Ламберта W Функция

Произведение логарифма функции Ламберта W, построенное на комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График y = W ( x ) для вещественных x < 6 и y > −4 . Верхняя ветвь (синяя) с y ≥ −1 представляет собой график функции W ₀ (главная ветвь), нижняя ветвь (пурпурная) с y ≤ −1 представляет собой график функции W ₋₁ . Минимальное значение x находится при {−1/ e , −1}.

В математике функция Ламберта W или называемая омега-функцией , также логарифмом произведения , — многозначная функция , а именно ветви обратного соотношения функции f ( w ) = we ^В , где w — любое комплексное число , а e ^В является показательной функцией . Функция названа в честь Иоганна Ламберта , который рассматривал аналогичную проблему в 1758 году. Опираясь на работу Ламберта, Леонард Эйлер описал функцию W как таковую в 1783 году.

Для каждого целого числа k существует одна ветвь, обозначаемая W _k ( z ) , которая представляет собой комплексную функцию одного комплексного аргумента. W0 _. известен как ветвь главная Эти функции обладают следующим свойством: если z и w — любые комплексные числа, то

$we^{w}=z$

имеет место тогда и только тогда, когда

$w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.$

При работе только с действительными числами двух ветвей W ₀ и W ₋₁ достаточно: для действительных чисел x и y уравнение

$ye^{y}=x$

можно решить относительно y, только если x ≥ − ⁠ 1 / е ⁠ ; получает y = W ₀ ( x ), если x ≥ 0 , и два значения y = W ₀ ( x ) и y = W ₋₁ ( x ), если - ⁠ 1 / е ⁠ ≤ Икс < 0 .

Ветви функции Ламберта W не могут быть выражены через элементарные функции . Это полезно в комбинаторике , например, при перечислении деревьев . Его можно использовать для решения различных уравнений, включающих экспоненты (например, максимумы распределений Планка , Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака ), а также встречается при решении дифференциальных уравнений с запаздыванием , таких как y ′( t ) = a y ( т - 1) . В биохимии и, в частности, в кинетике ферментов с течением времени , решение в открытой форме для анализа кинетики Михаэлиса-Ментен описывается с помощью W -функции Ламберта.

Основная ветвь функции Ламберта W на комплексной плоскости, построенная с раскраской области . Обратите внимание на ветвь, разрезанную вдоль отрицательной вещественной оси, заканчивающуюся на — ⁠ 1 / e ⁠ .

Модуль главной ветви функции Ламберта W , окрашенный в соответствии с arg W ( z )

Терминология

Основная ветвь W ₀ обозначается Wp в Цифровой библиотеке математических функций , а ветвь W ₋₁ обозначается Wm там .

Выбранное здесь соглашение об обозначениях (с W ₀ и W ₋₁ ) соответствует каноническим ссылкам на W- функцию Ламберта Корлесса, Гонне, Хэйра, Джеффри и Кнута .

Название «произведение логарифма» можно понимать так: поскольку обратная функция f ( w ) = e ^В называется логарифмом , имеет смысл называть обратную «функцию» произведения, которое мы ^В как «логарифм произведения». (Техническое примечание: как и комплексный логарифм , он многозначен, и поэтому W описывается как обратное отношение, а не обратная функция.) Он связан с константой омега , которая равна W ₀ (1) .

История

Ламберт впервые рассмотрел связанное с ним трансцендентное уравнение Ламберта в 1758 году: что привело к статье Леонарда Эйлера в 1783 году. где обсуждался особый случай, когда мы ^В .

Уравнение, которое рассматривал Ламберт, было

$x=x^{m}+q.$

Эйлер преобразовал это уравнение к виду

$x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.$

Оба автора получили рядное решение для своих уравнений.

Решив это уравнение, Эйлер рассмотрел случай ⁠ $a=b$⁠ . Взяв пределы, он вывел уравнение

$\ln x=cx^{a}.$

Затем он поставил ⁠ $a=1$⁠ и получил решение сходящегося ряда для полученного уравнения, выражающее ⁠ $x$⁠ с точки зрения ⁠ $c$⁠ .

