Теорема Андерсона

Эта статья о теореме Андерсона в математике. О теореме ортогональности Андерсона в физике см. Теорема ортогональности Андерсона . О теореме о сверхпроводимости см. Теорему Андерсона (сверхпроводимость) .

В математике K теорема Андерсона является результатом реального анализа и геометрии , который гласит, что интеграл от интегрируемой, симметричной, унимодальной, неотрицательной функции f по n -мерному выпуклому телу K не уменьшается, если переносится внутрь к началу координат. . Это естественное утверждение, поскольку можно представить график f как холм с единственной вершиной в начале координат; однако для n ≥ 2 доказательство не совсем очевидно, так как могут существовать точки x тела K , где значение f ( x ) больше, чем при соответствующем сдвиге x .

Теорема Андерсона, названная в честь Теодора Уилбура Андерсона , также имеет интересное применение в теории вероятностей .

Формулировка теоремы

Пусть K — выпуклое тело в n - мерном евклидовом пространстве R ^н симметричное K относительно отражения в начале координат, т.е. = − K . Пусть f : R ^н → R — неотрицательная симметричная глобально интегрируемая функция; т.е.

• f ( x ) ≥ 0 для всех x ∈ R ^н ;
• ж ( Икс ) знак равно ж (- Икс ) для всех Икс Е R ^н ;
• $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .$

Предположим также, что множества суперуровня L ( f , t ) функции f , определенные формулой

$L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},$

являются выпуклыми подмножествами R ^н для каждого t ≥ 0. (Это свойство иногда называют унимодальным .) Тогда для любых 0 ⩽ c ⩽ 1 и y ∈ R ^н ,

$\int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.$

Приложение к теории вероятностей

Для вероятностного пространства (Ω, Σ, Pr) предположим, что X : Ω → R ^н это буква Р ^н -значная случайная величина с функцией плотности вероятности f : R ^н → [0, +∞) и что Y : Ω → R ^н является независимой случайной величиной. Функции плотности вероятности многих известных распределений вероятностей являются p - вогнутыми для некоторого p и, следовательно, унимодальными. Если они также симметричны (например, распределение Лапласа и нормальное распределение ), то применяется теорема Андерсона, и в этом случае

$\Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)$

для любого симметричного относительно начала координат выпуклого тела K ⊆ R ^н .

Ссылки

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 39 (3): 355–405 (электронный). дои : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .