Плоская функция

Функция $y(x\neq 0)=e^{-1/x^{2}},$ $y(0)=0$ плоский на $x=0$.

В математике , особенно реальном анализе , действительная функция плоская . в $x_{0}$ если все его производные в $x_{0}$ существуют и равны 0 .

Функция, плоская в $x_{0}$ не является аналитическим в $x_{0}$ если только оно не постоянным в окрестности является $x_{0}$ (поскольку аналитическая функция должна равняться сумме своего ряда Тейлора ).

Примером плоской функции в точке 0 является функция такая, что $f(0)=0$ и ${\textstyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ для $x\neq 0.$

Функция не обязательно должна быть плоской только в одной точке. Тривиально, постоянные функции на $\mathbb {R}$ они везде плоские. Но есть и другие, менее тривиальные примеры; например, функция такая, что $f(x)=0$ для $x\leq 0$ и ${\textstyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ для $x>0.$

Пример

Функция, определенная

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$

плоский на $x=0$. Таким образом, это пример неаналитической гладкой функции . Патологическая природа этого примера частично проясняется тем фактом, что его распространение на комплексные числа фактически не дифференцируемо .

Ссылки

• Глейстер, П. (декабрь 1991 г.), Плоская функция с некоторыми интересными свойствами и применением , The Mathematical Gazette, Vol. 75, № 474, стр. 438–440, JSTOR   3618627.