Экспериментальная математика

Экспериментальная математика — это подход к математике , в котором вычисления используются для исследования математических объектов и выявления свойств и закономерностей. ^[1] Она была определена как «та отрасль математики, которая в конечном итоге занимается кодификацией и передачей идей внутри математического сообщества посредством использования экспериментального (в галилеевском, бэконовском, аристотелевском или кантианском смысле) исследования гипотез и более неформальных убеждений. и тщательный анализ данных, полученных в ходе этого исследования». ^[2]

Как выразился Пол Халмос : «Математика — не дедуктивная наука — это клише. Когда вы пытаетесь доказать теорему, вы не просто перечисляете гипотезы , а затем начинаете рассуждать. То, что вы делаете, — это метод проб и ошибок , экспериментирование» . Вы хотите выяснить, каковы факты, и то, что вы делаете, в этом отношении похоже на то, что делает лаборант». ^[3]

История [ править ]

Математики всегда занимались экспериментальной математикой. Существующие записи ранней математики, такие как вавилонская математика , обычно состоят из списков числовых примеров, иллюстрирующих алгебраические тождества. Однако в современной математике, начиная с 17 века, сложилась традиция публиковать результаты в окончательном, формальном и абстрактном виде. Численные примеры, которые могли побудить математика первоначально сформулировать общую теорему, не публиковались и обычно были забыты.

Экспериментальная математика как отдельная область исследований вновь возникла в двадцатом веке, когда изобретение электронного компьютера значительно расширило диапазон возможных вычислений со скоростью и точностью, намного превосходящими все, что было доступно предыдущим поколениям математиков. Важной вехой и достижением экспериментальной математики стало открытие в 1995 году формулы Бейли-Борвейна-Плуффа для двоичных цифр числа π . Эта формула была открыта не путем формальных рассуждений, а вместо этогопутем числового поиска на компьютере; только впоследствии было найдено строгое доказательство . ^[4]

Цели и использование [ править ]

Цели экспериментальной математики - «создать понимание и понимание; создать и подтвердить или опровергнуть гипотезы; и в целом сделать математику более осязаемой, живой и интересной как для профессионального исследователя, так и для новичка». ^[5]

Использование экспериментальной математики было определено следующим образом: ^[6]

Приобретение проницательности и интуиции.
Открытие новых закономерностей и связей.
Использование графических изображений для предложения основных математических принципов.
Проверка и особенно фальсификация догадок.
Изучение возможного результата, чтобы увидеть, стоит ли его формального доказательства.
Предложение подходов к формальному доказательству.
Замена длинных ручных выводов компьютерными выводами.
Подтверждение результатов, полученных аналитическим путем.

Инструменты и методы [ править ]

Экспериментальная математика использует численные методы для вычисления приближенных значений интегралов и бесконечных рядов . арифметика произвольной точности Для установления этих значений с высокой степенью точности часто используется — обычно 100 значащих цифр или более. Алгоритмы целочисленных отношений затем используются для поиска отношений между этими значениями и математическими константами . Работа со значениями высокой точности снижает вероятность ошибочного принятия математического совпадения за истинное соотношение. Затем будет искаться формальное доказательство предполагаемого отношения – часто легче найти формальное доказательство, если известна форма предполагаемого отношения.

Если ищется контрпример широкомасштабного доказательства методом исчерпывания или предпринимается попытка , можно использовать методы распределенных вычислений для разделения вычислений между несколькими компьютерами.

Часто используется общее математическое программное обеспечение или специализированное программное обеспечение, написанное для решения проблем, требующих высокой эффективности. Программное обеспечение для экспериментальной математики обычно включает в себя механизмы обнаружения и исправления ошибок , проверки целостности и избыточные вычисления, предназначенные для минимизации возможности признания результатов недействительными из-за аппаратной или программной ошибки.

Приложения и примеры [ править ]

Приложения и примеры экспериментальной математики включают:

