Теорема Габриэля

В математике , теорема Габриэля доказанная Пьером Габриэлем , классифицирует колчаны конечного типа в терминах диаграмм Дынкина .

Заявление

Колчан имеет конечный тип , если он имеет лишь конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений. Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:

( Связный ) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его основной граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из ADE диаграмм Дынкина : $A_{n}$ , $D_{n}$ , $E_{6}$ , $E_{7}$ , $E_{8}$ .
Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.

Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли . Виктор Кац распространил эти результаты на все колчаны, не только типа Дынкина, связав их неразложимые представления с корнями алгебр Каца–Муди .

Ссылки

Бернштейн, Индиана; Гельфанд, ИМ; Пономарев В.А. (1973), «Функторы Кокстера и теорема Габриэля», Российские математические обзоры , 28 (2): 17–32, Бибкод : 1973RuMaS..28...17B , CiteSeerX 10.1.1.642.2527 , doi : 10.1070/RM1973v028n02ABEH001526 , ISSN 0042-1316 , MR 0393065 , S2CID 250762677
Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1973), Об алгебрах конечного типа представления , Конспекты математических лекций Карлтона, том. 2, факультет математики, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, MR 0347907
Габриэль, Питер (1972), «Неразложимые представления. I», Manuscripta Mathematica , 6 : 71–103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887 , S2CID 119425731
Виктор Кац, «Корневые системы, представления колчанов и теория инвариантов» . Теория инвариантов (Montecatini, 1982) , стр. 74–108, Конспекты лекций по математике. 996, Springer-Verlag, Берлин, 1983. ISBN 3-540-12319-9. ^{[ 1 ]}

^ Герарделли, Франческо; Международный летний математический центр, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4 .

[1] Герарделли, Франческо; Международный летний математический центр, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4 .

[ 1 ]