Полная производная

Не путать с полным дифференциалом или полной производной (механика жидкости) .

В математике полная производная функции f в точке — это наилучшее линейное приближение вблизи этой точки функции по ее аргументам. В отличие от частных производных , полная производная аппроксимирует функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда f является функцией нескольких переменных, потому что, когда f является функцией одной переменной, полная производная такая же, как и обычная производная функции.

Полная производная как линейное отображение

Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ быть открытым подмножеством . Тогда функция $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ называется ( полностью ) дифференцируемым в точке $a\in U$ если существует линейное преобразование $df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такой, что

$\lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.$

Линейная карта $df_{a}$ называется ( полной ) производной или полным ) дифференциалом ( $f$ в $a$. Другие обозначения полной производной включают $D_{a}f$ и $Df(a)$. Функция является ( полностью ) дифференцируемой , если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения.

Концептуально определение полной производной выражает идею о том, что $df_{a}$ является лучшим линейным приближением к $f$ в точку $a$. Это можно уточнить, определив количественно ошибку в линейном приближении, определяемую формулой $df_{a}$. Для этого напишите

$f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),$

где $\varepsilon (h)$ равна ошибке аппроксимации. Сказать, что производная $f$ в $a$ является $df_{a}$ эквивалентно утверждению

$\varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),$

где $o$ представляет собой обозначение «маленькое о» и указывает, что $\varepsilon (h)$ намного меньше, чем $\lVert h\rVert$ как $h\to 0$. Полная производная $df_{a}$ — это единственное линейное преобразование, для которого член ошибки настолько мал, и в этом смысле оно является лучшим линейным приближением к $f$.

Функция $f$ дифференцируема тогда и только тогда, когда каждая из ее компонент $f_{i}\colon U\to \mathbb {R}$ дифференцируема, поэтому при изучении полных производных часто можно работать по одной координате в кодомене. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Это правда, что если $f$ дифференцируема в $a$, то каждая частная производная $\partial f/\partial x_{i}$ существует в $a$. Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные $f$ в $a$ существуют, но $f$ не дифференцируема при $a$. Это означает, что функция очень «грубая» при $a$, до такой степени, что его поведение не может быть адекватно описано его поведением в координатных направлениях. Когда $f$ не так уж и грубо, такого не может быть. Точнее, если все частные производные $f$ в $a$ существуют и непрерывны в окрестности $a$, затем $f$ дифференцируема в $a$. Когда это происходит, то, кроме того, полная производная от $f$ — линейное преобразование, соответствующее матрице Якоби частных производных в этой точке.

Полная производная как дифференциальная форма

Когда рассматриваемая функция имеет действительное значение, полную производную можно преобразовать с использованием дифференциальных форм . Например, предположим, что $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является дифференцируемой функцией переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Полная производная от $f$ в $a$ может быть записана в терминах матрицы Якобиана, которая в данном случае представляет собой матрицу-строку:

$Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.$

Свойство линейной аппроксимации полной производной означает, что если

$\Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$

небольшой вектор (где ${\mathsf {T}}$ обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектор-столбцом), тогда

$f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.$

Эвристически это означает, что если $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ являются бесконечно малыми приращениями в координатных направлениях, то

$df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.$

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь носит чисто символический характер, может быть снабжено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальных форм , эффективно дают аналитические и алгебраические описания объектов, таких как бесконечно малые приращения, $dx_{i}$. Например, $dx_{i}$ можно вписать как линейный функционал в векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$. Оценка $dx_{i}$ по вектору $h$ в $\mathbb {R} ^{n}$ измеряет, насколько $h$ точки в $i$координатное направление. Полная производная $df_{a}$ представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сам является линейным функционалом. Оценка $df_{a}(h)$ измеряет, насколько $f$ точки в направлении, определенном $h$ в $a$, и это направление является градиентом . Эта точка зрения делает полную производную экземпляром внешней производной .

Предположим теперь, что $f$ является векторной функцией, то есть $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$. В этом случае компоненты $f_{i}$ из $f$ являются вещественными функциями, поэтому им соответствуют дифференциальные формы $df_{i}$. Полная производная $df$ объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторнозначной дифференциальной формы .

Цепное правило для полных деривативов

Основная статья: Правило цепочки

Цепное правило имеет особенно элегантное выражение в терминах полных производных. Он говорит, что для двух функций $f$ и $g$, полная производная сложной функции $f\circ g$ в $a$ удовлетворяет

$d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.$

Если полные производные $f$ и $g$ отождествляются со своими матрицами Якоби, то композиция в правой части представляет собой простое умножение матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.

