Классические ортогональные полиномы

В математике ортогональные полиномы классические ортогональные наиболее широко используются полиномы : полиномы Эрмита , полиномы Лагерра , полиномы Якоби (включая в качестве частного случая полиномы Гегенбауэра , полиномы Чебышева и полиномы Лежандра) . ).

Они имеют множество важных приложений в таких областях, как математическая физика (в частности, теория случайных матриц ), теория приближений , численный анализ и многие другие.

Классические ортогональные полиномы появились в начале 19 века в работах Адриана-Мари Лежандра , который ввёл полиномы Лежандра. В конце 19 века исследования цепных дробей для решения проблемы моментов П. Л. Чебышевым , а затем А. А. Марковым и Т. Дж. Стилтьесом привели к общему понятию ортогональных многочленов.

Для заданных полиномов $Q,L:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ и $\forall \,n\in \mathbb {N} _{0}$ классические ортогональные полиномы $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ характеризуются тем, что являются решениями дифференциального уравнения

$Q(x)\,f_{n}^{\prime \prime }+L(x)\,f_{n}^{\prime }+\lambda _{n}f_{n}=0$

с подлежащими определению константами $\lambda _{n}\in \mathbb {R}$.

Существует несколько более общих определений ортогональных классических многочленов; например, Эндрюс и Аски (1985) используют этот термин для всех полиномов в схеме Аски .

Определение

В общем случае ортогональные полиномы $P_{n}$ относительно веса $W:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ удовлетворить

${\begin{aligned}&\deg P_{n}=n~,\quad n=0,1,2,\ldots \\&\int P_{m}(x)\,P_{n}(x)\,W(x)\,dx=0~,\quad m\neq n~.\end{aligned}}$

Вышеуказанные отношения определяют $P_{n}$ вплоть до умножения на число. Для фиксации константы используются различные нормализации, например

$\int P_{n}(x)^{2}W(x)\,dx=1~.$

Классические ортогональные полиномы соответствуют следующим трем семействам весов:

${\begin{aligned}{\text{(Jacobi)}}\quad &W(x)={\begin{cases}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }~,&-1\leq x\leq 1\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\{\text{(Hermite)}}\quad &W(x)=\exp(-x^{2})\\{\text{(Laguerre)}}\quad &W(x)={\begin{cases}x^{\alpha }\exp(-x)~,&x\geq 0\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Стандартная нормализация (также называемая стандартизацией ) подробно описана ниже.

Полиномы Якоби

Основная статья: полиномы Якоби

Для $\alpha ,\,\beta >-1$ полиномы Якоби задаются формулой

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.$

Они нормируются (стандартизируются) по

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n},$

и удовлетворять условию ортогональности

${\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx\\={}&{\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.\end{aligned}}$

Полиномы Якоби являются решениями дифференциального уравнения

$(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0~.$

Важные особые случаи

Полиномы Якоби с $\alpha =\beta$ называются полиномами Гегенбауэра (с параметром $\gamma =\alpha +1/2$)

Для $\alpha =\beta =0$, они называются полиномами Лежандра (для которых интервал ортогональности равен [−1, 1], а весовая функция равна просто 1):

$P_{0}(x)=1,\,P_{1}(x)=x,\,P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}},\,P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}},\ldots$

Для $\alpha =\beta =\pm 1/2$, получим полиномы Чебышева (второго и первого рода соответственно).

Полиномы Эрмита

Основная статья: Полиномы Эрмита

Полиномы Эрмита определяются формулой

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}$

Они удовлетворяют условию ортогональности

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{mn}~,$

и дифференциальное уравнение

$y''-2xy'+2n\,y=0~.$

Полиномы Лагерра

Основная статья: Полиномы Лагерра

Обобщенные полиномы Лагерра определяются формулой

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)$

(классические полиномы Лагерра соответствуют $\alpha =0$.)

Они удовлетворяют соотношению ортогональности

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}~,$

и дифференциальное уравнение

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0~.$

Дифференциальное уравнение

Классические ортогональные полиномы возникают из дифференциального уравнения вида

$Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0$

где Q — заданный квадратичный (не более) многочлен, а L — заданный линейный многочлен. функцию f и константу λ Необходимо найти .

