Формула следа Артура – Сельберга

В математике формула следов Артура-Сельберга представляет собой обобщение формулы следов Сельберга от группы SL ₂ на произвольные редуктивные группы над глобальными полями , разработанную Джеймсом Артуром в длинной серии статей с 1974 по 2003 год. Она описывает характер представление $G (A)$ на дискретной части $L 2 0 ( г ( F )\ г ( А ))$ из $L 2 ( G ( F ) \ G ( A ))$ в терминах геометрических данных, где $G$ определенная над глобальным полем $F$ , а $A$ — кольцо аделей F — редуктивная алгебраическая группа , .

Существует несколько различных версий формулы следа. Первой версией была неуточненная формула следа , члены которой зависят от операторов усечения и имеют тот недостаток, что они не инвариантны. Позже Артур нашел формулу инвариантного следа и формулу стабильного следа, которые больше подходят для приложений. Простая формула следа ( Фликер и Каждан, 1988 ) менее общая, но ее легче доказать. Формула локального следа является аналогом над локальными полями. Жаке Формула относительного следа представляет собой обобщение, позволяющее интегрировать функцию ядра по недиагональным подгруппам.

Обозначения

F — глобальное поле , такое как поле рациональных чисел.
A — кольцо аделей F .
G — редуктивная алгебраическая группа, определенная F. над

Компактный корпус

В случае, когда $G ( F )\ G ( A )$ компактно, представление распадается в прямую сумму неприводимых представлений, а формула следа аналогична формуле Фробениуса для характера представления, индуцированного из тривиального представления подгруппы конечного индекса .

В компактном случае, который по существу принадлежит Сельбергу, группы G ( F ) и G ( A ) можно заменить любымидискретная подгруппа $Г$ G локально компактной группы $с$ Г $\ G$ компактной. Группа $G$ действует в пространстве функций на $Γ\ G$ правым регулярным представлением $R$ , и это продолжается до действия группового кольца группы $G$ рассматриваемого как кольцо функций $f$ на $G.$ , Характер этого представления задается следующим обобщением формулы Фробениуса.Действие функции $f$ на функцию $ср$ на $Г\ G$ определяется формулой

\displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.

Другими словами, $R (f)$ — интегральный оператор на $L 2 (Γ\ G )$ (пространство функций на $Γ\ G$ ) с ядром

\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).

Следовательно, след $R (f)$ определяется выражением

\displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.

Ядро K можно записать как

K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)

где $O$ — множество классов сопряженности в $Γ$ , а

K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)

где $γ$ — элемент класса сопряженности $o$ , а $Γ γ$ — его централизатор в $Γ$ .

С другой стороны, след также определяется выражением

\displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (R(f)|\pi )

где m (π) — кратность неприводимого унитарного представления $π$ группы $G$ в $L 2 (Г\ G ).$

Примеры

Если $Γ$ и $G$ конечны, формула следа эквивалентна формуле Фробениуса для характера индуцированного представления.
Если $G$ — группа $R$ действительных чисел, а $Γ$ — подгруппа $Z$ целых чисел, то формула следа становится формулой суммирования Пуассона .

Трудности в некомпактном случае

В большинстве случаев формулы следа Артура–Сельберга фактор $G ( F ) \ G ( A )$ не является компактным, что вызывает следующие (тесно связанные) проблемы:

Представление на $L 2 ( G ( F )\ G ( A ))$ содержит не только дискретные компоненты, но и непрерывные компоненты.
Ядро больше не интегрируемо по диагонали, и операторы $R (f)$ больше не относятся к ядерному классу.

Артур решил эти проблемы, усекая ядро на точках сборки таким образом, чтобы усеченное ядро было интегрируемо по диагонали. Этот процесс усечения вызывает множество проблем; например, усеченные члены больше не инвариантны относительно сопряжения. Продолжая манипулировать терминами, Артур смог создать инвариантную формулу следа, члены которой инвариантны.