Взяв производные по ⁠ $x$⁠ и некоторых манипуляций получается стандартный вид функции Ламберта.

В 1993 году сообщалось, что Ламберт ⁠ $W$Функция ⁠ обеспечивает точное решение квантово-механической модели дельта-функции Дирака с двумя ямами для равных зарядов. — фундаментальная проблема физики. Вдохновленный этим, Роб Корлесс и разработчики системы компьютерной алгебры Maple поняли, что «W-функция Ламберта широко использовалась во многих областях, но из-за различных обозначений и отсутствия стандартного названия осведомленность о функции была не такой высокой. как должно было быть».

Другой пример обнаружения этой функции — кинетика Михаэлиса-Ментен .

Хотя было широко распространено мнение, что Ламберт ⁠ $W$⁠ функция не может быть выражена через элементарные ( лиувиллианские ) функции, первое опубликованное доказательство появилось только в 2008 году.

Элементарные свойства, ветви и диапазон

Диапазон функции W , показывающий все ветви. Черные кривые (включая действительную ось) образуют изображение действительной оси, оранжевые кривые — изображение мнимой оси. Фиолетовая кривая и круг — это изображение маленького круга вокруг точки z = 0 ; красные кривые — это изображение маленького круга вокруг точки z = −1/e .

График мнимой части W _n ( x + iy ) для ветвей n = −2, −1, 0, 1, 2 . График аналогичен графику многозначной функции комплексного логарифма , за исключением того, что расстояние между листами не является постоянным и соединение основного листа отличается.

Существует счетное количество ветвей функции , обозначаемой Wk _W ( z ) , для целого числа k ; W ₀ ( z ) — основная (или главная) ветвь. W ₀ ( z ) определяется для всех комплексных чисел z, а W _k ( z ) с k ≠ 0 определяется для всех ненулевых z . При W ₀ (0) = 0 и lim z → 0 W _k ( z ) = −∞ для всех k ≠ 0 .

Точка ветвления главной ветви находится в точке z = − ⁠ 1 / e ⁠ с разрезом, продолжающимся до −∞ вдоль отрицательной вещественной оси. Этот разрез отделяет главную ветвь от двух ветвей W _-1 и W ₁ . Во всех ветвях W _k с k ≠ 0 имеется точка ветвления при z = 0 и ветвь, разрезанная вдоль всей отрицательной вещественной оси.

функции W _k ( z ), k ∈ Z Все инъективны , а их образы не пересекаются. Область значений всей многозначной функции W представляет собой комплексную плоскость. Образ действительной оси есть объединение действительной оси и квадратрисы Гиппия , параметрической кривой w = − t cot t + it .

Обратный

Области комплексной плоскости, для которых ⁠ $W(n,ze^{z})=z$⁠ , где z знак равно Икс + iy . Более темные границы определенной области включаются в более светлую область того же цвета. Точка {−1, 0} включена как в ⁠ $n=-1$⁠ (синий) регион и ⁠ $n=0$⁠ (серая) область. Горизонтальные линии сетки кратны π .

График диапазона выше также очерчивает области на комплексной плоскости, где выполняется простая обратная зависимость ⁠ $W(n,ze^{z})=z$⁠ правда. ⁠ $f=ze^{z}$⁠ подразумевает, что существует ⁠ $n$⁠ такой, что ⁠ $z=W(n,f)=W(n,ze^{z})$⁠ , где ⁠ $n$⁠ зависит от значения ⁠ $z$⁠ . Значение целого числа ⁠ $n$⁠ резко меняется, когда ⁠ $ze^{z}$⁠ находится на срезе ⁠ $W(n,ze^{z})$⁠ , а это значит, что ⁠ $ze^{z}$⁠ ≤ 0 , за исключением ⁠ $n=0$⁠ где это ⁠ $ze^{z}$⁠ ≤ −1/ ⁠ $e$⁠ .

