Неявная функция

В математике — неявное уравнение это соотношение вида $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ где $R$ — функция нескольких переменных (часто многочлен ). Например, неявное уравнение единичного круга : $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Неявная функция — это функция , которая определяется неявным уравнением, которое связывает одну из переменных, рассматриваемую как значение функции , с другими, рассматриваемыми как аргументы . ^[1]^{: 204–206} Например, уравнение $x^{2}+y^{2}-1=0$ единичного круга определяет $y$ как неявную функцию от $x,$ если $-1 \leq x \leq 1$ , а $y$ ограничено неотрицательными значениями.

Теорема о неявной функции обеспечивает условия, при которых некоторые виды неявных уравнений определяют неявные функции, а именно те, которые получаются путем приравнивания нулю функций многих переменных , которые являются непрерывно дифференцируемыми .

Примеры

Обратные функции

Распространенным типом неявной функции является обратная функция . Не все функции имеют уникальную обратную функцию. Если $g$ — функция от $x$ , имеющая единственную обратную функцию, то обратная функция $g$ , называемая $g -1$ , – единственная функция, дающая решение уравнения

y=g(x)

для $x$ через $y$ . Тогда это решение можно записать как

x=g^{-1}(y)\,.

Определение $г -1$ поскольку обратное к $g$ является неявным определением. Для некоторых функций $g$ , $g -1 (y)$ можно записать явно как выражение в замкнутой форме — например, если $g (x) = 2 x - 1$ , то $g −1 ( и ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ ( у + 1)$ . Однако часто это невозможно или только путем введения новой нотации (как в примере журнала продукта ниже).

Интуитивно обратная функция получается из $g$ путем замены ролей зависимой и независимой переменных.

Пример: Журнал продукта — это неявная функция, дающая решение для $x$ уравнения $y - xe. х = 0$ .

Алгебраические функции

Алгебраическая функция — это функция, удовлетворяющая полиномиальному уравнению, коэффициенты которого сами являются полиномами. Например, алгебраическая функция от одной переменной $x$ дает решение для $y$ уравнения

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

где коэффициенты $a i (x)$ являются полиномиальными функциями $x$ . Эту алгебраическую функцию можно записать как правую часть уравнения решения $y = f (x)$ . Записанная таким образом, $f$ является многозначной неявной функцией.

Алгебраические функции играют важную роль в математическом анализе и алгебраической геометрии . Простой пример алгебраической функции дается левой частью уравнения единичного круга:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Решение для $y$ дает явное решение:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Но даже без указания этого явного решения можно ссылаться на неявное решение уравнения единичной окружности как $y = f (x)$ , где $f$ — многозначная неявная функция.

Хотя явные решения могут быть найдены для уравнений, которые являются квадратичными , кубическими и четвертыми по $y$ , в целом это не верно для уравнений пятой степени и более высоких степеней, таких как

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Тем не менее, все равно можно сослаться на неявное решение $y = f (x),$ включающее многозначную неявную функцию $f$ .

Предостережения

Не каждое уравнение $R (x, y) = 0$ подразумевает график однозначной функции, одним из ярких примеров является уравнение окружности. Другой пример — неявная функция, заданная формулой $x - C (y) = 0$ , где $C$ — кубический многочлен , имеющий «горб» на графике. Таким образом, чтобы неявная функция была истинной (однозначной) функцией, возможно, потребуется использовать только часть графика. Неявную функцию иногда можно успешно определить как истинную функцию только после «увеличения» некоторой части $оси x$ и «отсечения» некоторых нежелательных ветвей функции. Тогда можно написать уравнение, выражающее $y$ как неявную функцию других переменных.

Определяющее уравнение $R (x, y) = 0$ может иметь и другие патологии. Например, уравнение $x = 0$ не подразумевает наличие функции $f (x),$ дающей решения для $y$ вообще ; это вертикальная линия. Чтобы избежать подобной проблемы, на допустимые виды уравнений или на область определения часто накладываются различные ограничения . Теорема о неявной функции обеспечивает единый способ борьбы с такого рода патологиями.

Неявное дифференцирование

В исчислении метод, называемый неявным дифференцированием , использует правило цепочки для дифференцирования неявно определенных функций.

Чтобы дифференцировать неявную функцию $y (x)$ , определенную уравнением $R (x, y) = 0$ , обычно невозможно решить ее явно для $y$ , а затем дифференцировать. Вместо этого можно полностью дифференцировать $R (x, y) = 0$ по $x$ и $y$ , а затем решить полученное линейное уравнение для $⁠ dy / dx ⁠,$ чтобы явно получить производную через $x$ и $y$ . Даже когда можно явно решить исходное уравнение, формула, полученная в результате полного дифференцирования, в целом намного проще и легче в использовании.

Примеры

Пример 1

Учитывать

y+x+5=0\,.

Это уравнение легко решить относительно $y$ , дав

y=-x-5\,,

где правая часть — явный вид функции $y (x)$ . Тогда дифференцирование дает $⁠ dy / dx ⁠ = -1$ .

Альтернативно, можно полностью дифференцировать исходное уравнение:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

Решение для $⁠ dy / dx ⁠$ дает

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

тот же ответ, что был получен ранее.

Пример 2

Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем использование явного дифференцирования, является функция $y (x),$ определенная уравнением

x^{4}+2y^{2}=8\,.

Чтобы явно дифференцировать это относительно $x$ , нужно сначала получить

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

а затем дифференцируем эту функцию. Это создает две производные: одну для $y \geq 0$ и другую для $y < 0$ .

