Аналогично, если мы ищем: $[\arccos(x)]$...

$\cos[\arccos(x)]=x$

$\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{2}}-[\arccos(x)]))=x$

$\sin({\frac {\pi }{2}}-[\arccos(x)])=x$

${\frac {\pi }{2}}-[\arccos(x)]=[\arcsin(x)]$

$[\arccos(x)]={\frac {\pi }{2}}-[\arcsin(x)]$

От : $[\arcsin(x)]$...

$[\arccos(x)]={\frac {\pi }{2}}-[\arctan({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}})]$

$[\arccos(x)]={\frac {\pi }{2}}-[\operatorname {arccot}({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}})]$

И, наконец, мы имеем [arccos], выраженное через [arctan]...

$[\arccos(x)]=[\arctan({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}})]$

См. также

• Список тригонометрических тождеств
• Формула аппроксимации синуса Бхаскары I
• Создание тригонометрических таблиц
• Таблица синусов Арьябхаты
• Таблица синусов Мадхавы
• Таблица ньютоновских рядов
• Серия Мадхава
• Единичный вектор (объясняет направляющие косинусы)
• Формула Эйлера

Ссылки

• Э. Т. Уиттакер и Дж. Н. Уотсон . Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета , 1952 г.