Исключительный делитель

В математике , особенно в алгебраической геометрии , исключительный делитель регулярного отображения.

$f:X\rightarrow Y$

разновидностей — это своего рода «большая» подразновидность $X$ который «раздавлен» $f$, в определенном смысле. Более строго, f имеет связанное исключительное локус , который описывает, как он идентифицирует близлежащие точки в коразмерности один, а исключительный дивизор представляет собой подходящую алгебраическую конструкцию, носителем которой является исключительное локус. Те же идеи можно найти в теории голоморфных отображений комплексных многообразий .

Точнее, предположим, что

$f:X\rightarrow Y$

— регулярное отображение многообразий , которое является бирациональным (т. е. представляет собой изоморфизм между открытыми подмножествами $X$ и $Y$). Подмногообразие коразмерности 1 $Z\subset X$ называется исключительным, если $f(Z)$ имеет коразмерность не менее 2 как подмногообразие $Y$. Тогда можно определить исключительный делитель $f$ быть

$\sum _{i}Z_{i}\in Div(X),$

где сумма ведется по всем исключительным подмногообразиям $f$, и является элементом группы дивизоров Вейля на $X$.

Рассмотрение исключительных дивизоров имеет решающее значение в бирациональной геометрии : элементарный результат (см., например, Шафаревич, II.4.4) показывает (при подходящих предположениях), что любое бирациональное регулярное отображение, не являющееся изоморфизмом, имеет исключительный дивизор. Особенно важным примером является взрыв

$\sigma :{\tilde {X}}\rightarrow X$

подразновидности

$W\subset X$:

в этом случае исключительный делитель является в точности прообразом $W$.

Ссылки

• Шафаревич, Игорь (1994). Основная алгебраическая геометрия, Том. 1 . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-54812-2 .