Герман Грассманн

«Грассманн» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о фамилии, см. Грассманн (фамилия) .

Герман Гюнтер Грассманн
Герман Гюнтер Грассманн
Рожденный	( 1809-04-15 ) 15 апреля 1809 г. Штеттин , Померанская провинция , Прусское королевство (современный Щецин , Польша)
Умер	26 сентября 1877 г. ) ( 1877-09-26 ) ( 68 лет Штеттин, Германская империя
Альма-матер	Берлинский университет
Известный	Бивектор Цветовое пространство Грассманиан Алгебра Грассмана Число Грассмана Закон Грассмана Законы Грассмана
Награды	Доктор философии (с отличием) : Тюбингенский университет (1876 г.)
Научная карьера
Учреждения	Штеттинская гимназия

Копия книги Грассмана " Теория линейного расширения " 1878 года.

Первая страница " Теории линейного расширения "

Герман Гюнтер Грассманн (нем. Graßmann , произносится [ˈhɛɐman ˈɡʏntʰɐ ˈɡʁasman] ; 15 апреля 1809 — 26 сентября 1877) — немецкий эрудит, известный в своё время как лингвист , а теперь и как математик . Он также был физиком , ученым и издателем. Его математические работы были мало отмечены, пока ему не исполнилось шестьдесят. Его работа предшествовала и превосходила концепцию, которая теперь известна как векторное пространство . Он ввел Грассманиан , пространство, которое параметризует все k -мерные линейные подпространства n -мерного векторного V. пространства В лингвистике он помог освободить историю и структуру языка друг от друга.

Биография

Герман Грассманн был третьим из 12 детей Юстуса Гюнтера Грассмана, рукоположенного министра , преподававшего математику и физику в Штеттинской гимназии , где получил образование Германн.

Грассман был ничем не примечательным студентом, пока не получил высокую оценку на экзаменах для поступления в прусские университеты. Начиная с 1827 года он изучал теологию в Берлинском университете , а также посещал занятия по классическим языкам , философии и литературе. Судя по всему, он не посещал курсы математики или физики .

Несмотря на отсутствие университетского образования по математике, эта область больше всего интересовала его, когда он вернулся в Штеттин в 1830 году после завершения учебы в Берлине. После года подготовки он сдал экзамены, необходимые для преподавания математики в гимназии, но добился достаточно хорошего результата, позволяющего ему преподавать только на нижних уровнях. Примерно в это же время он сделал свои первые значительные математические открытия, которые привели его к важным идеям, которые он изложил в 1844 году в статье Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik , здесь называемой A1 , позже пересмотренной в 1862 году как Die Ausdehnungslehre. : Vollständig und в более сильной форме Bearbeitet , здесь именуемой A2 .

В 1834 году Грассман начал преподавать математику в Gewerbeschule в Берлине. Год спустя он вернулся в Штеттин, чтобы преподавать математику, физику, немецкий язык, латынь и религиоведение в новой школе Отто Шуле. В течение следующих четырех лет Грассман сдал экзамены, позволившие ему преподавать математику, физику , химию и минералогию на всех уровнях средней школы.

В 1847 году он был назначен оберлерером или старшим учителем. В 1852 году он был назначен на должность своего покойного отца в Штеттинской гимназии, получив тем самым звание профессора. В 1847 году он попросил министерство образования Пруссии рассмотреть возможность кандидатуры на университетскую должность, после чего министерство спросило у Эрнста Куммера его мнение о Грассмане. Куммер ответил, что эссе Грассмана 1846 года (см. ниже) содержало «похвально хороший материал, выраженный в несовершенной форме». Доклад Куммера положил конец любым шансам Грассмана получить университетскую должность. Этот эпизод оказался нормой; снова и снова ведущие деятели времени Грассмана не могли осознать ценность его математики.

Начиная с политических беспорядков в Германии в 1848–1849 годах, Герман и его брат Роберт издавали штеттинскую газету Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben , призывающую к объединению Германии в рамках конституционной монархии . (Это произошло в 1871 году.) Написав серию статей по конституционному праву , Герман расстался с газетой, обнаружив, что все больше расходится с ее политическим направлением.

У Грассмана было одиннадцать детей, семеро из которых достигли совершеннолетия. Сын, Герман Эрнст Грассман, стал профессором математики в Гиссенском университете .

Математик

На одном из многих экзаменов, которые сдавал Грассманн, ему требовалось написать эссе по теории приливов и отливов. В 1840 году он сделал это, взяв основную теорию из « Лапласа Трактата о небесной механике» и , Лагранжа «Аналитической механики» но изложив эту теорию, используя векторные методы, над которыми он размышлял с 1832 года. Это эссе, впервые опубликованное в Собрании сочинений 1894–1911 годов содержится первое известное появление того, что сейчас называется линейной алгеброй , и понятие векторного пространства . Он продолжил развивать эти методы в своей книге «Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik» ( A1 ) и ее более поздней редакции « Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in Strenger Form Bearbeitet» ( A2 ).

В 1844 году Грассман опубликовал свой шедевр ( А1 ), обычно называемый Ausdehnungslehre , что переводится как «теория расширения» или «теория экстенсивных величин». Поскольку А1 предложил новую основу всей математики, работа началась с довольно общих определений философского характера. Затем Грассман показал, что, как только геометрия облекается в алгебраическую форму, которую он отстаивал, число три не играет привилегированной роли числа пространственных измерений ; число возможных измерений фактически неограничено.

Фернли-Сандер описывает основу линейной алгебры Грассмана следующим образом:

Определение линейного пространства ( векторного пространства ) [...] стало широко известно примерно в 1920 году, когда Герман Вейль и другие опубликовали формальные определения. Фактически такое определение было дано тридцатью годами ранее Пеано , который был досконально знаком с математическими работами Грассмана. Грассман не дал формального определения – языка не было – но нет сомнений в том, что концепция у него была.

Начиная с набора «единиц» e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., он эффективно определяет свободное линейное пространство, которое они порождают; то есть он рассматривает формальные линейные комбинации a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃ + ... где a _j — действительные числа, определяет сложение и умножение на действительные числа [в том, что сейчас является обычным способ] и формально доказывает свойства линейного пространства для этих операций. ... Затем он развивает теорию линейной независимости способом, который удивительно похож на ее изложение, которое можно найти в современных текстах по линейной алгебре. Он определяет понятия подпространства , линейной независимости , диапазона , размерности , соединения и пересечения подпространств, а также проекций элементов на подпространства.

[...] немногие подошли ближе, чем Герман Грассман, к созданию в одиночку нового предмета.

Следуя идее отца Грассмана, А1 также определил внешний продукт , также называемый «комбинаторным продуктом» (по-немецки: kombinatorisches Produkt или äußeres Produkt «внешний продукт»), ключевую операцию алгебры, которая теперь называется внешней алгеброй . (Следует иметь в виду, что во времена Грассмана единственной аксиоматической теорией была евклидова геометрия , а общее понятие абстрактной алгебры еще не было определено.) В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд присоединил эту внешнюю алгебру к теории Уильяма Роуэна Гамильтона . кватернионов , заменив правило Грассмана e _p e _p = 0 на правило e _p e _p = 1. (Для кватернионов у нас есть правило i ² = j ² = к ² = −1.) Подробнее см. Внешняя алгебра .

А1 был революционным текстом, слишком опередившим свое время, чтобы его можно было оценить по достоинству. Когда Грассман подал заявку на получение профессорской должности в 1847 году, министерство попросило Эрнста Куммера предоставить отчет. Куммер заверил, что в нем есть хорошие идеи, но нашел изложение недостаточным и посоветовал не давать Грассману должность в университете. В течение следующих 10 с лишним лет Грассман написал множество работ, применяя свою теорию расширения, в том числе свою «Новую теорию электродинамики» 1845 года и несколько статей об алгебраических кривых и поверхностях , в надежде, что эти приложения заставят других отнестись к его теории серьезно. .

