Полупростой оператор

В математике линейный оператор T : V → V в векторном пространстве V является полупростым , если каждое T - инвариантное подпространство имеет дополнительное T -инвариантное подпространство. ^[1] Если T полупростой линейный оператор на V, то V — полупростое представление T — . Эквивалентно, линейный оператор является полупростым, если его минимальный многочлен является произведением различных неприводимых многочленов . ^[2]

Линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем полупрост тогда и только тогда, когда он диагонализуем . ^[1]^[3]

Над совершенным полем разложение Жордана–Шевалле выражает эндоморфизм $x:V\to V$ как сумма полупростого эндоморфизма s и нильпотентного эндоморфизма n таких, что оба s и n являются полиномами от x .

См. также

^ Перейти обратно: ^а ^б Лам (2001), с. 39
^ Джейкобсон 1979 , Абзац перед гл. II, § 5, Теорема 11.
^ Это тривиально по определению с точки зрения минимального полинома, но более непосредственно это можно увидеть следующим образом. У такого оператора всегда есть собственный вектор; если он, кроме того, полупрост, то он имеет дополнительную инвариантную гиперплоскость , которая сама имеет собственный вектор и, следовательно, по индукции диагонализуема. И наоборот, диагонализуемые операторы легко увидеть полупростыми, поскольку инвариантные подпространства представляют собой прямые суммы собственных пространств, и любой базис этого пространства может быть расширен до собственного базиса.

Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк. ISBN 0-486-63832-4 . OCLC 6499793 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Дипломные тексты по математике. Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-95183-0 .

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .