Прямая сумма

Прямая сумма — это операция между структурами в абстрактной алгебре , разделе математики . Оно определяется по-разному, но аналогично для разных видов структур. Например, прямая сумма двух абелевых групп $A$ и $B$ это еще одна абелева группа $A\oplus B$ состоящая из упорядоченных пар $(a,b)$ где $a\in A$ и $b\in B$ . Чтобы добавить упорядоченные пары, определим сумму $(a,b)+(c,d)$ быть $(a+c,b+d)$ ; другими словами, сложение определяется по координатам. Например, прямая сумма $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ , где $\mathbb {R}$ — действительное координатное пространство , — декартова плоскость , $\mathbb {R} ^{2}$ . Аналогичный процесс можно использовать для формирования прямой суммы двух векторных пространств или двух модулей .

Мы также можем образовывать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например $A\oplus B\oplus C$ , предоставил $A,B,$ и $C$ являются одними и теми же видами алгебраических структур (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том факте, что прямая сумма ассоциативна с точностью до изоморфизма . То есть, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ для любых алгебраических структур $A$ , $B$ , и $C$ такого же рода. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, т.е. $A\oplus B\cong B\oplus A$ для любых алгебраических структур $A$ и $B$ такого же рода.

Прямая сумма конечного числа абелевых групп, векторных пространств или модулей канонически изоморфна соответствующему прямому произведению . Однако это неверно для некоторых алгебраических объектов, таких как неабелевы группы.

В случае объединения бесконечного числа объектов прямая сумма и прямое произведение не изоморфны даже для абелевых групп, векторных пространств или модулей. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение (счетного) бесконечного числа копий целых чисел. Элемент в прямом произведении представляет собой бесконечную последовательность, например (1,2,3,...), но в прямой сумме существует требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1,2 ,3,...) будет элементом прямого произведения, но не прямой суммы, а (1,2,0,0,0,...) будет элементом обоих. Часто, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, а если используется какая-либо форма умножения, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. Говоря более техническим языком, если слагаемые равны $(A_{i})_{i\in I}$ , прямая сумма $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ определяется как набор кортежей $(a_{i})_{i\in I}$ с $a_{i}\in A_{i}$ такой, что $a_{i}=0$ для всех, кроме конечного числа i . Прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ содержится в прямом произведении ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ , но строго меньше, если индекс установлен $I$ бесконечно, поскольку элемент прямого произведения может иметь бесконечное количество ненулевых координат. ^[1]

Примеры

Плоскость xy , двумерное векторное пространство , можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно осей x и y . В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевом векторе). Сложение определяется по координатам, т.е. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ , что аналогично сложению векторов.

Учитывая две структуры $A$ и $B$ , их прямая сумма записывается как $A\oplus B$ . Учитывая индексированное семейство структур $A_{i}$ , индексированный с помощью $i\in I$ , прямую сумму можно записать ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ . Каждое A _i называется слагаемым A . прямым Если набор индексов конечен, прямая сумма равна прямому произведению. В случае групп, если групповая операция записана как $+$ используется словосочетание «прямая сумма», а если записана групповая операция $*$ используется фраза «прямой продукт». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма — это не то же самое, что прямое произведение, поскольку к прямой сумме предъявляется дополнительное требование: все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю.

Внутренние и внешние прямые суммы

Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определяются слагаемые, а затем через слагаемые определяется прямая сумма, мы имеем внешнюю прямую сумму. Например, если мы определим действительные числа $\mathbb {R}$ а затем определить $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ прямая сумма называется внешней.

С другой стороны, если мы сначала определим некоторую алгебраическую структуру $S$ а потом напиши $S$ как прямая сумма двух подструктур $V$ и $W$ , то прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент $S$ однозначно выражается как алгебраическая комбинация элемента $V$ и элемент $W$ . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим $\mathbb {Z} _{6}$ (целые числа по модулю шесть), элементами которого являются $\{0,1,2,3,4,5\}$ . Это выражается как внутренняя прямая сумма $\mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$ .