Исходная формула следов Сельберга изучала дискретную подгруппу $Γ$ вещественной группы Ли $G (R)$ (обычно $SL 2 (R)$ ).В более высоком ранге удобнее заменить группу Ли группой аделей $G (A)$ . Одна из причин этого в том, что дискретную группу можно рассматривать как группу точек $G (F)$ для $F$ (глобального) поля, с которой легче работать, чем с дискретными подгруппами групп Ли. Это также упрощает операторами Hecke работу с .

Формула следа в некомпактном случае

Одна из версий формулы следа ( Артур, 1983 ) утверждает равенство двух распределений на $G (A)$ :

\sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.

Левая часть является геометрической частью формулы следа и представляет собой сумму по классам эквивалентности в группе рациональных точек $G (F)$ группы $G$ , а правая часть представляет собой спектральную часть формулы следа и представляет собой сумму над некоторыми представлениями подгрупп группы $G (A)$ .

Распределения

Геометрические термины

Спектральные термины

Инвариантная формула следа

Приведенную выше версию формулы следа не особенно легко использовать на практике, одна из проблем заключается в том, что члены в ней не инвариантны относительно сопряжения. Артур (1981) нашел модификацию, в которой термины инвариантны.

Инвариантная формула следа гласит:

\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi

где

$f$ — пробная функция на $G (A)$
$M$ пробегает конечное множество рациональных подгрупп Леви группы $G$
$(M (Q))$ — множество классов сопряженности $M (Q)$
$Π(M)$ — множество неприводимых унитарных представлений $M (A)$
$а М (γ)$ связана с объемом $M ( Q ,γ)\ M ( A ,γ)$
$а М (π)$ связано с кратностью неприводимого представления $π$ в $L 2 ( М ( Q ) \ М ( А ))$
$\displaystyle I_{M}(\gamma ,f)$ связано с $\displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx$
$\displaystyle I_{M}(\pi ,f)$ связано со следом $\displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx$
$W 0 (M)$ — Вейля M . группа

Стабильная формула следа

Ленглендс (1983) предположил возможность стабильного уточнения формулы следа, которое можно использовать для сравнения формулы следа для двух разных групп. Такая устойчивая формула следа была найдена и доказана Артуром (2002) .

Два элемента группы $G (F)$ называются стабильно сопряженными , если они сопряжены надалгебраическое замыкание поля $F$ . Дело в том, что при сравнении элементов в двух разных группах, связанных, например, внутренним скручиванием, хорошего соответствия между классами сопряженности обычно не получается, а только между стабильными классами сопряженности. Таким образом, чтобы сравнить геометрические члены в формулах следов для двух разных групп, хотелось бы, чтобы эти члены были не только инвариантными относительно сопряженности, но и хорошо вели себя в стабильных классах сопряженности; они называются стабильными распределениями .

Формула стабильного следа записывает члены формулы следа группы $G$ в терминах устойчивых распределений. Однако эти стабильные распределения не являются распределениями группы $G$ семейства квазирасщепленных групп, называемых группами G. $, а являются распределениями$ эндоскопическими Нестабильным орбитальным интегралам на группе $G$ соответствуют стабильные орбитальные интегралы на ее эндоскопических группах $H$ .

Простая формула трассировки

Существует несколько простых форм формулы следа, которые ограничивают компактные тестовые функции f каким-то образом ( Flicker & Kazhdan 1988 ). Преимущество этого состоит в том, что формула следа и ее доказательство становятся намного проще, а недостатком является то, что полученная формула становится менее мощной.

Например, если функции f являются каспидальными, это означает, что

\int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0

для любого унипотентного радикала $N$ собственной параболической подгруппы (определенной над $F$ ) и любых x , y в $G (A)$ , то оператор $R (f)$ имеет образ в пространстве сборных форм, поэтому компактен.

