Закон силы Ампера

Эта статья о силовом законе Ампера. Чтобы узнать о законе, связывающем интегрированное магнитное поле вокруг замкнутого контура с электрическим током через контур, см. Закон цепи Ампера .

Два провода с током притягиваются друг к другу магнитно: В нижнем проводе протекает ток I ₁ , который создает магнитное поле B ₁ . По верхнему проводу протекает ток I ₂ через магнитное поле B ₁ , поэтому (по силе Лоренца ) на провод действует сила F ₁₂ . (Не показан одновременный процесс, при котором верхний провод создает магнитное поле, которое приводит к возникновению силы на нижнем проводе.)

В магнитостатике силу притяжения или отталкивания между двумя проводами с током (см. первый рисунок ниже) часто называют законом силы Ампера . Физическое происхождение этой силы заключается в том, что каждый провод генерирует магнитное поле , следуя закону Био-Савара , а другой провод, как следствие, испытывает магнитную силу, следуя закону силы Лоренца .

Уравнение

Особый случай: два прямых параллельных провода.

Самый известный и простейший пример закона силы Ампера, лежащий в основе (до 20 мая 2019 г.) ) определение ампера , единицы электрического тока в системе СИ , гласит, что магнитная сила на единицу длины между двумя прямыми параллельными проводниками равна

$${\frac {F_{m}}{L}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}},$$

где $k_{\rm {A}}$ — магнитная силовая константа из закона Био–Савара , $F_{m}/L$ - общая сила, действующая на любой провод на единицу длины более короткого (более длинный приблизительно считается бесконечно длинным относительно более короткого), $r$ расстояние между двумя проводами, и $I_{1}$, $I_{2}$ — постоянный ток, протекающий по проводам.

Это хорошее приближение, если один провод достаточно длиннее другого, так что его можно аппроксимировать как бесконечно длинный, и если расстояние между проводами мало по сравнению с их длинами (так что выполняется одно приближение бесконечного провода), но большие по сравнению с их диаметрами (так что их также можно аппроксимировать бесконечно тонкими линиями). Стоимость $k_{\rm {A}}$ зависит от выбранной системы единиц и значения $k_{\rm {A}}$ решает, насколько большой будет единица тока.

В СИ системе $$k_{\rm {A}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}$$ с $\mu _{0}$ магнитная постоянная , в единицах СИ

μ ₀ = 1,256 637 062 12 (19) × 10 ⁻⁶  Ч /м

Общий случай

Общая формулировка магнитной силы для произвольной геометрии основана на повторяющихся линейных интегралах и объединяет закон Био-Савара и силу Лоренца в одном уравнении, как показано ниже.

$$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},$$

где

• $\mathbf {F} _{12}$ — общая магнитная сила, действующая на провод 1 по отношению к проводу 2 (обычно измеряется в ньютонах ),
• $I_{1}$ и $I_{2}$ — токи, протекающие по проводам 1 и 2 соответственно (обычно измеряются в амперах ),
• Интегрирование двойной линии суммирует силу, действующую на каждый элемент провода 1, обусловленную магнитным полем каждого элемента провода 2,
• $d{\boldsymbol {\ell }}_{1}$ и $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}$ — бесконечно малые векторы, связанные с проводом 1 и проводом 2 соответственно (обычно измеряются в метрах ); см. в линейном интеграле , подробное определение
• Вектор ${\hat {\mathbf {r} }}_{21}$ — единичный вектор , направленный от дифференциального элемента на проводе 2 к дифференциальному элементу на проводе 1, а |r| расстояние, разделяющее эти элементы,
• Умножение × является векторным векторным произведением ,
• Знак $I_{n}$ относительно ориентации $d{\boldsymbol {\ell }}_{n}$ (например, если $d{\boldsymbol {\ell }}_{1}$ указывает в направлении условного тока , то $I_{1}>0$).

Чтобы определить силу между проводами в материальной среде, магнитная постоянная заменяется фактической проницаемостью среды.

Для случая двух отдельных замкнутых проводов закон можно переписать следующим эквивалентным образом, разложив векторное тройное произведение и применив теорему Стокса: $$\mathbf {F} _{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\cdot } \ I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2})\ {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}{|r|^{2}}}.$$

В этой форме сразу очевидно, что сила, действующая на провод 1, действующая на провод 2, равна и противоположна силе, действующей на провод 2, действующей на провод 1, в соответствии с третьим законом движения Ньютона .