В 1846 году Мёбиус пригласил Грассмана принять участие в конкурсе на решение проблемы, впервые предложенной Лейбницем : разработать геометрическое исчисление, лишенное координат и метрических свойств (то, что Лейбниц назвал анализом местоположения ). Грассмана «Геометрический анализ geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik» Победившей (также единственной) стала работа . Мёбиус, как один из судей, раскритиковал то, как Грассман представил абстрактные понятия, не давая читателю никакого представления о том, почему эти понятия имеют ценность.

В 1853 году Грассман опубликовал теорию смешивания цветов; Четыре закона цвета его теории до сих пор преподаются, как и законы Грассмана . Работа Грассмана по этому вопросу не согласовывалась с работой Гельмгольца . Грассман писал также по кристаллографии , электромагнетизму и механике .

В 1861 году Грассман заложил основу аксиоматизации арифметики Пеано в своей работе «Lehrbuch der Arithmetik» . В 1862 году Грассман опубликовал тщательно переработанное второе издание А1 , надеясь получить запоздалое признание своей теории расширения и содержащее исчерпывающее изложение его линейной алгебры . Результат, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in Strenger Form Bearbeitet ( A2 ), оказался не лучше, чем A1 , хотя изложения A2 манера предвосхищает учебники 20-го века.

Ответ

В 1840-х годах математики, как правило, были не готовы понять идеи Грассмана. В 1860-х и 1870-х годах различные математики приходили к идеям, сходным с идеями Грассмана, но сам Грассман больше не интересовался математикой.

Адемар Жан-Клод Барре де Сен-Венан разработал векторное исчисление, подобное исчислению Грассмана, которое он опубликовал в 1845 году. Затем он вступил в спор с Грассманом о том, кто из них первым додумался до этой идеи. Грассман опубликовал свои результаты в 1844 году, но Сен-Венан утверждал, что впервые развил эти идеи в 1832 году.

Одним из первых математиков, оценивших идеи Грассмана еще при его жизни, был Герман Ханкель , автор которого в 1867 году написал «Теорию комплексной системы Zahlensysteme» .

В. Р. Гамильтона […] он разработал […] некоторые алгебры Германа Грассмана и кватернионы . Ханкель был первым, кто осознал значение давно забытых сочинений Грассмана, и находился под сильным их влиянием.

В 1872 году Виктор Шлегель опубликовал первую часть своей «Системы дер Раумлере» , в которой использовался подход Грассмана для получения древних и современных результатов в геометрии плоскостей . Феликс Кляйн написал отрицательную рецензию на книгу Шлегеля, сославшись на ее неполноту и отсутствие взгляда на Грассмана. В 1875 году Шлегель выпустил вторую часть своей «Системы Грассмана», на этот раз развивая геометрию более высокого измерения. Тем временем Кляйн продвигал свою Эрлангенскую программу , которая также расширила сферу применения геометрии.

Понимания Грассмана ждала концепция векторных пространств , которая затем могла выразить полилинейную алгебру его теории расширений. Чтобы установить приоритет Грассмана над Гамильтоном, Джозайя Уиллард Гиббс призвал наследников Грассмана опубликовать эссе о приливах и приливах 1840 года. А. Н. Уайтхеда Первая монография « Универсальная алгебра» (1898) включала первое систематическое изложение на английском языке теории расширения и внешней алгебры . С возникновением дифференциальной геометрии внешняя алгебра стала применяться к дифференциальным формам .

В 1995 году Ллойд К. Канненберг опубликовал английский перевод книги «Ausdehnungslehre и другие произведения». Введение в роль работ Грассмана в современной математической физике см. в книге Дорога к реальности» « Роджера Пенроуза .

Лингвист

Математические идеи Грассмана начали распространяться лишь к концу его жизни. Спустя тридцать лет после публикации А1 издатель написал Грассману: «Ваша книга Die Ausdehnungslehre уже давно не издается. Поскольку ваша работа вообще почти не продавалась, примерно 600 экземпляров было использовано в 1864 году как макулатура, а оставшиеся несколько с лишним экземпляров теперь распроданы, за исключением одного экземпляра в нашей библиотеке». Разочарованный приемом его работ в математических кругах, Грассман потерял контакты с математиками, а также интерес к геометрии. В последние годы жизни он обратился к историческому языкознанию и изучению санскрита . Он писал книги по немецкой грамматике , собирал народные песни и изучал санскрит. Он написал словарь объемом 2000 страниц и перевод Ригведы ( более 1000 страниц). В современных исследованиях Ригведы часто цитируются работы Грассмана. В 1955 году вышло третье издание его словаря.

Грассман также заметил и представил фонологическое правило , существующее как в санскрите , так и в греческом языке . В его честь это фонологическое правило известно как закон Грассмана . Его открытие было революционным для исторической лингвистики того времени, поскольку оно бросило вызов широко распространенному представлению о санскрите как о более древнем предшественнике других индоевропейских языков. Это было широко распространенное предположение из-за более агглютинативной структуры санскрита, через которую, как считалось, прошли такие языки, как латынь и греческий, чтобы достичь своей более «современной» синтетической структуры. Однако работа Грассмана доказала, что, по крайней мере, в одном фонологическом образце немецкий язык действительно был «старее» (то есть менее синтетическим), чем санскрит. Это означало, что генеалогическая и типологическая классификации языков были наконец правильно разделены в лингвистике, что позволило лингвистам более позднего времени добиться значительного прогресса.

Эти филологические достижения были отмечены при его жизни. Он был избран в Американское восточное общество и в 1876 году получил степень почётного доктора Тюбингенского университета .

Публикации

• А1 :
  • Грассманн, Герман (1844). Измеритель расширения линейки (на немецком языке). Лейпциг: Отто Виганд.
  • Грассманн, Герман (1994). Новая ветвь математики . Перевод Канненберга, Ллойд К. Открытый суд . стр. 9–297. ISBN  9780812692761 .
• Грассманн, Герман (1847). Геометрический анализ (на немецком языке). Лейпциг: Книжный магазин Weidmannsche .
• Грассманн, Герман (1861). Учебник математики для высших учебных заведений . Том 1: Арифметика. Берлин: Адольф Энслин.
• А2 :
  • 1862. Теория расширения. Полностью и строго обосновано. . Берлин: Энслин.
  • Английский перевод, 2000 г., Ллойд Канненберг, Теория расширения , Американское математическое общество. ISBN   0-8126-9275-6 , ISBN   0-8126-9276-4
• 1873. Словарь Ригведы . Лейпциг: Брокгауз.
• 1876–1877. Риг-Веда . Лейпциг: Брокгауз. Перевод в двух томах, т. 1 опубликовано в 1876 г., т. 1. 2 опубликовано в 1877 году.
• 1894–1911. Сборник математических и физических трудов , в 3 т. Фридриха Энгеля Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. Изд. Перепечатано в 1972 году, Нью-Йорк: Джонсон.

См. также

• Закон силы Ампера
• Обозначение Бракета (его предшественником был Грассманн)
• Геометрическая алгебра
• Полилинейная алгебра
• Список вещей, названных в честь Германа Грассмана

