Интеграл Борвейна

В математике интеграл Борвейна — это интеграл , необычные свойства которого были впервые представлены математиками Дэвидом Борвейном и Джонатаном Борвейном в 2001 году. Интегралы Борвейна включают в себя произведения $\operatorname {sinc} (ax)$, где функция sinc определяется выражением $\operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x$ для $x$ не равно 0, и $\operatorname {sinc} (0)=1$.

Эти интегралы замечательны тем, что демонстрируют очевидные закономерности, которые в конечном итоге разрушаются. Ниже приведен пример.

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

Эта закономерность продолжается до

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

На следующем шаге шаблон терпит неудачу,

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

В общем случае подобные интегралы имеют значение π / 2 всякий раз, когда числа 3, 5, 7… заменяются положительными действительными числами, сумма обратных чисел которых меньше 1.

В приведенном выше примере 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1/13 < 1 , но 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1/15 > 1 .

С учетом дополнительного фактора $2\cos(x)$, закономерность сохраняется в течение более длинных серий,

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$

но

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.$

В этом случае, 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1/111 < 2 , но 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1/113 ​ 2 > . Точный ответ можно рассчитать, используя общую формулу, приведенную в следующем разделе, и ее представление показано ниже. В развернутом виде это значение превращается в дробь, состоящую из двух целых чисел по 2736 цифр.

${\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {3\cdot 5\cdots 113\cdot (1/3+1/5+\dots +1/113-2)^{56}}{2^{55}\cdot 56!}}\right)$

Причина распада исходного и расширенного рядов была продемонстрирована с помощью интуитивного математического объяснения. В частности, переформулировка случайного блуждания с аргументом причинности проливает свет на нарушение закономерностей и открывает путь для ряда обобщений.

Общая формула

Учитывая последовательность ненулевых действительных чисел, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, общая формула для интеграла

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx$

можно дать. Чтобы сформулировать формулу, нужно будет рассмотреть суммы, включающие $a_{k}$. В частности, если $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ это $n$-tuple, где находится каждая запись $\pm 1$, тогда пишем $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$, который представляет собой своего рода попеременную сумму первых нескольких $a_{k}$, и мы установили $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$, что либо $\pm 1$. В этих обозначениях значение приведенного выше интеграла равно

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}$

где

$C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })$

В случае, когда $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$, у нас есть $C_{n}=1$.

Кроме того, если существует $n$ такой, что для каждого $k=0,\ldots ,n-1$ у нас есть $0<a_{n}<2a_{k}$ и $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$, а это значит, что $n$ является первым значением, когда частичная сумма первого $n$ элементы последовательности превышают $a_{0}$, затем $C_{k}=1$ для каждого $k=0,\ldots ,n-1$ но

$C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$

Первый пример – это случай, когда $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$.

Обратите внимание, что если $n=7$ затем $a_{7}={\frac {1}{15}}$ и ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$ но ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$, так потому что $a_{0}=1$, мы поняли это

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

что останется верным, если мы удалим какой-либо из продуктов, но это

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}$

что равно значению, указанному ранее.

/* This is a sample program to demonstrate for Computer Algebra System "maxima". */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do (
  print("f(", n, ")=", f(n) ),
  print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf)) );

/* This is also sample program of another problem. */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n)); g(n) := 2*cos(x) * f(n);
for n from 1 thru 19 step 2 do (
  print("g(", n, ")=", g(n) ),
  print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(g(n), x, 0, inf)) );

решения

Здесь обсуждается точный метод интегрирования, эффективный для вычисления интегралов типа Борвейна. Этот метод интегрирования работает путем переформулирования интегрирования в терминах серии дифференцирований и дает интуитивное представление о необычном поведении интегралов Борвейна. Метод интегрирования путем дифференцирования применим к общим интегралам, включая преобразования Фурье и Лапласа. Он используется в механизме интеграции Maple с 2019 года. Метод интеграции путем дифференцирования не зависит от метода Фейнмана, который также использует дифференцирование для интеграции.

Бесконечные продукты

В то время как интеграл

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\end{aligned}}$

становится меньше, чем ${\frac {\pi }{2}}$ когда $n$ превышает 6, оно никогда не становится намного меньше, и фактически Борвейн и Бейли показали

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-0.0000352\end{aligned}}$

где мы можем вывести предел из интеграла благодаря теореме о доминируемой сходимости . Аналогично, в то время как

$\int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx$

становится меньше, чем ${\frac {\pi }{2}}$ когда $n$ превышает 55, мы имеем

$\int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.9629\cdot 10^{-42}$

Кроме того, используя факторизации Вейерштрасса

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\qquad \cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right)$

можно показать

$\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2x/(2n+1))}{2x/(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)$

и с заменой переменных получим

$\int _{0}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{4}}-0.0000176$

и

$\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\cos(x)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}$

формулировка

Шмуланд дал привлекательные вероятностные формулировки интегралов Борвейна с бесконечным произведением. Например, рассмотрим случайный гармонический ряд

$\pm 1\pm {\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{3}}\pm {\frac {1}{4}}\pm {\frac {1}{5}}\pm \cdots$

где нужно подбрасывать независимые честные монеты, чтобы выбрать знаки. Этот ряд сходится почти наверняка , то есть с вероятностью 1. Функция плотности вероятности результата является четко определенной функцией, и значение этой функции при 2 близко к 1/8. Однако это ближе к

$0.124999999999999999999999999999999999999999764\ldots$

Объяснение Шмуланда состоит в том, что эта величина равна $1/\pi$ раз

$\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Бесконечный интеграл косинусного произведения» . Математический мир . Проверено 10 января 2023 г.