(Обратите внимание, что такое уравнение имеет смысл иметь полиномиальное решение.

Каждый член в уравнении представляет собой многочлен, и степени согласованы.)

Это Штурма – Лиувилля уравнение типа . Такие уравнения обычно имеют особенности в функциях решения f, за исключением конкретных значений λ . Их можно рассматривать как проблемы собственных векторов/собственных значений : если D — дифференциальный оператор , $D(f)=Qf''+Lf'$, и меняя знак λ , задача состоит в том, чтобы найти собственные векторы (собственные функции) f, асоответствующие собственные значения λ , такие, что f не имеет особенностей и D ( f ) = λf .

Решения этого дифференциального уравнения имеют особенности, если λ не принимаетконкретные ценности. Существует ряд чисел λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ , ... который привел к ряду полиномиальных решений P ₀ , P ₁ , P ₂ , ... если выполнен один из следующих наборов условий:

1. Q на самом деле квадратичен, L линеен, Q имеет два различных вещественных корня, корень L лежит строго между корнями Q , а главные члены Q и L имеют одинаковый знак.
2. Q на самом деле не квадратичен, а линеен, L линеен, корни Q и L различны, а главные члены Q и L имеют одинаковый знак, если корень L меньше корня Q или наоборот наоборот.
3. Q — это просто ненулевая константа, L линейна, а главный член L имеет знак, Q. противоположный

Эти три случая приводят к полиномам типа Якоби , типа Лагерра и типа Эрмита соответственно.

В каждом из этих трех случаев мы имеем следующее:

• Решениями являются серии многочленов P ₀ , P ₁ , P ₂ , ..., каждый P _n имеет степень n и соответствует числу λ _n .
• Интервал ортогональности ограничен любыми Q. корнями
• Корень L находится внутри интервала ортогональности.
• Сдача в аренду $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}$, полиномы ортогональны относительно весовой функции $W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}$
• W ( x ) не имеет нулей или бесконечностей внутри интервала, хотя может иметь нули или бесконечности в конечных точках.
• W ( x ) дает конечный скалярный продукт любым многочленам.
• W ( x ) может быть больше 0 в интервале. (При необходимости отмените все дифференциальное уравнение, чтобы Q ( x ) > 0 внутри интервала.)

Из-за константы интегрирования величина R ( x ) определяется только с точностью до произвольной положительной мультипликативной константы. Он будет использоваться только в однородных дифференциальных уравнениях.(где это не имеет значения) и в определении весовой функции (которая также может бытьнеопределенный.) В таблицах ниже приведены «официальные» значения R ( x ) и W ( x ).

Формула Родригеса

Основная статья: формула Родригеса

Согласно предположениям предыдущего раздела, P _n ( x ) пропорционален ${\frac {1}{W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).$

Это известно как формула Родригеса , в честь Олинде Родригеса . Часто пишут

$P_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)$

числа en _где зависят от стандартизации. Стандартные значения en _{будут приведены в} таблицах ниже.

Числа λ _n

В предположениях предыдущего раздела имеем

$\lambda _{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right).$

(Поскольку Q квадратично, а L линейно, $Q''$ и $L'$ являются константами, поэтому это просто числа.)

Вторая форма дифференциального уравнения

Позволять

$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}.$

Затем

$(Ry')'=R\,y''+R'\,y'=R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'.$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

$Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0$

по R / Q , получив

$R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0$

или

$(Ry')'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0.$

Это стандартная форма Штурма – Лиувилля для уравнения.

Третья форма дифференциального уравнения

Позволять $S(x)={\sqrt {R(x)}}=e^{\int {\frac {L(x)}{2\,Q(x)}}\,dx}.$

Затем

$S'={\frac {S\,L}{2\,Q}}.$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

$Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0$

по S / Q , получив

$S\,y''+{\frac {S\,L}{Q}}\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0$

или

$S\,y''+2\,S'\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0$

Но $(S\,y)''=S\,y''+2\,S'\,y'+S''\,y$, так

$(S\,y)''+\left({\frac {S\,\lambda }{Q}}-S''\right)\,y=0,$

или, полагая u = Sy ,

$u''+\left({\frac {\lambda }{Q}}-{\frac {S''}{S}}\right)\,u=0.$

Формулы с производными

В предположениях предыдущего раздела пусть P ^{[ р ]}
_n обозначают r -ю производную от P _n .(Мы поместили букву «r» в скобки, чтобы не путать ее с показателем степени.) П ^{[ р ]}
_n — многочлен степени n − r . Тогда мы имеем следующее:

• (ортогональность) При фиксированном r полиномиальная последовательность P ^{[ р ]}
  _р , П ^{[ р ]}
  _{р + 1} , П ^{[ р ]}
  _{r + 2} , ... ортогональны, взвешены по $WQ^{r}$.
• (обобщенная Родригеса формула ) P ^{[ р ]}
  _n пропорционально ${\frac {1}{W(x)[Q(x)]^{r}}}\ {\frac {d^{n-r}}{dx^{n-r}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).$
• (дифференциальное уравнение) P ^{[ р ]}
  _n является решением ${Q}\,y''+(rQ'+L)\,y'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]\,y=0$, где λ _r — та же функция, что и λ _n , то есть $\lambda _{r}=-r\left({\frac {r-1}{2}}Q''+L'\right)$
• (дифференциальное уравнение, вторая форма) P ^{[ р ]}
  _n является решением $(RQ^{r}y')'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]RQ^{r-1}\,y=0$

Встречаются также смешанные рецидивы. В каждом из них числа a , b и c зависят от n и r и не связаны между собой в различных формулах.

• $P_{n}^{[r]}=aP_{n+1}^{[r+1]}+bP_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}$
• $P_{n}^{[r]}=(ax+b)P_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}$
• $QP_{n}^{[r+1]}=(ax+b)P_{n}^{[r]}+cP_{n-1}^{[r]}$

Существует огромное количество других формул, включающих ортогональные многочлены.различными способами. Вот малюсенький из них, относящийся к Чебышеву:связанные полиномы Лагерра и Эрмита:

• $2\,T_{m}(x)\,T_{n}(x)=T_{m+n}(x)+T_{m-n}(x)$
• $H_{2n}(x)=(-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})$
• $H_{2n+1}(x)=2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2})$

Ортогональность

Дифференциальное уравнение для конкретного λ можно записать (без явной зависимости от x)

$Q{\ddot {f}}_{n}+L{\dot {f}}_{n}+\lambda _{n}f_{n}=0$

умножая на $(R/Q)f_{m}$ урожайность

$Rf_{m}{\ddot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}Lf_{m}{\dot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{n}f_{m}f_{n}=0$

и изменение индексов дает

$Rf_{n}{\ddot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}Lf_{n}{\dot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{m}f_{n}f_{m}=0$

вычитание и интегрирование:

$\int _{a}^{b}\left[R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})+{\frac {R}{Q}}L(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]\,dx+(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0$

но это видно

${\frac {d}{dx}}\left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]=R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})\,\,+\,\,R{\frac {L}{Q}}(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})$

так что:

$\left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]_{a}^{b}\,\,+\,\,(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0$

Если многочлены f таковы, что член слева равен нулю, и $\lambda _{m}\neq \lambda _{n}$ для $m\neq n$, то будет выполняться соотношение ортогональности:

$\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0$

для $m\neq n$.

Вывод из дифференциального уравнения

Все полиномиальные последовательности, возникающие из приведенного выше дифференциального уравнения, эквивалентны более ограниченным классам при масштабировании и/или сдвиге области определения и стандартизации полиномов. Эти ограниченные классы представляют собой в точности «классические ортогональные полиномы».

• У каждой полиномиальной последовательности типа Якоби может быть сдвинута область определения и/или масштабирована так, что ее интервал ортогональности равен [−1, 1] и имеет Q = 1 − x ² . Затем их можно стандартизировать в полиномы Якоби. $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$. Существует несколько важных их подклассов: Гегенбауэр , Лежандр и два типа Чебышева .
• Каждая полиномиальная последовательность типа Лагерра может иметь сдвинутую, масштабированную и/или отраженную область определения так, чтобы ее интервал ортогональности был равен $[0,\infty )$и имеет Q = x . Затем их можно стандартизировать в связанные полиномы Лагерра. $L_{n}^{(\alpha )}$. Простые полиномы Лагерра $\ L_{n}$ являются их подклассом.
• Область любой полиномиальной последовательности типа Эрмита может быть сдвинута и/или масштабирована так, что ее интервал ортогональности равен $(-\infty ,\infty )$, и имеет Q = 1 и L(0) = 0. Затем их можно стандартизировать в полиномы Эрмита $H_{n}$.

Поскольку все полиномиальные последовательности, возникающие из дифференциального уравнения способомописанные выше тривиально эквивалентны классическим полиномам, фактические классическиеполиномы используются всегда.

Полином Якоби

Полиномы типа Якоби после того, как их область определения была сдвинута и масштабирована так, чтоинтервал ортогональности равен [−1, 1], еще нужно определить два параметра.Они есть $\alpha$ и $\beta$ в полиномах Якоби,написано $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$. У нас есть $Q(x)=1-x^{2}$ и $L(x)=\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)\,x$.Оба $\alpha$ и $\beta$ должны быть больше -1.(Это помещает корень L внутри интервала ортогональности.)

Когда $\alpha$ и $\beta$ не равны, эти многочленыне симметричны относительно x = 0.

Дифференциальное уравнение

$(1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1+\alpha +\beta )$

есть уравнение Якоби .

Для получения дополнительной информации см. Полиномы Якоби .

Полиномы контрбауэра

Когда задаются параметры $\alpha$ и $\beta$ в равных друг другу полиномах Якоби получаются гегенбауэровские или ультрасферические полиномы. Они написаны $C_{n}^{(\alpha )}$и определяется как

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).$

У нас есть $Q(x)=1-x^{2}$ и $L(x)=-(2\alpha +1)\,x$.Параметр $\alpha$ должно быть больше -1/2.

(Кстати, стандартизация, приведенная в таблице ниже, не имела бы смысла для α = 0 и n ≠ 0, поскольку она приравнивала бы полиномы к нулю. В этом случае принятые наборы стандартизации $C_{n}^{(0)}(1)={\frac {2}{n}}$ вместо значения, указанного в таблице.)

Пренебрегая приведенными выше соображениями, параметр $\alpha$ тесно связан с производными $C_{n}^{(\alpha )}$:

$C_{n}^{(\alpha +1)}(x)={\frac {1}{2\alpha }}\!\ {\frac {d}{dx}}C_{n+1}^{(\alpha )}(x)$

или, в более общем плане:

$C_{n}^{(\alpha +m)}(x)={\frac {\Gamma (\alpha )}{2^{m}\Gamma (\alpha +m)}}\!\ C_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).$

Все остальные классические полиномы типа Якоби (Лежандра и др.) являются частными случаями полиномов Гегенбауэра, полученных выбором значения $\alpha$ и выбор стандартизации.

Для получения дополнительной информации см. Полиномы Гегенбауэра .

Полиномы Лежандра

Дифференциальное уравнение

$(1-x^{2})\,y''-2x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1).$

Это уравнение Лежандра .

Вторая форма дифференциального уравнения:

${\frac {d}{dx}}[(1-x^{2})\,y']+\lambda \,y=0.$

Рекуррентное соотношение ​

$(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x).$

Смешанный рецидив – это

$P_{n+1}^{[r+1]}(x)=P_{n-1}^{[r+1]}(x)+(2n+1)\,P_{n}^{[r]}(x).$

Формула Родригеса:

$P_{n}(x)=\,{\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([x^{2}-1]^{n}\right).$

Для получения дополнительной информации см. Полиномы Лежандра .

Связанные полиномы Лежандра

Связанные полиномы Лежандра , обозначаемые $P_{\ell }^{(m)}(x)$ где $\ell$ и $m$ являются целыми числами с $0\leqslant m\leqslant \ell$, определяются как

$P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell }^{[m]}(x).$

М в скобках ( во избежание путаницы с показателем степени) является параметром. Цифра m в скобках обозначает m -ю производную полинома Лежандра.

Эти «многочлены» названы неправильно — они не являются полиномами, когда m нечетно.