В поисках контрпримера к гипотезе
- Роджер Фрай использовал методы экспериментальной математики, чтобы найти наименьший контрпример к гипотезе Эйлера о сумме степеней .
- Проект ZetaGrid был создан для поиска контрпримера гипотезе Римана .
- Томас Оливейра и Силва ^[7] искал контрпример к гипотезе Коллатца .
Поиск новых примеров чисел или объектов с определенными свойствами.
- Большой интернет-поиск простых чисел Мерсенна ищет новые простые числа Мерсенна .
- Охота за Великим периодическим путем ищет новые периодические пути.
- Проект OGR компании Distributed.net проводил поиск оптимальных линеек Голомба .
- Проект PrimeGrid ищет наименьшие числа Ризеля и Серпинского .
Нахождение случайных числовых закономерностей
- Эдвард Лоренц нашел аттрактор Лоренца , ранний пример хаотической динамической системы , исследуя аномальное поведение в числовой модели погоды.
- Спираль Улама была открыта случайно.
- Закономерность в числах Улама была обнаружена случайно.
- Митчеллом Фейгенбаумом Открытие постоянной Фейгенбаума первоначально было основано на численных наблюдениях, за которыми последовало строгое доказательство.
Использование компьютерных программ для проверки большого, но конечного числа случаев для завершения компьютерного доказательства методом исчерпывания.
- Томасом Хейлсом Доказательство гипотезы Кеплера .
- Различные доказательства теоремы о четырёх цветах .
- Доказательство Клемента Лама несуществования конечной проективной плоскости порядка 10. ^[8]
- Гэри Макгуайр доказал, что для однозначного решения судоку требуется 17 подсказок. ^[9]
Символическая проверка (с помощью компьютерной алгебры ) гипотез для мотивации поиска аналитического доказательства.
- Решения частного случая квантовой задачи трех тел, известного как молекула-ион водорода, были найдены в стандартных базисных наборах квантовой химии, прежде чем стало понятно, что все они приводят к одному и тому же уникальному аналитическому решению в терминах обобщения Ламберта W-функции . С этой работой связано выделение ранее неизвестной связи между теорией гравитации и квантовой механикой в более низких измерениях (см. квантовую гравитацию и ссылки в ней).
- В области релятивистской механики многих тел , а именно, симметричной во времени теории поглотителя Уиллера-Фейнмана эквивалентность между усовершенствованным потенциалом Льенара-Вихерта частицы j , действующего на частицу i, и соответствующим потенциалом для частицы i, действующего на частицу j. : была продемонстрирована исчерпывающе на заказ $1/c^{10}$ прежде чем быть доказанным математически. Теория Уилера-Фейнмана вновь обрела интерес из-за квантовой нелокальности .
- В области линейной оптики проверка разложения в ряд огибающей электрического поля для сверхкоротких световых импульсов, распространяющихся в неизотропных средах . Предыдущие расширения были неполными: в результате был обнаружен дополнительный термин, подтвержденный экспериментом.
Оценка бесконечных рядов , бесконечных произведений и интегралов (см. также символическое интегрирование ), как правило, путем выполнения высокоточных численных вычислений, а затем с использованием алгоритма целочисленных отношений (например, обратного символьного калькулятора ) для нахождения линейной комбинации математических констант, которые соответствует этому значению. Например, следующая личность была заново открыта Энрико Ау-Юнгом, учеником Джонатана Борвейна, с помощью компьютерного поиска и алгоритма PSLQ в 1993 году: ^[10]^[11]

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}.\end{aligned}}

Визуальные исследования
- В «Жемчужинах Индры » Дэвид Мамфорд и другие исследовали различные свойства преобразования Мёбиуса и группы Шоттки, используя компьютерные изображения групп , которые: предоставили убедительные доказательства для многих гипотез и привлекли к дальнейшим исследованиям . ^[12]

Правдоподобные, примеры ложные но

Некоторые правдоподобные соотношения имеют высокую степень точности, но все же не соответствуют действительности. Один из примеров:

\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.

Две стороны этого выражения фактически различаются после 42-го знака после запятой. ^[13]

Другой пример: максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех факторов x ^н − 1 кажется таким же, как высота n -го кругового многочлена . Компьютер показал, что это верно для n < 10000 и ожидалось, что это будет верно для всех n . Однако более крупный компьютерный поиск показал, что это равенство не выполняется для n = 14235, когда высота n- го кругового многочлена равна 2, но максимальная высота множителей равна 3. ^[14]

Практикующие [ править ]

Следующие математики и компьютерщики внесли значительный вклад в область экспериментальной математики:

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Экспериментальная математика» . Математический мир .
^ Экспериментальная математика: обсуждение, заархивированное 21 января 2008 г. в Wayback Machine Дж. Борвейном, П. Борвейном, Р. Гиргенсоном и С. Парнсом.
^ Я хочу быть математиком: автоматография (1985), с. 321 (в переиздании 2013 г.)
^ В поисках Пи. Архивировано 27 сентября 2011 г. в Wayback Machine Дэвидом Х. Бэйли , Джонатаном М. Борвейном , Питером Б. Борвейном и Саймоном Плуффом .
^ Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика посредством эксперимента: правдоподобные рассуждения в XXI веке . АК Петерс. стр. VII. ISBN 978-1-56881-211-3 .
^ Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика посредством эксперимента: правдоподобные рассуждения в XXI веке . АК Петерс. п. 2. ISBN 978-1-56881-211-3 .
^ Сильва, Томас (28 декабря 2015 г.). «Вычислительная проверка гипотезы 3x+1» . Институт электроники и информатики Авейру . Архивировано из оригинала 18 марта 2013 года.
^ Клемент В.Х. Лам (1991). «Поиски конечной проективной плоскости порядка 10» . Американский математический ежемесячник . 98 (4): 305–318. дои : 10.2307/2323798 . JSTOR 2323798 .
^ arXiv, Новые технологии. «Математики решают минимальную задачу судоку» . Обзор технологий Массачусетского технологического института . Проверено 27 ноября 2017 г.
^ Бейли, Дэвид (1997). «Новые математические формулы, открытые с помощью суперкомпьютеров» (PDF) . Новости НАН . 2 (24).
^ HF Sandham и Мартин Кнезер, Американский математический ежемесячник, Сложная задача 4305, Vol. 57, № 4 (апрель 1950 г.), стр. 267-268.
^ Мамфорд, Дэвид; Серия, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002). Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна . Кембридж. стр. VIII. ISBN 978-0-521-35253-6 .
^ Дэвид Х. Бейли и Джонатан М. Борвейн, Будущие перспективы компьютерной математики. Архивировано 20 июля 2011 г. в Wayback Machine , декабрь 2005 г.
^ Высота Φ ₄₇₄₅ равна 3, а 14235 = 3 x 4745. См. последовательности Слоана OEIS : A137979 и OEIS : A160338 .

Внешние ссылки [ править ]

Экспериментальная математика (Журнал)
Центр экспериментальной и конструктивной математики (CECM) Университета Саймона Фрейзера
Совместная группа по исследованиям в области математического образования в Саутгемптонском университете
Распознавание числовых констант Дэвид Х. Бэйли и Саймон Плуфф
Психология экспериментальной математики
Веб-сайт экспериментальной математики (ссылки и ресурсы)
Веб-сайт «Охота за Великим периодическим путем» (ссылки и ресурсы)
Алгоритм на века: PSLQ, лучший способ найти целочисленные отношения (альтернативная ссылка, заархивировано 13 февраля 2021 г. на Wayback Machine )
Экспериментальная алгоритмическая теория информации
Примеры задач экспериментальной математики Дэвида Х. Бэйли и Джонатана М. Борвейна
Десять задач по экспериментальной математике. Архивировано 10 июня 2011 г. в Wayback Machine Дэвидом Х. Бэйли , Джонатаном М. Борвейном , Вишаалом Капуром и Эриком В. Вайсштейном.
Институт экспериментальной математики. Архивировано 10 февраля 2015 г. в Wayback Machine в Университете Дуйсбург-Эссен.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Экспериментальная математика» . Математический мир .

[2] Экспериментальная математика: обсуждение, заархивированное 21 января 2008 г. в Wayback Machine Дж. Борвейном, П. Борвейном, Р. Гиргенсоном и С. Парнсом.

[3] Я хочу быть математиком: автоматография (1985), с. 321 (в переиздании 2013 г.)

[4] В поисках Пи. Архивировано 27 сентября 2011 г. в Wayback Machine Дэвидом Х. Бэйли , Джонатаном М. Борвейном , Питером Б. Борвейном и Саймоном Плуффом .

[5] Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика посредством эксперимента: правдоподобные рассуждения в XXI веке . АК Петерс. стр. VII. ISBN 978-1-56881-211-3 .

[6] Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика посредством эксперимента: правдоподобные рассуждения в XXI веке . АК Петерс. п. 2. ISBN 978-1-56881-211-3 .

[7] Сильва, Томас (28 декабря 2015 г.). «Вычислительная проверка гипотезы 3x+1» . Институт электроники и информатики Авейру . Архивировано из оригинала 18 марта 2013 года.

[8] Клемент В.Х. Лам (1991). «Поиски конечной проективной плоскости порядка 10» . Американский математический ежемесячник . 98 (4): 305–318. дои : 10.2307/2323798 . JSTOR 2323798 .

[9] rXiv, Новые технологии. «Математики решают минимальную задачу судоку» . Обзор технологий Массачусетского технологического института . Проверено 27 ноября 2017 г.

[10] Бейли, Дэвид (1997). «Новые математические формулы, открытые с помощью суперкомпьютеров» (PDF) . Новости НАН . 2 (24).

[11] HF Sandham и Мартин Кнезер, Американский математический ежемесячник, Сложная задача 4305, Vol. 57, № 4 (апрель 1950 г.), стр. 267-268.

[12] Мамфорд, Дэвид; Серия, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002). Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна . Кембридж. стр. VIII. ISBN 978-0-521-35253-6 .

[bailey-13] Дэвид Х. Бейли и Джонатан М. Борвейн, Будущие перспективы компьютерной математики. Архивировано 20 июля 2011 г. в Wayback Machine , декабрь 2005 г.

[14] Высота Φ ₄₇₄₅ равна 3, а 14235 = 3 x 4745. См. последовательности Слоана OEIS : A137979 и OEIS : A160338 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]