Классификация ADE

Простые диаграммы Дынкина классифицируют разнообразные математические объекты.

В математике классификация ADE (первоначально ADE классификации ) — это ситуация, когда определенные виды объектов находятся в соответствии с просто переплетенными диаграммами Дынкина . Вопрос об общем происхождении этих классификаций, а не об апостериорной проверке параллелизма, был поставлен в ( Arnold 1976 ). Полный список диаграмм Дынкина с простой ажурной схемой включает в себя

$A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.$

Здесь «просто сплетенный» означает отсутствие кратных ребер, что соответствует всем простым корням в корневой системе, образующим углы $\pi /2=90^{\circ }$ (нет ребра между вершинами) или $2\pi /3=120^{\circ }$ (одиночное ребро между вершинами). Это два из четырех семейств диаграмм Дынкина (без учета $B_{n}$ и $C_{n}$) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (без учета $F_{4}$ и $G_{2}$).

Этот список не является избыточным, если взять $n\geq 4$ для $D_{n}.$ Если расширить семейства за счет избыточных членов, можно получить исключительные изоморфизмы

$D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},$

и соответствующие изоморфизмы классифицированных объектов.

Номенклатура A , D , E также дает просто переплетенные конечные группы Кокстера по тем же диаграммам: в этом случае диаграммы Дынкина точно совпадают с диаграммами Кокстера, поскольку нет кратных ребер.

Алгебры Ли

В терминах сложных полупростых алгебр Ли:

• $A_{n}$ соответствует ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),$ специальная алгебра Ли бесследовых линейная операторов,
• $D_{n}$ соответствует ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),$ четная специальная ортогональная алгебра Ли четномерных кососимметричных операторов и
• $E_{6},E_{7},E_{8}$ — три из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах компактных алгебр Ли и соответствующих им просто связующих групп Ли :

• $A_{n}$ соответствует ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ алгебра специальной унитарной группы $SU(n+1);$
• $D_{n}$ соответствует ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),$ алгебра четной проективной специальной ортогональной группы $PSO(2n)$, пока
• $E_{6},E_{7},E_{8}$ — три из пяти исключительных компактных алгебр Ли .

Бинарные многогранные группы

Та же классификация применима к дискретным подгруппам $SU(2)$, бинарные полиэдральные группы ; Собственно, бинарные многогранные группы соответствуют просто переплетенным аффинным диаграммам Дынкина ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ и представления этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Это соединение известно как Переписка Маккея после Джона Маккея . Связь с Платоновыми телами описана в ( Dickson 1959 ). В переписке используется конструкция графа Маккея .

Обратите внимание, что соответствие ADE не является соответствием платоновых тел их группе отражения симметрии: например, в соответствии ADE тетраэдр , куб / октаэдр и додекаэдр / икосаэдр соответствуют $E_{6},E_{7},E_{8},$ в то время как группы отражения тетраэдра, куба/октаэдра и додекаэдра/икосаэдра вместо этого являются представлениями групп Кокстера. $A_{3},BC_{3},$ и $H_{3}.$

Орбифолд ​ ​ $\mathbf {C} ^{2}$ построенное с использованием каждой дискретной подгруппы, приводит к особенности ADE-типа в начале координат, называемой особенностью Дю Валя .

Соответствие Маккея можно расширить до многократных связных диаграмм Дынкина, используя пару бинарных групп многогранников. Это известно как переписка Слодового , названная в честь Петра Слодового – см. ( Стекольщик 2008 ).

Маркированные графики

Графы ADE и расширенные (аффинные) графы ADE также можно охарактеризовать с помощью разметок с определенными свойствами: что можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа или матрицы Картана . Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в ( Kac 1990 , стр. 47–54).

Аффинные графы ADE — единственные графы, которые допускают положительную маркировку (маркировку узлов положительными действительными числами) со следующим свойством:

Дважды любая метка представляет собой сумму меток соседних вершин.

То есть это единственные положительные функции с собственным значением 1 для дискретного лапласиана (сумма соседних вершин минус значение вершины) – положительные решения однородного уравнения:

$\Delta \phi =\phi .\$

Эквивалентно, положительные функции в ядре $\Delta -I.$ Результирующая нумерация уникальна в пределах масштаба, и если она нормализована так, что наименьшее число равно 1, она состоит из небольших целых чисел — от 1 до 6, в зависимости от графа.

Обычные графы ADE — единственные графы, допускающие положительную разметку со следующим свойством:

Дважды любая метка минус две — это сумма меток на соседних вершинах.

В терминах лапласиана положительные решения неоднородного уравнения:

$\Delta \phi =\phi -2.\$

Результирующая нумерация уникальна (масштаб указывается цифрой «2») и состоит из целых чисел; для Е ₈ они варьируются от 58 до 270 и наблюдались еще ( Бурбаки, 1968 ).

Другие классификации

Элементарные катастрофы также классифицируются по классификации ADE.

Диаграммы ADE — это в точности колчаны конечного типа, согласно теореме Габриэля .

Существует также связь с обобщенными четырехугольниками , так как три невырожденных GQ с тремя точками на каждой прямой соответствуют трем исключительным корневым системам E ₆ , E ₇ и E ₈ . Классы A и D соответствуют вырожденным случаям, когда набор линий пуст или все линии проходят через фиксированную точку соответственно.

Было высказано предположение, что симметрия небольших кластеров капель может подлежать классификации ADE.

Минимальные модели двумерной конформной теории поля имеют классификацию ADE.

Четырехмерный ${\mathcal {N}}=2$ суперконформные калибровочные колчанные теории с унитарными калибровочными группами имеют классификацию ADE.

Расширение классификации

Впоследствии Арнольд предложил множество дальнейших расширений этой классификационной схемы, стремясь пересмотреть и обобщить классификацию Коксетера и классификацию Дынкина под единой структурой корневых систем .Он пытался ввести неформальные концепции комплексификации и симплектизации, основанные на аналогиях между теорией Пикара-Лефшеца , которую он интерпретирует как комплексифицированную версию теории Морса , а затем распространить их на другие области математики. Он также пытается идентифицировать иерархии и словари между математическими объектами и теориями, где, например, диффеоморфизм соответствует типу A классификации Дынкина , диффеоморфизм, сохраняющий объем, соответствует типу B, а симплектоморфизмы соответствуют типу C. В том же духе он вновь обращается к аналогиям между различными математическими объектами. где, например, скобка Ли в области диффеоморфизмов как частный случай) скобку Пуассона симплектоморфизмов становится аналогичной (и в то же время включает в себя .

Троицы

Арнольд расширил это понятие до категории «математических троиц». Маккей вел свою переписку по параллельным, а иногда и пересекающимся линиям. Арнольд называет эти « троицы », чтобы напомнить о религии, и предполагает, что (в настоящее время) эти параллели больше полагаются на веру, чем на строгие доказательства, хотя некоторые параллели разрабатываются. Другие троицы были предложены другими авторами. Троицы Арнольда начинаются с R / C / H (действительные числа, комплексные числа и кватернионы), о чем он отмечает, что «все знают», и продолжает представлять другие троицы как «комплексификации» и «кватернионификации» классической (реальной) математики. , по аналогии с поиском симплектических аналогов классической римановой геометрии, который он ранее предложил в 1970-х годах. В дополнение к примерам из дифференциальной топологии (таким как характеристические классы ), Арнольд считает, что три платоновых симметрии (тетраэдрическая, октаэдрическая, икосаэдрическая) соответствуют действительным числам, комплексам и кватернионам, что затем соединяется с более алгебраическими соответствиями Маккея ниже.

Переписку Маккея описать легче. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ (соответствующие тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрии) имеют группы симметрии. $S_{3},S_{2},S_{1},$ соответственно, а соответствующие складки представляют собой диаграммы ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ (обратите внимание, что при менее тщательном написании расширенный определитель (тильда) часто опускается). Что еще более важно, Маккей предполагает наличие соответствия между узлами ${\tilde {E}}_{8}$ диаграмма и некоторые классы сопряженности группы монстров , которая известна как наблюдение Маккея E ₈ ; см. также чудовищный самогон . Маккей далее связывает узлы ${\tilde {E}}_{7}$ классам сопряженности в 2. B (расширение второго порядка группы маленьких монстров ), а узлы ${\tilde {E}}_{6}$ классам сопряженности в 3. Fi ₂₄ третьего порядка ' (расширение группы Фишера ) – обратите внимание, что это три крупнейшие спорадические группы , и что порядок расширения соответствует симметрии диаграммы.