Они имеют рекуррентное отношение:

$(\ell +1-m)\,P_{\ell +1}^{(m)}(x)=(2\ell +1)x\,P_{\ell }^{(m)}(x)-(\ell +m)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x).$

Для фиксированного m последовательность $P_{m}^{(m)},P_{m+1}^{(m)},P_{m+2}^{(m)},\dots$ ортогональны над [−1, 1] с весом 1.

Для данного м , $P_{\ell }^{(m)}(x)$ являются решениями

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0\qquad {\text{ with }}\qquad \lambda =\ell (\ell +1).$

Полиномы Чебышева

Дифференциальное уравнение

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n^{2}.$

Это уравнение Чебышева .

Рекуррентное соотношение

$T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).$

Формула Родригеса:

$T_{n}(x)={\frac {\Gamma (1/2){\sqrt {1-x^{2}}}}{(-2)^{n}\,\Gamma (n+1/2)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2}\right).$

Эти полиномы обладают тем свойством, что в интервале ортогональности

$T_{n}(x)=\cos(n\,\arccos(x)).$

(Чтобы доказать это, используйте рекуррентную формулу.)

Это означает, что все их локальные минимумы и максимумы имеют значения −1 и +1, то есть полиномы являются «уровневыми». По этой причине разложение функций с помощью полиномов Чебышева иногда используется для полиномиальных аппроксимаций в библиотеках компьютерной математики.

Некоторые авторы используют версии этих полиномов, сдвинутые так, что интервал ортогональности равен [0, 1] или [−2, 2].

Существуют также полиномы Чебышева второго рода , обозначаемые $U_{n}$

У нас есть:

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'.$

Для получения более подробной информации, включая выражения для первых несколькихполиномы, см. Полиномы Чебышева .

Полиномы Лагерра

Наиболее общими полиномами типа Лагерра после сдвига и масштабирования области являются ассоциированные полиномы Лагерра (также называемые обобщенными полиномами Лагерра), обозначаемые $L_{n}^{(\alpha )}$. Есть параметр $\alpha$, которое может быть любым действительным числом, строго большим −1. Параметр заключен в круглые скобки, чтобы не путать с показателем степени. Простые полиномы Лагерра — это просто $\alpha =0$ версия этих:

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Дифференциальное уравнение

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+\lambda \,y=0{\text{ with }}\lambda =n.$

Это уравнение Лагерра .

Вторая форма дифференциального уравнения:

$(x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+\lambda \,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0.$

Рекуррентное соотношение

$(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x).$

Формула Родригеса:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n+\alpha }\,e^{-x}\right).$

Параметр $\alpha$ тесно связан с производными $L_{n}^{(\alpha )}$:

$L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=-{\frac {d}{dx}}L_{n+1}^{(\alpha )}(x)$

или, в более общем плане:

$L_{n}^{(\alpha +m)}(x)=(-1)^{m}L_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).$

Уравнению Лагерра можно преобразовать в форму, более удобную для приложений:

$u=x^{\frac {\alpha -1}{2}}e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)$

является решением

$u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\alpha ^{2}-1}{4x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n+{\frac {\alpha +1}{2}}.$

Этим можно и дальше манипулировать. Когда $\ell ={\frac {\alpha -1}{2}}$ является целым числом, и $n\geq \ell +1$:

$u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)$

является решением

$u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n.$

Решение часто выражается через производные вместо связанных полиномов Лагерра:

$u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n+\ell }^{[2\ell +1]}(x).$

Это уравнение возникает в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для одноэлектронного атома.

Физики часто используют определение полиномов Лагерра, которое в раз больше. $(n!)$, чем используемое здесь определение.

Дополнительные сведения, включая выражения для первых нескольких полиномов, см. в разделе Полиномы Лагерра .

Полиномы Эрмита

Дифференциальное уравнение

$y''-2xy'+\lambda \,y=0,\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =2n.$

Это уравнение Эрмита .

Вторая форма дифференциального уравнения:

$(e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0.$

Третья форма – это

$(e^{-x^{2}/2}\,y)''+(\lambda +1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y)=0.$

Рекуррентное соотношение

$H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x).$

Формула Родригеса:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}\,e^{x^{2}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right).$

Первые несколько полиномов Эрмита:

$H_{0}(x)=1$

$H_{1}(x)=2x$

$H_{2}(x)=4x^{2}-2$

$H_{3}(x)=8x^{3}-12x$

$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12$

Можно определить связанные функции Эрмита

$\psi _{n}(x)=(h_{n})^{-1/2}\,e^{-x^{2}/2}H_{n}(x).$

Поскольку множитель пропорционален квадратному корню из весовой функции, эти функцииортогональны относительно $(-\infty ,\infty )$ без весовой функции.