Определение ⁠ $z=x+iy$⁠ , где ⁠ $x$⁠ и ⁠ $y$⁠ реальны и выражают ⁠ $e^{z}$⁠ в полярных координатах видно, что

${\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}$

Для $n\neq 0$, ветка, отрезанная от ⁠ $W(n,ze^{z})$⁠ — неположительная действительная ось, так что

$x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),$

и

$(x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.$

Для $n=0$, ветка, отрезанная от ⁠ $W[n,ze^{z}]$⁠ — действительная ось с $-\infty <z\leq -1/e$, так что неравенство принимает вид

$(x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.$

Внутри областей, ограниченных указанным выше, скачкообразных изменений ⁠ нет . $W(n,ze^{z})$⁠ , и эти регионы указывают, где находится ⁠ $W$⁠ функция просто обратима, т.е. ⁠ $W(n,ze^{z})=z$⁠ .

Исчисление

Производная

Путем неявного дифференцирования можно показать, что все ветви W удовлетворяют дифференциальному уравнению

$z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.$

( W не дифференцируемо при z = − ⁠ 1 / e ⁠ .) Как следствие, получается следующая формула для производной W :

${\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.$

Используя тождество e ^{В ( с )} = ⁠ z / W ( z ) ⁠ даёт следующую эквивалентную формулу:

${\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.$

В начале у нас есть

$W'_{0}(0)=1.$

Интеграл

Функция W ( x ) и многие другие выражения, включающие W ( x ) , могут быть проинтегрированы с помощью замены w = W ( x ) , т.е. x = we ^В :

${\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}$

(Последнее уравнение более распространено в литературе, но не определено при x = 0 ). Одним из следствий этого (с учетом того, что W ₀ ( e ) = 1 ) является тождество

$\int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.$

Асимптотические разложения

Ряд Тейлора W вокруг 0 ₀ ​​можно найти с помощью теоремы обращения Лагранжа и имеет вид

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .$

Радиус сходимости ​ ⁠ 1 / e ⁠ , как можно увидеть с помощью теста отношения . Функция, определенная этим рядом, может быть расширена до голоморфной функции, определенной для всех комплексных чисел с ветвью, разрезанной на интервале (−∞, − ⁠ 1 / е ⁠ ] ; эта голоморфная функция определяет главную ветвь Ламберта W. функции

больших значений x W Для ₀ асимптотически равна

${\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}$

где L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x и [ ^{л + м}
_{l +1} ] — неотрицательное число Стирлинга первого рода . Сохраняя только первые два члена разложения,

$W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).$

Другая вещественная ветвь, W ₋₁ , определенная в интервале [− ⁠ 1 / e ⁠ , 0) имеет аппроксимацию той же формы, когда x приближается к нулю, причем в этом случае L ₁ = ln(− x ) и L ₂ = ln(−ln(− x )) .

Целые и комплексные степени

Целые степени W ₀ также допускают простое разложение в ряд Тейлора (или Лорана ) в нуле:

$W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .$

В более общем смысле, для r ∈ Z формула обращения Лагранжа дает

$W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},$

что, вообще говоря, является рядом Лорана порядка r . Эквивалентно, последнее можно записать в виде разложения Тейлора степеней W ₀ ( x ) / x :

$\left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},$

которое справедливо для любого r ∈ C и | х | < ⁠ 1 / e ⁠ .

Границы и неравенства

Для функции Ламберта известен ряд неасимптотических оценок.

Хурфар и Хассани справедлива следующая оценка показал, что для x ≥ e :

$\ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.$

Они также показали общую границу

$W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),$

для каждого $y>1/e$ и $x\geq -1/e$, с равенством только для $x=y\ln(y)$.Граница позволяет сделать множество других границ, например, взять $y=x+1$ что дает границу

$W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).$

В 2013 году было доказано что ветвь W ₋₁ можно ограничить следующим образом:

$-1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.$

Роберто Яконо и Джон П. Бойд расширил границы следующим образом:

$\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).$

Личности

График W _j ( x e ^х ), где синий соответствует j =0, а красный — j =−1. Диагональная линия представляет интервалы, в которых W _j ( x e ^х )= х

Произведение логарифма функции Ламберта W W 2(z), построенное в комплексной плоскости от −2−2i до 2+2i

Из определения следуют несколько тождеств:

${\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что поскольку f ( x ) = xe ^х не является инъективным , то не всегда выполняется условие W ( f ( x )) = x , как и в случае с обратными тригонометрическими функциями . При фиксированных x < 0 и x ≠ −1 уравнение xe ^х = да ^и имеет два действительных решения относительно y , одно из которых, конечно же, y = x . Тогда для i = 0 и x < −1 , а также для i −1 и x ∈ (−1,0) = y = W _i ( xe ^х ) — другое решение.

Некоторые другие личности:

${\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}$

$\ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.$

$W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.$

$W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.$

${\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}$

(который можно распространить на другие n и x , если выбрана правильная ветвь).

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.$

Подставляя −ln x в определение:

${\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}$

С повторной экспонентой Эйлера h ( x ) :

${\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}$

Особые значения

Ниже приведены особые значения основной ветви: $$W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}$$$$W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1$$$$W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2$$$$W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)$$$$W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)$$$$W_{0}(0)=0$$

$W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad$( константа омега )

$$W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)$$$$W_{0}(e)=1$$$$W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e$$$$W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}$$$$W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}$$$$W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i$$

Специальные значения ветви W ₋₁ : $$W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4$$

Представительства

Главную ветвь функции Ламберта можно представить собственным интегралом Пуассона:

$-{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.$

Другое представление главной ветви было найдено Калугиным-Джеффри-Корлессом:

$W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.$

следующее представление цепной дроби : Для главной ветви также справедливо

$W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

Кроме того, если | W ₀ ( Икс ) | < 1 :

$W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.$

В свою очередь, если | W ₀ ( Икс ) | > е , тогда

$W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.$

Другие формулы

Определенные интегралы

Существует несколько полезных формул определенных интегралов, включающих главную ветвь функции W , в том числе следующие:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$

Первое тождество можно найти, записав интеграл Гаусса в полярных координатах .

Второе тождество можно получить, сделав замену u = W ₀ ( x ) , что дает

${\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}$

Таким образом

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$

Третье тождество можно получить из второго, сделав замену u = x ⁻² причем первое также можно получить из третьего заменой z = ⁠ 1 / √ 2 ⁠ Тан Икс .

За исключением z вдоль разреза ветвления (−∞, − ⁠ 1 / e ⁠ ] (где интеграл не сходится), главная ветвь функции Ламберта W может быть вычислена с помощью следующего интеграла:

${\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}$

где два интегральных выражения эквивалентны из-за симметрии подынтегральной функции.

Неопределенные интегралы

$$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$$

1-е доказательство

Ввести переменную подстановки $u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C$

$u=W(x)$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$

2-е доказательство

$W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx$

$u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C$

$u=W(x)$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$

$$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C$$

Доказательство

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx$

$u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du$

$v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv$

$w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw$

$t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int (t+1)dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C$

$t=W\left(w\right)$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C$

$w=Av$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C$

$v=e^{u}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C$

$u=Bx$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C$

$$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C$$

Доказательство

Ввести переменную подстановки $u=W(x)$, что дает нам $ue^{u}=x$ и ${\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}$

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}$

$v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C$

$v=-u$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C$

$u=W(x)$

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}$

Приложения

Решение уравнений

Функция Ламберта W используется для решения уравнений, в которых неизвестная величина входит как в основание, так и в показатель степени или как внутри, так и вне логарифма. Стратегия состоит в том, чтобы преобразовать такое уравнение в одну из форм ze ^С = w, а затем найти z с помощью W. функции

Например, уравнение

$3^{x}=2x+2$

(где x — неизвестное действительное число) можно решить, переписав его как

${\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}$

Это последнее уравнение имеет желаемую форму, и решения для действительного x :

$(\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)$

и таким образом:

$x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots$

Как правило, решение

$x=a+b\,e^{cx}$

является:

$x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})$

где a , b и c — комплексные константы, причем b и c не равны нулю, а функция W имеет любой целочисленный порядок.

Вязкие потоки

Фронты и отложения зернистых и селевых потоков, а также фронты вязких жидкостей в природных явлениях и в лабораторных экспериментах можно описать с помощью омега-функции Ламберта – Эйлера следующим образом:

$H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),$

где H ( x ) – высота селевого потока, x – положение русла ниже по течению, L – единый параметр модели, состоящий из нескольких физических и геометрических параметров потока, высоты потока и градиента гидравлического давления.

В трубопроводном потоке функция Ламберта W является частью явной формулировки уравнения Колбрука для определения коэффициента трения Дарси . потоке Этот коэффициент используется для определения падения давления на прямом участке трубы при турбулентном .

Зависящий от времени поток в простых гидравлических системах

Основная ветвь функции Ламберта W используется в области машиностроения при изучении зависящего от времени переноса ньютоновских жидкостей между двумя резервуарами с различными уровнями свободной поверхности с использованием центробежных насосов. Функция Ламберта W обеспечила точное решение скорости потока жидкости как в ламинарном, так и в турбулентном режимах: $${\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}$$где $Q_{i}$ - начальный расход и $t$ это время.

Нейровизуализация

Функция Ламберта W используется в области нейровизуализации для связи изменений мозгового кровотока и потребления кислорода в вокселах мозга с соответствующим сигналом, зависящим от уровня оксигенации крови (жирным шрифтом).

Химическая инженерия

-функция Ламберта W используется в области химической технологии для моделирования толщины пористой электродной пленки в стеклоуглерода на основе суперконденсаторе для электрохимического хранения энергии. Функция Ламберта W обеспечивает точное решение для процесса термической активации в газовой фазе, когда рост углеродной пленки и горение той же пленки конкурируют друг с другом.

Рост кристаллов

При росте кристаллов отрицательный принцип W-функции Ламберта можно использовать для расчета коэффициента распределения: ${\textstyle k}$, а концентрация растворенного вещества в расплаве ${\textstyle C_{L}}$, из уравнения Шейля :

${\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}$

Материаловедение

Функция Ламберта W используется в области роста эпитаксиальных пленок для определения критической толщины пленки, в которой возникают дислокации . Это расчетная толщина эпитаксиальной пленки, при которой в соответствии с термодинамическими принципами в пленке образуются кристаллографические дислокации, чтобы минимизировать упругую энергию, запасенную в пленках. До применения Ламберта W для решения этой задачи критическая толщина должна была быть определена путем решения неявного уравнения. Ламберт В. превращает это в явное уравнение для удобной аналитической обработки.

Пористые среды

функция Ламберта W- использовалась в области течения жидкости в пористых средах для моделирования наклона границы раздела, разделяющей две гравитационно разделенные жидкости в однородном наклоненном пористом слое с постоянным наклоном и толщиной, где более тяжелая жидкость, впрыскиваемая в нижний конец, вытесняет жидкость для зажигалок, которая производится с той же скоростью из верхнего конца. Основная ветвь решения соответствует стабильным смещениям, тогда как ветвь -1 применяется, если перемещение неустойчиво, когда более тяжелая жидкость течет под более легкой жидкостью.

Числа Бернулли и род Тодда

Уравнение (связанное с производящими функциями чисел Бернулли и рода Тодда ):

$Y={\frac {X}{1-e^{X}}}$

можно решить с помощью двух вещественных ветвей W ₀ и W ₋₁ :

$X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}$

Это приложение показывает, что разность ветвей функции W можно использовать для решения других трансцендентных уравнений.

Статистика

Центроид набора гистограмм, определенного относительно симметризованной дивергенции Кульбака – Лейблера (также называемой дивергенцией Джеффриса). ) имеет замкнутую форму с использованием Ламберта W. функции

Объединение тестов на инфекционные заболевания

Для определения оптимального размера группы для объединения тестов, чтобы хотя бы один человек был инфицирован, используется W -функция Ламберта.