Значительно проще неявно дифференцировать исходное уравнение:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

предоставление

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Пример 3

Часто трудно или невозможно явно найти решение для $y$ , и неявное дифференцирование является единственным возможным методом дифференцирования. Примером может служить уравнение

y^{5}-y=x\,.

Невозможно алгебраически выразить $у$ в явном виде как функцию от $х$ , и поэтому нельзя найти $⁠ dy / dx ⁠$ явным дифференцированием. Используя неявный метод, $⁠ dy / dx ⁠$ можно получить, дифференцируя уравнение, чтобы получить

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

где $⁠ дх / дх ⁠ знак равно 1$ . Факторинг $⁠ dy / dx ⁠$ показывает, что

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

что дает результат

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

который определен для

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Общая формула производной неявной функции

Если $R (x, y) = 0$ , производная неявной функции $y (x)$ определяется выражением ^[2]^: §11.5

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

где $Rx $ и $Ry $ обозначают производные R $и$ по $x$ y $.$ частные

Приведенная выше формула получена в результате использования обобщенного цепного правила для получения полной производной — по $x$ — обеих сторон $R (x, y) = 0$ :

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

следовательно

{\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

который при решении для $⁠ dy / dx ⁠$ дает выражение выше.

Теорема о неявной функции

Пусть $R (x, y)$ — дифференцируемая функция двух переменных, а $(a, b)$ — пара действительных чисел такая, что $R (a, b) = 0$ . Если $⁠ \partial R / \partial y ⁠ \neq 0$ , то $R (x, y) = 0$ определяет неявную функцию, которая дифференцируема в некоторой достаточно окрестности малой $(a, b)$ ; другими словами, существует дифференцируемая функция $f$ , которая определена и дифференцируема в некоторой окрестности $a$ , такая, что $R (x, f (x)) = 0$ для $x$ в этой окрестности.

Состояние $⁠ \partial R / \partial y ⁠ \neq 0$ означает, что $(a, b)$ является регулярной точкой неявного неявной кривой уравнения $R (x, y) = 0$ , где касательная не вертикальна.

Говоря менее техническим языком, неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет невертикальную касательную. ^[2]^: §11.5

В алгебраической геометрии

Рассмотрим отношение вида $R (x 1, \dots, x n) = 0$ , где $R$ — многочлен от многих переменных. Набор значений переменных, удовлетворяющих этому соотношению, называется неявной кривой, если $n = 2$ , и неявной поверхностью, если $n = 3$ . Неявные уравнения составляют основу алгебраической геометрии , основными предметами изучения которой являются одновременные решения нескольких неявных уравнений, левые части которых являются полиномами. Эти множества одновременных решений называются аффинными алгебраическими множествами .

В дифференциальных уравнениях

Решения дифференциальных уравнений обычно кажутся выраженными неявной функцией. ^[3]

Приложения в экономике

Предельная норма замещения

В экономике , когда набор уровней $R (x, y) = 0$ представляет собой кривую безразличия для количеств $x$ и $y$ , потребляемых двух товаров, абсолютное значение неявной производной $⁠ dy / dx ⁠$ интерпретируется как предельная норма замещения двух товаров: насколько больше $y$ нужно получить, чтобы быть безразличным к потере одной единицы $x$ .

Предельная норма технического замещения

Точно так же иногда набор уровней $R (L, K)$ представляет собой изокванту, показывающую различные комбинации использованных количеств $L$ труда и $K$ физического капитала, каждая из которых привела бы к производству одного и того же заданного количества продукции некоторого товара. В этом случае абсолютное значение неявной производной $⁠ dK / dL ⁠$ интерпретируется как предельная норма технического замещения между двумя факторами производства: насколько больше капитала должна использовать фирма, чтобы произвести тот же объем продукции с использованием одной единицы труда меньше.

Оптимизация

Часто в экономической теории некоторая функция, такая как функция полезности или функция прибыли , должна быть максимизирована относительно вектора выбора $x,$ даже если целевая функция не ограничена какой-либо конкретной функциональной формой. Теорема о неявной функции гарантирует, что условия первого порядка оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора $x *$ вектора выбора $x$ . Когда максимизируется прибыль, обычно результирующими неявными функциями являются функция спроса на рабочую силу и функции предложения различных товаров. Когда полезность максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция предложения труда и функции спроса на различные товары.

задачи При этом влияние параметров на $x *$ — частных производных неявной функции — можно выразить как полные производные системы условий первого порядка, найденные с помощью полного дифференцирования .

См. также

Ссылки

^ Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стюарт, Джеймс (1998). Концепции и контексты исчисления . Издательская компания Брукса / Коула. ISBN 0-534-34330-9 .
^ Каплан, Уилфред (2003). Продвинутое исчисление . Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-79937-5 .

Дальнейшее чтение

Бинмор, КГ (1983). «Неявные функции» . Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 198–211. ISBN 0-521-28952-1 .
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Бостон: МакГроу-Хилл . стр. 223–228 . ISBN 0-07-054235-Х .
Саймон, Карл П.; Блюм, Лоуренс (1994). «Неявные функции и их производные» . Математика для экономистов . Нью-Йорк: WW Нортон. стр. 334–371. ISBN 0-393-95733-0 .

Внешние ссылки

Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Неявная дифференциация. Что здесь происходит?» . 3Синий1Коричневый . Сущность исчисления. 3 мая 2017 г. — через YouTube .

[Chiang-1] Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7 .

[Stewart1998-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стюарт, Джеймс (1998). Концепции и контексты исчисления . Издательская компания Брукса / Коула. ISBN 0-534-34330-9 .

[3] Каплан, Уилфред (2003). Продвинутое исчисление . Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-79937-5 .

[1]

[2]

[3]