Виды прямой суммы

Прямая сумма абелевых групп

Прямая сумма абелевых групп является типичным примером прямой суммы. Даны две такие группы $(A,\circ )$ и $(B,\bullet ),$ их прямая сумма $A\oplus B$ то же самое, что и их прямое произведение . То есть базовым набором является декартово произведение $A\times B$ и групповая операция $\,\cdot \,$ определяется покомпонентно: $\left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).$ Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп.

Для произвольного семейства групп $A_{i}$ индексируется $i\in I,$ их прямая сумма ^[2] $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ — подгруппа прямого произведения, состоящая из элементов ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ которые имеют конечную поддержку , где по определению $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ говорят, что он имеет конечный носитель, если $a_{i}$ является элементом идентичности $A_{i}$ для всех, кроме конечного числа $i.$ ^[3] Прямая сумма бесконечного семейства $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ нетривиальных групп является собственной подгруппой группы произведений ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

Прямая сумма модулей

Прямая сумма модулей – это конструкция, объединяющая несколько модулей в новый модуль.

Наиболее знакомые примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств , которые являются модулями над полем . Конструкция может быть распространена также на банаховы и гильбертовы пространства .

Прямая сумма по категориям

Аддитивная категория — это абстракция свойств категории модулей. ^[4]^[5] В такой категории конечные произведения и копроизведения совпадают, и прямая сумма равна любому из них, ср. бипродукт .

Общий случай: ^[2]В теории категорий Прямая сумма часто, но не всегда, является сопроизведением в категории рассматриваемых математических объектов. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. Это также справедливо и в отношении модулей.

Прямые суммы и копродукции в категориях групп

Однако прямая сумма $S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (определяется тождественно прямой сумме абелевых групп) не является копроизведением групп $S_{3}$ и $\mathbb {Z} _{2}$ в категории групп . Поэтому для этой категории категориальную прямую сумму часто называют просто копроизведением, чтобы избежать возможной путаницы.

Прямая сумма представлений группы

Прямая сумма представлений группы обобщает прямую сумму базовых модулей , добавляя групповое действие к ней . В частности, учитывая группу $G$ и два представления $V$ и $W$ из $G$ (или, в более общем смысле, два $G$ -модули ), прямая сумма представлений равна $V\oplus W$ с действием $g\in G$ задано покомпонентно, т.е. $g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).$ Другой эквивалентный способ определения прямой суммы заключается в следующем:

Учитывая два представления $(V,\rho _{V})$ и $(W,\rho _{W})$ векторное пространство прямой суммы есть $V\oplus W$ и гомоморфизм $\rho _{V\oplus W}$ дается $\alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),$ где $\alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)$ — естественная карта, полученная координатным действием, как указано выше.

Кроме того, если $V,\,W$ конечномерны, то, учитывая базис $V,\,W$ , $\rho _{V}$ и $\rho _{W}$ являются матричными. В этом случае, $\rho _{V\oplus W}$ дается как $g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.$

Более того, если мы будем относиться $V$ и $W$ как модули над групповым кольцом $kG$ , где $k$ — поле, то прямая сумма представлений $V$ и $W$ равна их прямой сумме как $kG$ модули.

Прямая сумма колец

Некоторые авторы будут говорить о прямой сумме $R\oplus S$ двух колец, когда они означают прямое произведение $R\times S$ , но этого следует избегать ^[6] с $R\times S$ не получает естественных гомоморфизмов колец из $R$ и $S$ : в частности, карта $R\to R\times S$ отправка $r$ к $(r,0)$ не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку он не может перевести 1 в $(1,1)$ (предполагая, что $0\neq 1$ в $S$ ). Таким образом $R\times S$ не является копроизведением в категории колец и не должно быть записано в виде прямой суммы. (Копроизведение в категории коммутативных колец — это тензорное произведение колец . ^[7] В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.)

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если $(R_{i})_{i\in I}$ является бесконечным набором нетривиальных колец, то прямая сумма основных аддитивных групп может быть снабжена почленным умножением, но это дает rng , то есть кольцо без мультипликативного тождества.