Пример: Дифференциация с прямыми зависимостями

Предположим, что f — функция двух переменных, x и y . Если эти две переменные независимы, так что область определения f равна $\mathbb {R} ^{2}$, то поведение f можно понять с точки зрения ее частных производных по направлениям x и y . Однако в некоторых ситуациях x и y могут быть зависимыми. Например, может случиться так, что f ограничено кривой $y=y(x)$. В данном случае нас на самом деле интересует поведение сложной функции $f(x,y(x))$. Частная производная f по x не дает истинной скорости изменения f по отношению к изменению x, поскольку изменение x обязательно меняет y . Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Писать $\gamma (x)=(x,y(x))$. Тогда правило цепочки гласит:

$d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.$

Выразив полную производную с помощью матриц Якоби, получим:

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).$

Подавление оценки на $x_{0}$ для наглядности мы можем также написать это как

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.$

Это дает простую формулу для производной $f(x,y(x))$ в терминах частных производных $f$ и производная от $y(x)$.

Например, предположим

$f(x,y)=xy.$

Скорость изменения f по отношению к x обычно является частной производной f по x ; в этом случае,

${\frac {\partial f}{\partial x}}=y.$

Однако, если y зависит от x , частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x, поскольку частная производная предполагает, что y фиксирован. Предположим, мы ограничены линией

$y=x.$

Затем

$f(x,y)=f(x,x)=x^{2},$

а полная производная f по x равна

${\frac {df}{dx}}=2x,$

который, как мы видим, не равен частной производной $\partial f/\partial x$. Однако вместо того, чтобы сразу заменять y на x , мы также можем использовать правило цепочки, как указано выше:

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.$

Пример: Дифференциация с помощью косвенных зависимостей

Хотя часто можно выполнить замены для устранения косвенных зависимостей, правило цепочки обеспечивает более эффективный и общий метод. Предполагать $L(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ является функцией времени $t$ и $n$ переменные $x_{i}$ которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени $L$ является

${\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.$

Цепное правило выражает эту производную через частные производные $L$ и производные по времени функций $x_{i}$:

${\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).$

Это выражение часто используется в физике для калибровочного преобразования лагранжиана как двух лагранжианов , которые отличаются только полной производной по времени функции времени и $n$ обобщенные координаты приводят к тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности в отношении симметричной во времени теории Уилера-Фейнмана . Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по отношению к $t$).

Например, полная производная от $f(x(t),y(t))$ является

${\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.$

Здесь нет $\partial f/\partial t$ срок с $f$ сам по себе не зависит от независимой переменной $t$ напрямую.

Полное дифференциальное уравнение

Основная статья: Полное дифференциальное уравнение

Полное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, выраженное через полные производные. Поскольку внешняя производная не имеет координат, в том смысле, что этому можно придать технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими .

Приложение к системам уравнений

В экономике общая производная обычно возникает в контексте системы уравнений. Например, простая система спроса-предложения может определять количество q требуемого продукта как функцию D от его цены p и дохода потребителей I , причем последний является экзогенной переменной , и может определять количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и две экзогенные переменные стоимости ресурса r и w . Полученная система уравнений

$q=D(p,I),$

$q=S(p,r,w),$

определяет рыночное равновесное значение переменных p и q . Полная производная $dp/dr$ Например, соотношение p по отношению к r дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r . В указанной системе всего существует шесть возможных полных производных, также известных в данном контексте как сравнительные статические производные : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw и dq / dI . Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления, скажем, на dr , рассмотрения dq / dr и dp / dr как неизвестных, установки dI = dw = 0 и решения двух полностью дифференцированных уравнений одновременно, обычно с помощью используя правило Крамера .

См. также

• Производная по направлению – мгновенная скорость изменения функции.
• Производная Фреше - производная, определенная в нормированных пространствах - обобщение полной производной.
• Производная Гато - обобщение концепции производной по направлению.
• Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Градиент # Полная производная - Многомерная производная (математика)

Ссылки

• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN   1-58488-297-2
• С сайта thesaurus.maths.org полная производная.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полная производная» . Математический мир .
• Рональд Д. Криц (2007) Представление полных производных скалярных функций двух измерений с использованием выпуклых поверхностей и касательных плоскостей от Технологического института Вирджинии.