Переходя от больших простых групп к малым, соответствующие платоновы группы $A_{4},S_{4},A_{5}$ имеют связи с проективными специальными линейными группами PSL(2,5), PSL(2,7) и PSL(2,11) (порядки 60, 168 и 660), что считается «перепиской Маккея». Эти группы являются единственными (простыми) значениями для p, такими что PSL(2, p ) действует нетривиально на p точках - факт, восходящий к Эваристу Галуа в 1830-х годах. Фактически, группы разлагаются как произведения множеств (а не как произведения групп) следующим образом: $A_{4}\times Z_{5},$ $S_{4}\times Z_{7},$ и $A_{5}\times Z_{11}.$ Эти группы также связаны с различными геометриями, которые датируются Феликсом Кляйном в 1870-х годах; см. «Икосаэдрическая симметрия: связанные геометрии для исторического обсуждения» и ( Костант 1995 ) для более свежего изложения. Связанные геометрии (плитки на римановых поверхностях ), в которых можно увидеть действие на точки p , следующие: PSL(2,5) — это симметрии икосаэдра (род 0) с соединением пяти тетраэдров как набор из 5 элементов. , PSL(2,7) квартики Клейна (род 3) с вложенной (дополнительной) плоскостью Фано как 7-элементное множество (биплоскость порядка 2), и PSL(2,11) Поверхность бакминстерфуллерена (род 70) со встроенной биплоскостью Пэли в виде набора из 11 элементов ( биплоскость 3-го порядка ). Из них икосаэдр датируется античностью, квартика Клейна — Кляйну в 1870-х годах, а поверхность бакибола — Пабло Мартину и Дэвиду Сингерману в 2008 году.

Алгебро-геометрически Маккей также связывает E6 _, E7 _, E8 _{соответственно} с: 27 прямыми на кубической поверхности , 28 бикасательными плоской кривой четвертой степени и 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4. Первый из них хорошо известен, а второй связан следующим образом: проецирование кубики из любой точки, не лежащей на прямой, дает двойное накрытие плоскости, разветвленное вдоль кривой четвертой степени, причем 27 прямых отображаются на 27 кубических 28 биткасательных, а 28-я линия — изображение исключительной кривой раздутия. Обратите внимание, что фундаментальные представления E ₆ , E ₇ , E ₈ имеют размерности 27, 56 (28·2) и 248 (120+128), а количество корней равно 27+45 = 72, 56+70 = 126. , и 112+128 = 240.Это тоже должно вписываться в схему связи Е _8,7,6 с тремя крупнейшими из спорадических простых групп: Монстром, Бэби и Фишером 24', ср. чудовищный самогон .

См. также

• Эллиптическая поверхность

Источники

• Бурбаки, Николя (1968), «Главы 4–6», Группы и алгебры Ли , Париж: Германн
• Арнольд, Владимир (1976), «Проблемы современной математики», в книге Феликса Э. Браудера (ред.), Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 28, Американское математическое общество , с. 46 Задача VIII. Классификации ADE (В. Арнольд).
• Диксон, Леонард Э. (1959), «XIII: Группы правильных тел; уравнения пятой степени» , Алгебраические теории , Нью-Йорк: Dover Publications
• Хазевинкель, Михель ; Хесселинг; Сьерсма, доктор юридических наук; Вельдкамп, Ф. (1977), «Повсеместное распространение диаграмм Кокстера-Динкина. (Введение в проблему ADE)» (PDF) , Nieuw Archief v. Wiskunde , 35 (3): 257–307
• Маккей, Джон (1980), «Графы, особенности и конечные группы», Proc. Симп. Чистая математика. , 37 лет , амер. Математика. Соц.: 183– и 265–.
• Маккей, Джон (1982), «Представления и графы Кокстера», «Геометрическая жилка», Coxeter Festschrift , Берлин: Springer-Verlag , стр. 549–
• Кац, Виктор Г. (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press , ISBN  0-521-46693-8
• Маккей, Джон (1 января 2001 г.), Краткое введение в теорию ADE
• Проктор, Р.А. (декабрь 1993 г.), «Две забавные классификации графов диаграмм Дынкина», The American Mathematical Monthly , 100 (10): 937–941, doi : 10.2307/2324217 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2324217
• Маккей, Дж.; Себбар, Абделла (2007). «Реплицируемые функции: введение». Границы теории чисел, физики и геометрии, II . Спрингер. стр. 373–386. дои : 10.1007/978-3-540-30308-4_10 .
• Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствии Маккея , Монографии Спрингера по математике, doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 , ISBN  978-3-540-77398-6
• ван Хобокен, Йорис (2002), Платоновые тела, бинарные многогранные группы, клейновские особенности и алгебры Ли типов A, D, E (PDF) , магистерская диссертация, Амстердамский университет, заархивировано из оригинала (PDF) 04.2012 г. 26 , получено 23 ноября 2011 г.

Внешние ссылки

• Джон Баэз , «Находки этой недели по математической физике» : неделя 62 , неделя 63 , неделя 64 , неделя 65 , 28 августа 1995 г., по 3 октября 1995 г., и неделя 230 , 4 мая 2006 г.
• Переписка Маккея , Тони Смит
• Классификация ADE, соответствие Маккея и теория струн , Любош Мотл , Система отсчета , 7 мая 2006 г.