Точные решения уравнения Шредингера

Функция Ламберта W появляется в квантово-механическом потенциале, который дает пятое (после гармонического осциллятора плюс центробежного, кулоновского плюс обратного квадрата, потенциала Морса и обратного квадратного корня ) точное решение стационарной функции. размерное уравнение Шрёдингера в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Потенциал задается как

$V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.$

Особенность решения состоит в том, что каждое из двух фундаментальных решений, составляющих общее решение уравнения Шредингера, дается комбинацией двух конфлюэнтных гипергеометрических функций с аргументом, пропорциональным

$z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).$

Функция Ламберта W также появляется в точном решении для энергии связанного состояния одномерного уравнения Шредингера с двойным дельта-потенциалом .

Точное решение константы связи КХД

В квантовой хромодинамике , квантовой теории поля сильного взаимодействия , константа связи $\alpha _{\text{s}}$ вычисляется пертурбативно, причем порядок n соответствует диаграммам Фейнмана, включающим n квантовых петель. Решение первого порядка, n=1, является точным (в этом порядке) и аналитическим. При более высоких порядках, n>1, точного аналитического решения не существует, и обычно используется итерационный метод для получения приближенного решения . Однако для второго порядка, n=2, функция Ламберта обеспечивает точное (хотя и неаналитическое) решение.

Точные решения уравнений вакуума Эйнштейна

В метрическом решении Шварцшильда вакуумных уравнений Эйнштейна функция W необходима для перехода от координат Эддингтона – Финкельштейна к координатам Шварцшильда. По этой причине он также появляется при построении координат Крускала–Секереша .

Резонансы потенциала дельта-оболочки

S-волновые резонансы потенциала дельта-оболочки можно точно записать через W -функцию Ламберта.

Термодинамическое равновесие

Если в реакции участвуют реагенты и продукты, теплоемкости которых постоянны с температурой, то константа равновесия K подчиняется

$\ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T$

для некоторых констант a , b и c . Когда c (равный ⁠ Δ C _p / R ⁠ ) не равно нулю, значение или значения T можно найти, где K равно заданному значению следующим образом, где L можно использовать для ln T .

${\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}$

Если a и c имеют одинаковый знак, будет либо два решения, либо ни одного (или одно, если аргумент W точно равен — ⁠ 1 / е ⁠ ). (Верхнее решение может быть неактуальным.) Если они имеют противоположные знаки, то решение будет одно.

Фазовое разделение полимерных смесей

При расчете фазовой диаграммы термодинамически несовместимых полимерных смесей по модели Эдмонда-Огстона решения для бинодали и связующих линий формулируются в терминах W -функций Ламберта.

Закон смещения Вина в D -мерной вселенной

Закон смещения Вина выражается как $\nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const}$. С $x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T$ и $d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0$, где $\rho _{T}$ - спектральная плотность энергии энергии, можно найти $e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}$, где $D$ — число степеней свободы пространственного перемещения. Решение $x=D+W\left(-De^{-D}\right)$ показывает, что спектральная плотность энергии зависит от размерности Вселенной.

Переписка AdS/CFT

Классические поправки конечного размера к дисперсионным соотношениям гигантских магнонов , одиночных спайков и струн ГКП можно выразить через W -функцию Ламберта.

Эпидемиология

В t → ∞ пределе модели SIR доля восприимчивых и выздоровевших людей имеет решение в терминах W- функции Ламберта.

Определение времени полета снаряда

Общее время полета снаряда, испытывающего сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости, можно в точной форме определить функции Ламберта с помощью W- .

Распространение электромагнитных поверхностных волн

Трансцендентное уравнение, возникающее при определении волнового числа распространения электромагнитной аксиально-симметричной поверхностной волны (одиночной моды ТМ01 с низким затуханием), распространяющейся в цилиндрической металлической проволоке, приводит к уравнению вида u ln u = v (где u и v объединяют геометрические и физические факторы задачи), которая решается W- функцией Ламберта. Первое решение этой проблемы, предложенное Зоммерфельдом примерно в 1898 году, уже содержало итерационный метод определения значения W- функции Ламберта.

Ортогональные траектории реальных эллипсов

Семейство эллипсов $x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}$ сосредоточено в $(0,0)$ параметризуется эксцентриситетом $\varepsilon$. Ортогональные траектории этого семейства задаются дифференциальным уравнением $\left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx$ общим решением которого является семейство $y^{2}=$$W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))$.

Обобщения

Стандартная функция Ламберта W выражает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений (от x ) вида:

$$e^{-cx}=a_{0}(x-r)$$ ( 1 )

где a ₀ , c и r — действительные константы. Решение $$x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).$$ Ламберта W Обобщения функции включать:

• Приложение к общей теории относительности и квантовой механике ( квантовой гравитации ) в более низких измерениях, фактически ссылка (неизвестная до 2007 г.) ) между этими двумя областями, где правая часть ( 1 ) заменяется квадратичным полиномом по x :
  $$e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),$$ ( 2 )

  где r ₁ и r ₂ — вещественные различные константы, корни квадратного многочлена. Здесь решением является функция, которая имеет один аргумент x, но такие термины, как r _i и a _0, являются параметрами этой функции. В этом отношении обобщение напоминает гипергеометрическую функцию и Мейера G- функцию , но принадлежит другому классу функций. Когда r ₁ = r ₂ , обе части ( 2 ) можно разложить на множители и свести к ( 1 ), и, таким образом, решение сводится к решению стандартной W. функции Уравнение ( 2 ) выражает уравнение, управляющее дилатонным полем, из которого выводится метрика R = T или линейной задачи гравитации двух тел в 1 + 1 измерениях (одно пространственное измерение и одно временное измерение) для случая неравного покоя массы, а также собственные энергии квантовомеханической модели дельта-функции Дирака с двойной ямой для неравных зарядов в одном измерении.

• Аналитические решения собственных энергий частного случая квантовомеханической задачи трех тел , а именно (трехмерной) молекулы-иона водорода . Здесь правая часть ( 1 ) заменяется отношением полиномов бесконечного порядка по x :
  $$e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}$$ ( 3 )

  где r _i и s _i — различные действительные константы, а — функция собственной энергии и межъядерного расстояния R. x Уравнение ( 3 ) с его частными случаями, выраженными в ( 1 ) и ( 2 ), относится к большому классу дифференциальных уравнений с запаздыванием . Понятие Г.Х. Харди о «ложной производной» обеспечивает точные кратные корни для особых случаев ( 3 ).

Приложения W- функции Ламберта в фундаментальных физических задачах не исчерпываются даже для стандартного случая, выражаемого формулой ( 1 ), наблюдаемого в последнее время в области атомной, молекулярной и оптической физики .

Участки

• Графики функции Ламберта W на комплексной плоскости
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  г = | W ₀ ( Икс + iy ) |
• 
  Наложение предыдущих трех графиков

Численная оценка

Функция W может быть аппроксимирована с использованием метода Ньютона с последовательными приближениями к w = W ( z ) (так что z = мы ^В ) существование

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.$

Функция W также может быть аппроксимирована методом Галлея :

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}$

приведено в Corless et al. вычислить Вт .

Серьезно $x\geq -1/e$, его можно аппроксимировать рекурсивной формулой квадратичной скорости Р. Яконо и Дж. П. Бойда:

$w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).$

Протестировано Лайошем Лоци что, используя эту итерацию с соответствующим начальным значением $w_{0}(x)$,

• Для основного филиала $W_{0}:$
  • если $x\in (e,\infty )$: $w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),$
  • если $x\in (0,e):$ $w_{0}(x)=x/e,$
  • если $x\in (-1/e,0):$ $w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},$
• Для филиала $W_{-1}:$
  • если $x\in (-1/4,0):$ $w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),$
  • если $x\in (-1/e,-1/4]:$ $w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},$