Историческая справка

Схема оригинального эксперимента с Ампером

Обычно придаваемая форма закона силы Ампера была получена Джеймсом Клерком Максвеллом в 1873 году и является одним из нескольких выражений, соответствующих оригинальным экспериментам Андре-Мари Ампера и Карла Фридриха Гаусса . X - компонента силы между двумя линейными токами I и I ' , как показано на соседней диаграмме, была определена Ампером в 1825 году и Гауссом в 1833 году следующим образом:

$$dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.$$

Вслед за Ампером ряд учёных, в том числе Вильгельм Вебер , Рудольф Клаузиус , Максвелл, Бернхард Риман , Герман Грассман , и Вальтер Ритц разработали это выражение, чтобы найти фундаментальное выражение силы. Путем дифференциации можно показать, что:

$${\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.$$

а также личность: $${\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.$$

С помощью этих выражений закон силы Ампера можно выразить так: $$dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.$$

Используя тождества: $${\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.$$ и $${\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.$$

Результаты Ампера можно выразить в виде: $$d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).$$

Как заметил Максвелл, к этому выражению можно добавить члены, которые являются производными функции Q ( r ) и при интегрировании компенсируют друг друга. Таким образом, Максвелл дал «наиболее общую форму, согласующуюся с экспериментальными фактами» для силы на ds, возникающей от действия ds ': $$d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].$$

Q является функцией r Согласно Максвеллу, , которая «не может быть определена без каких-либо допущений на основе экспериментов, в которых активный ток образует замкнутую цепь». Принимая функцию Q ( r ) в виде: $$Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}$$

Получаем общее выражение для силы, действующей на ds со стороны ds : $$d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].$$

Интегрирование вокруг s ' исключает k и получается исходное выражение, данное Ампером и Гауссом. Таким образом, что касается первоначальных экспериментов Ампера, значение k не имеет значения. Ампер взял k =−1; Гаусс взял k =+1, как это сделали Грассман и Клаузиус, хотя Клаузиус опустил S. компонент В теориях неэфирного электрона Вебер взял k = −1, а Риман взял k = +1. Ритц оставил k неопределенным в своей теории. Если взять k = −1, получим выражение Ампера: $$d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]$$

Если мы возьмем k=+1, получим $$d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]$$

Используя векторное тождество для тройного векторного произведения, мы можем выразить этот результат как $$d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]$$

При интегрировании вокруг ds ' второй член равен нулю, и, таким образом, мы находим форму закона силы Ампера, заданную Максвеллом: $$\mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}$$

Вывод случая параллельного прямого провода из общей формулы

Начнем с общей формулы: $$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},$$ Предположим, что провод 2 расположен вдоль оси X, а провод 1 — в точках y=D, z=0, параллельно оси X. Позволять $x_{1},x_{2}$ — координата x дифференциального элемента провода 1 и провода 2 соответственно. Другими словами, дифференциальный элемент провода 1 находится в положении $(x_{1},D,0)$ а дифференциальный элемент провода 2 находится в положении $(x_{2},0,0)$. По свойствам линейных интегралов $d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)$ и $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)$. Также, $${\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)$$ и $$|r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}$$ Следовательно, интеграл $$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.$$ Оценка перекрестного продукта: $$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.$$ Далее мы интегрируем $x_{2}$ от $-\infty$ к $+\infty$: $$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.$$ Если провод 1 также бесконечен, интеграл расходится, поскольку общая сила притяжения между двумя бесконечными параллельными проводами равна бесконечности. Фактически, что мы действительно хотим знать, так это силу притяжения на единицу длины провода 1. Поэтому предположим, что провод 1 имеет большую, но конечную длину. $L_{1}$. Тогда вектор силы, ощущаемый проводом 1, равен: $$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.$$ Как и ожидалось, сила, которую ощущает провод, пропорциональна его длине. Сила на единицу длины равна: $${\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).$$ Направление силы вдоль оси Y, что означает, что провод 1 притягивается к проводу 2, если токи параллельны, как и ожидалось. Величина силы на единицу длины согласуется с выражением для ${\frac {F_{m}}{L}}$ показано выше.

Известные производные

В хронологическом порядке:

• Оригинальный вывод Ампера 1823 года:
  • Ассис, Андре Кох Торрес; Чайб, JPM C; Ампер, Андре-Мари (2015). Электродинамика Ампера: анализ значения и эволюции силы Ампера между элементами тока вместе с полным переводом его шедевра: Теория электродинамических явлений, уникальным образом выведенная из опыта (PDF) . Монреаль: Апейрон. ISBN  978-1-987980-03-5 .
• Вывод Максвелла 1873 года:
  • Трактат об электричестве и магнетизме, том. 2, часть 4, гл. 2 (§§502–527)
• Вывод Пьера Дюэма 1892 года:
  • Дюэм, Пьер Морис Мари (9 сентября 2018 г.). Закон силы Ампера: современное введение . Алан Аверса (пер.). дои : 10.13140/RG.2.2.31100.03206/1 . Проверено 3 июля 2019 г. ( EPUB )
    • перевод: Уроки электричества и магнетизма, том. 3, приложение к книге 14, с. 309–332 (на французском языке)
• Вывод Альфреда О'Рахилли 1938 года:
  • Электромагнитная теория: критическое рассмотрение основ, том. 1, стр. 102–104 (см. также следующие страницы)

См. также

• Ампер
• Магнитная постоянная
• сила Лоренца
• Круговой закон Ампера
• Свободное место

Внешние ссылки

• Закон силы Ампера Включает анимированное изображение векторов сил.