Прямая сумма матриц

Для любых произвольных матриц $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ , прямая сумма $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B}$ определяется как блочная диагональная матрица $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ если обе являются квадратными матрицами (и аналогичной блочной матрицей , если нет). $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

Прямая сумма топологических векторных пространств

Топологическое векторное пространство (ТВП) $X,$ такое как банахово пространство , называется топологической прямой суммой двух векторных подпространств. $M$ и $N$ если дополнительная карта ${\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}$ является изоморфизмом топологических векторных пространств (это означает, что это линейное отображение является биективным гомеоморфизмом ), и в этом случае $M$ и $N$ называются топологическими дополнениями в $X.$ Это верно тогда и только тогда, когда при рассмотрении аддитивных топологических групп (поэтому скалярное умножение игнорируется) $X$ является топологической прямой суммой топологических подгрупп $M$ и $N.$ Если это так и если $X$ Хаусдорф тогда $M$ и $N$ обязательно являются замкнутыми подпространствами $X.$

Если $M$ является векторным подпространством вещественного или комплексного векторного пространства $X$ тогда всегда существует другое векторное подпространство $N$ из $X,$ называется алгебраическим дополнением $M$ в $X,$ такой, что $X$ является алгебраической прямой суммой $M$ и $N$ (что происходит тогда и только тогда, когда карта сложения $M\times N\to X$ является изоморфизмом векторного пространства ). В отличие от алгебраических прямых сумм, для топологических прямых сумм существование такого дополнения уже не гарантируется.

Векторное подпространство $M$ из $X$ называется ( топологически ) дополняемым подпространством пространства $X$ если существует некоторое векторное подпространство $N$ из $X$ такой, что $X$ является топологической прямой суммой $M$ и $N.$ Векторное подпространство называется недополненным , если оно не является дополняемым подпространством. Например, каждое векторное подпространство хаусдорфовой ТВС, не являющееся замкнутым подмножеством, обязательно является недополняемым. Каждое замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства дополняемо. Но каждое банахово пространство , не являющееся гильбертовым, обязательно содержит некоторое недополняемое замкнутое векторное подпространство.

Гомоморфизмы

^{[ нужны разъяснения ]}

Прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ поставляется с проекционным гомоморфизмом ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ для каждого j в I и копроекции ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ каждого j в I. для ^[8] Учитывая другую алгебраическую структуру $B$ (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмы $g_{j}\colon A_{j}\to B$ для каждого j в I существует единственный гомоморфизм ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ , называемая суммой g _j , такая, что $g\alpha _{j}=g_{j}$ для всех j . Таким образом, прямая сумма является копродукцией соответствующей категории .

См. также

Примечания

^ Томас В. Хангерфорд , Алгебра , стр.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
^ Jump up to: ^а ^б Прямая сумма в n Lab
^ Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 177, Аллин и Бэкон, 1965 г.
^ " "стр.45" " (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 мая 2013 г. Проверено 14 января 2014 г.
^ «Приложение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006 г. Проверено 14 января 2014 г.
^ Math StackExchange о прямой сумме колец и прямом произведении колец.
^ Ланг 2002 , раздел I.11.
^ Хойнен, Крис (2009). Категориальные квантовые модели и логика . Палласовые диссертации. Издательство Амстердамского университета. п. 26. ISBN 978-9085550242 .

Ссылки

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001

[1] Томас В. Хангерфорд , Алгебра , стр.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189

[nLabDirectSum-2] Jump up to: ^а ^б Прямая сумма в n Lab

[3] Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 177, Аллин и Бэкон, 1965 г.

[4] " "стр.45" " (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 мая 2013 г. Проверено 14 января 2014 г.

[5] «Приложение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006 г. Проверено 14 января 2014 г.

[6] Math StackExchange о прямой сумме колец и прямом произведении колец.

[7] Ланг 2002 , раздел I.11.

[Heu26-8] Хойнен, Крис (2009). Категориальные квантовые модели и логика . Палласовые диссертации. Издательство Амстердамского университета. п. 26. ISBN 978-9085550242 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]