можно заранее определить максимальное количество шагов итерации для любой точности:

• если $x\in (e,\infty )$ (теорема 2.4): $0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},$
• если $x\in (0,e)$ (теорема 2.9): $0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},$
• если $x\in (-1/e,0):$
  • для основного филиала $W_{0}$ (теорема 2.17): $0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},$
  • для филиала $W_{-1}$(теорема 2.23): $0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.$

Программное обеспечение

Функция Ламберта W реализуется как LambertW в Мэйпл, lambertw у врача общей практики (и glambertW в ЧЕТНОМ ), lambertw в Матлабе , также lambertw в Октаве с specfun пакет, как lambert_w в Максиме, как ProductLog (с молчаливым псевдонимом LambertW) в Математике , как lambertw в Python scipy , пакете специальных функций как LambertW в Перле ntheory модуль, и как gsl_sf_lambert_W0, gsl_sf_lambert_Wm1 функции в специальных функций разделе Научной библиотеки GNU (GSL). В библиотеках Boost C++ вызовы lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_prime, и lambert_wm1_prime. В R функция Ламберта W реализована как lambertW0 и lambertWm1 функции в lamW упаковка.

Код C++ для всех ветвей сложной функции Ламберта W доступен на домашней странице Иштвана Мезё.

См. также

• Омега-функция Райта
• Ламберта Трехчленное уравнение
• Теорема обращения Лагранжа
• Экспериментальная математика
• Метод Гольштейна – Херринга
• R = T Модель
• Росса Пи- лемма

Ссылки

• Корлесс, Р.; Гонне, Г.; Заяц, Д.; Джеффри, Д.; Кнут, Дональд (1996). «О функции Ламберта W » (PDF) . Достижения в области вычислительной математики . 5 : 329–359. дои : 10.1007/BF02124750 . ISSN   1019-7168 . S2CID   29028411 . Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 г. Проверено 10 марта 2007 г.
• Шапо-Блондо, Ф.; Монир, А. (2002). «Оценка функции Ламберта W и ее применение к генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2» (PDF) . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 50 (9). дои : 10.1109/TSP.2002.801912 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012 г. Проверено 10 марта 2004 г.
• Фрэнсис; и др. (2000). «Количественная общая теория периодического дыхания». Тираж . 102 (18): 2214–21. CiteSeerX   10.1.1.505.7194 . дои : 10.1161/01.cir.102.18.2214 . ПМИД   11056095 . S2CID   14410926 . (Функция Ламберта используется для решения дифференциально-замедленной динамики при заболеваниях человека.)
• Хейс, Б. (2005). «Почему W ?» (PDF) . Американский учёный . 93 (2): 104–108. дои : 10.1511/2005.2.104 . Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
• Рой, Р.; Олвер, FWJ (2010), « Ламберта W Функция » , в Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Стюарт, Шон М. (2005). «Новая элементарная функция для наших учебных программ?» (PDF) . Австралийский журнал для старших математиков . 19 (2): 8–26. ISSN   0819-4564 . Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
• Веберик Д., «Развлекаемся с функцией Ламберта W ( x )» arXiv:1003.1628 (2010) ; Веберик, Д. (2012). «Функция Ламберта W для приложений в физике». Компьютерная физика. Коммуникации . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Бибкод : 2012CoPhC.183.2622V . дои : 10.1016/j.cpc.2012.07.008 . S2CID   315088 .
• Хацигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение к анализу сбоев взаимодействия пользователей». Коммуникационные письма IEEE . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . дои : 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972 . S2CID   10062685 .

Внешние ссылки

• Цифровая библиотека Национального института науки и технологий - Ламберт В.
• MathWorld – W -функция Ламберта
• Ламберта W Вычисление функции
• Корлесс и др. Заметки об Ламберта В. исследованиях
• GPL Реализация C++ с итерацией Галлея и Фрича.
• Специальные функции Научной библиотеки GNU – GSL
• [3]