Ссылки

• Браун, Джон (октябрь 2012 г.). Алгебра Грассмана . Том. Я: Фонды. Элтэм, Австралия: Barnard Publishing. ISBN  978-1479197637 .
• Браун, Джон (август 2020 г.). Мультиплоскости и мультисферы: заметки о подходе алгебры Грассмана в системе Mathematica . Элтэм, Австралия: Barnard Publishing. ISBN  979-8657325379 .
• Канту, Паола (13 февраля 2003 г.). Математика от науки о количествах к теории форм: Ausdehnungslehre Ausdehnungslehre Х. Грассмана [ Математика величин к науке о формах: ] Х. Грассмана ( (PDF) докторская диссертация) (на итальянском языке). Университет Генуи.
• Кроу, Майкл Дж. (1967). История векторного анализа . Пресса Университета Нотр-Дам . ISBN  0-486-64955-5 .
• Фернли-Сандер, Десмонд (март 1982 г.). «Герман Грассман и предыстория универсальной алгебры». Американский математический ежемесячник . 89 (3). Математическая ассоциация Америки: 161–166. дои : 10.2307/2320198 . ISSN   0002-9890 . JSTOR   2320198 .
• Фернли-Сандер, Десмонд; Стоукс, Тимоти (1997). «Площадь в геометрии Грассмана». Ин Ван, Дунмин (ред.). Автоматизированный вывод в геометрии . Международный семинар по автоматизированному выводу по геометрии, 1996 г. Конспекты лекций по информатике. Том. 1360. Тулуза, Франция: Шпрингер. стр. 141–170. дои : 10.1007/BFb0022724 . ISBN  978-3-540-69717-6 . ISSN   0302-9743 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней, 1870–1940: логика, теории множеств и основы математики от Кантора через Рассела до Геделя . Издательство Принстонского университета . ISBN  9780691058580 . JSTOR   j.ctt7rp8j .
• Петше, Ханс-Иоахим (2006). Феллманн, Эмиль А. (ред.). Грассманн . Vita Mathematica (на немецком языке). Том 13. Базель, Швейцария: Биркхойзер. ISBN  3-7643-7257-5 .
• Петше, Ханс-Иоахим (2009). Герман Грассманн . Перевод Миннеса, Марк. Базель, Швейцария: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-7643-8860-7 . ISBN  978-3-7643-8859-1 . LCCN   2009929497 .
• Петше, Ханс Иоахим; Канненберг, Ллойд К.; Кесслер, Готфрид; Лисковачка, Иоланта, ред. (2009). Герман Грассманн – Корни и следы . Базель, Швейцария: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-0346-0155-9 . ISBN  978-3-0346-0155-9 . LCCN   2009930234 .
• Петше, Ханс Иоахим; Лизен, Йорг; Льюис, Альберт С.; Расс, Стив, ред. (сентябрь 2011 г.). Из прошлого в будущее: работа Грассмана в контексте . Конференция, посвященная двухсотлетию Грассмана . Потсдам-Щецин: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-0346-0405-5 . ISBN  978-3-0346-0404-8 .
• Ленке, Питер С.; Петше, Ханс-Иоахим, ред. (2010). Международная конференция Грассмана: Потсдам и Щецин (DVD). Издательство Потсдамского университета. ISBN  978-3-86956-093-9 .
• Шлегель, Виктор (1878). Герман Грассманн: Его жизнь и творчество (на немецком языке). Лейпциг, Германия: Фридрих Арнольд Брокгауз .
• Шубринг, Герт, изд. (1996). Герман Гюнтер Грассманн (1809–1877): дальновидный математик, ученый и ученый-неогуманист . Бостонские исследования в области философии науки. Том. 187. Спрингер. дои : 10.1007/978-94-015-8753-2 . ISBN  978-94-015-8753-2 . ISSN   0068-0346 .

Примечание. Обширная онлайн-библиография , отражающая значительный современный интерес к жизни и творчеству Грассмана. Ссылки на каждую главу Шубринга.

Внешние ссылки

• Архив истории математики MacTutor:
  • О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Герман Грассманн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  • Абстрактные линейные пространства. Обсуждает роль Грассмана и других деятелей XIX века в изобретении линейной алгебры и векторных пространств.
• Фернли-Сандера . Домашняя страница
• Конференция к двухсотлетию Грассмана (1809–1877), 16–19 сентября 2009 г. Потсдам / Щецин (Германия / Польша) : От прошлого к будущему: работа Грассмана в контексте
• «Метод Грассмана в проективной геометрии» - сборник английских переводов трех заметок Чезаре Бурали-Форти о применении внешней алгебры Грассмана к проективной геометрии.
• К. Бурали-Форти, «Введение в дифференциальную геометрию по методу Х. Грассмана» (английский перевод книги одного из первых учеников Грассмана)
• «Механика в соответствии с принципами теории расширения» - английский перевод статей одного Грассмана о приложениях внешней алгебры.