Приложения

Жаке и Ленглендс (1970) использовали формулу следов Сельберга, чтобы доказать соответствие Жаке-Лэнглендса между автоморфными формами на $GL 2$ и ее скрученными формами. Формула следов Артура – Сельберга может использоваться для изучения подобных соответствий в группах более высокого ранга. Его также можно использовать для доказательства некоторых других особых случаев функториальности Ленглендса, таких как изменение базы, длянекоторые группы.

Котвитц (1988) использовал формулу следов Артура-Сельберга для доказательства гипотезы Вейля о числах Тамагавы .

Лаффорг (2002) описал, как формула следов используется в его доказательстве гипотезы Ленглендса для общих линейных групп над функциональными полями.

См. также

Ссылки

Артур, Джеймс (1981), «Формула следа в инвариантной форме», Annals of Mathematics , Second Series, 114 (1): 1–74, doi : 10.2307/1971376 , JSTOR 1971376 , MR 0625344
Артур, Джеймс (1983), «Формула следа для редуктивных групп» (PDF) , Конференция по автоморфной теории (Дижон, 1981) , Опубл. Математика. унив. Париж VII, том. 15, Париж: Унив. Париж VII, стр. 1–41, CiteSeerX 10.1.1.207.4897 , doi : 10.1007/978-1-4684-6730-7_1 , ISBN 978-0-8176-3135-2 , МР 0723181
Артур, Джеймс (2002), «Формула стабильного следа. I. Общие разложения» (PDF) , Журнал Института математики Жюсье , 1 (2): 175–277, doi : 10.1017/S1474-748002000051 , MR 1954821 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 мая 2008 г.
Артур, Джеймс (2005), «Введение в формулу следа» (PDF) , Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры , Clay Math. Учеб., вып. 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–263, MR 2192011 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 мая 2008 г.
Фликер, Юваль З.; Каждан, Дэвид А. (1988), «Простая формула следа», Journal d'Analyse Mathématique , 50 : 189–200, doi : 10.1007/BF02796122
Гелбарт, Стивен (1996), Лекции по формуле следа Артура-Сельберга , Серия университетских лекций, том. 9, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , arXiv : math.RT/9505206 , doi : 10.1090/ulect/009 , ISBN 978-0-8218-0571-8 , МР 1410260 , S2CID 118372096
Жаке, Х.; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, том. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058988 , ISBN. 978-3-540-04903-6 , МР 0401654 , S2CID 122773458
Конно, Такуя (2000), «Обзор формулы следа Артура-Сельберга» (PDF) , Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku (1173): 243–288, MR 1840082
Котвитц, Роберт Э. (1988), «Числа Тамагавы», Ann. математики. , 2, 127 (3): 629–646, номер документа : 10.2307/2007007 , JSTOR 2007007 , MR 0942522.
Лабесс, Жан-Пьер (1986), «Формула следа Артура-Сельберга», Asterisk (133): 73–88, MR 0837215
Ленглендс, Роберт П. (2001), «Формула следа и ее приложения: введение в работу Джеймса Артура», Canadian Mathematical Bulletin , 44 (2): 160–209, doi : 10.4153/CMB-2001-020- 8 , ISSN 0008-4395 , МР 1827854
Лафорг, Лоран (2002), «Chtoucas de Drinfeld, формула следов Артура-Сельберга и переписка Ленглендса», Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Пекин, 2002) , Пекин: Высшее изд. Пресс, стр. 383–400, МР 1989194.
Ленглендс, Роберт П. (1983), Начало устойчивой формулы следа , Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Математические публикации Парижского университета VII], том. 13, Париж: VII Университет математики Парижа, MR 0697567
Шокранян, Салаходдин (1992), Формула следа Сельберга-Артура , Конспект лекций по математике, том. 1503, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0092305 , ISBN. 978-3-540-55021-1 , МР 1176101

Внешние ссылки