Третья форма приведенного выше дифференциального уравнения для связанных функций Эрмита имеет вид

$\psi ''+(\lambda +1-x^{2})\psi =0.$

Соответствующие функции Эрмита возникают во многих областях математики и физики.В квантовой механике они являются решениями уравнения Шредингера для гармонического осциллятора.Они также являются собственными функциями (с собственным значением (− i ^н ) непрерывного преобразования Фурье .

Многие авторы, особенно специалисты по теории вероятностей, используют альтернативное определение полиномов Эрмита с весовой функцией $e^{-x^{2}/2}$ вместо $e^{-x^{2}}$. обозначение He Если для этих полиномов Эрмита используется , а для указанных выше — H , то их можно охарактеризовать как

$He_{n}(x)=2^{-n/2}\,H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).$

Для получения дополнительной информации см. Полиномы Эрмита .

Характеристики классических ортогональных многочленов

Существует несколько условий, выделяющих классические ортогональные полиномы среди остальных.

Первое условие было найдено Сонином (а позже Ханом), который показал, что (с точностью до линейной замены переменной) только классические ортогональные полиномы являются такими, что их производные также являются ортогональными полиномами.

Бохнер охарактеризовал классические ортогональные полиномы с точки зрения их рекуррентных соотношений.

Трикоми охарактеризовал классические ортогональные полиномы как те, которые имеют некоторый аналог формулы Родригеса .

Таблица классических ортогональных полиномов

В следующей таблице суммированы свойства классических ортогональных полиномов.

Имя и условный символ	Чебышев , $\ T_{n}$	Чебышев (второй вид), $\ U_{n}$	Лежандр , $\ P_{n}$	Отшельник , $\ H_{n}$
Пределы ортогональности	$-1,1$	$-1,1$	$-1,1$	$-\infty ,\infty$
Масса, $W(x)$	$(1-x^{2})^{-1/2}$	$(1-x^{2})^{1/2}$	$1$	$e^{-x^{2}}$
Стандартизация	$T_{n}(1)=1$	$U_{n}(1)=n+1$	$P_{n}(1)=1$	Срок действия $=2^{n}$
Площадь нормы	$\left\{{\begin{matrix}\pi &:~n=0\\\pi /2&:~n\neq 0\end{matrix}}\right.$	$\pi /2$	${\frac {2}{2n+1}}$	$2^{n}\,n!\,{\sqrt {\pi }}$
Ведущий термин	$2^{n-1}$	$2^{n}$	${\frac {(2n)!}{2^{n}\,(n!)^{2}}}$	$2^{n}$
Второй срок, $k'_{n}$	$0$	$0$	$0$	$0$
$Q$	$1-x^{2}$	$1-x^{2}$	$1-x^{2}$	$1$
$L$	$-x$	$-3x$	$-2x$	$-2x$
$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}$	$(1-x^{2})^{1/2}$	$(1-x^{2})^{3/2}$	$1-x^{2}$	$e^{-x^{2}}$
Константа в дифференц. уравнение, $\lambda _{n}$	$n^{2}$	$n(n+2)$	$n(n+1)$	$2n$
Константа в формуле Родригеса: $e_{n}$	$(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}$	$2(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+3/2)}{(n+1)\,{\sqrt {\pi }}}}$	$(-2)^{n}\,n!$	$(-1)^{n}$
Рекуррентное соотношение, $a_{n}$	$2$	$2$	${\frac {2n+1}{n+1}}$	$2$
Рекуррентное соотношение, $b_{n}$	$0$	$0$	$0$	$0$
Рекуррентное соотношение, $c_{n}$	$1$	$1$	${\frac {n}{n+1}}$	$2n$

Имя и условный символ	Ассоциированный Лагерр , $L_{n}^{(\alpha )}$	Лагерр , $\ L_{n}$
Пределы ортогональности	$0,\infty$	$0,\infty$
Масса, $W(x)$	$x^{\alpha }e^{-x}$	$e^{-x}$
Стандартизация	Срок действия $={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$	Срок действия $={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$
Площадь нормы, $h_{n}$	${\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}$	$1$
Ведущий термин, $k_{n}$	${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$	${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$
Второй срок, $k'_{n}$	${\frac {(-1)^{n+1}(n+\alpha )}{(n-1)!}}$	${\frac {(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}}$
$Q$	$x$	$x$
$L$	$\alpha +1-x$	$1-x$
$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}$	$x^{\alpha +1}\,e^{-x}$	$x\,e^{-x}$
Константа в дифференц. уравнение, $\lambda _{n}$	$n$	$n$
Константа в формуле Родригеса: $e_{n}$	$n!$	$n!$
Рекуррентное соотношение, $a_{n}$	${\frac {-1}{n+1}}$	${\frac {-1}{n+1}}$
Рекуррентное соотношение, $b_{n}$	${\frac {2n+1+\alpha }{n+1}}$	${\frac {2n+1}{n+1}}$
Рекуррентное соотношение, $c_{n}$	${\frac {n+\alpha }{n+1}}$	${\frac {n}{n+1}}$

Имя и условный символ	встречный фермер , $C_{n}^{(\alpha )}$	Якоби , $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$
Пределы ортогональности	$-1,1$	$-1,1$
Масса, $W(x)$	$(1-x^{2})^{\alpha -1/2}$	$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$
Стандартизация	$C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )}}$ если $\alpha \neq 0$	$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={\frac {\Gamma (n+1+\alpha )}{n!\,\Gamma (1+\alpha )}}$
Площадь нормы, $h_{n}$	${\frac {\pi \,2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )(\Gamma (\alpha ))^{2}}}$	${\frac {2^{\alpha +\beta +1}\,\Gamma (n\!+\!\alpha \!+\!1)\,\Gamma (n\!+\!\beta \!+\!1)}{n!(2n\!+\!\alpha \!+\!\beta \!+\!1)\Gamma (n\!+\!\alpha \!+\!\beta \!+\!1)}}$
Ведущий термин, $k_{n}$	${\frac {\Gamma (2n+2\alpha )\Gamma (1/2+\alpha )}{n!\,2^{n}\,\Gamma (2\alpha )\Gamma (n+1/2+\alpha )}}$	${\frac {\Gamma (2n+1+\alpha +\beta )}{n!\,2^{n}\,\Gamma (n+1+\alpha +\beta )}}$
Второй срок, $k'_{n}$	$0$	${\frac {(\alpha -\beta )\,\Gamma (2n+\alpha +\beta )}{(n-1)!\,2^{n}\,\Gamma (n+1+\alpha +\beta )}}$
$Q$	$1-x^{2}$	$1-x^{2}$
$L$	$-(2\alpha +1)\,x$	$\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)\,x$
$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}$	$(1-x^{2})^{\alpha +1/2}$	$(1-x)^{\alpha +1}(1+x)^{\beta +1}$
Константа в дифференц. уравнение, $\lambda _{n}$	$n(n+2\alpha )$	$n(n+1+\alpha +\beta )$
Константа в формуле Родригеса: $e_{n}$	${\frac {(-2)^{n}\,n!\,\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (n\!+\!1/2\!+\!\alpha )}{\Gamma (n\!+\!2\alpha )\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}}$	$(-2)^{n}\,n!$
Рекуррентное соотношение, $a_{n}$	${\frac {2(n+\alpha )}{n+1}}$	${\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha +\beta )}}$
Рекуррентное соотношение, $b_{n}$	$0$	${\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1)(2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}}$
Рекуррентное соотношение, $c_{n}$	${\frac {n+2{\alpha }-1}{n+1}}$	${\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}$

См. также

• Последовательность апелляции
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных полиномов
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теневое исчисление

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард (1985). «Классические ортогональные полиномы». В Брезинском, К.; Дро, А.; Магнус, Альфонс П.; Марони, Паскаль; Ронво, А. (ред.). Ортогональные полиномы и их применение. Материалы симпозиума Лагерра, состоявшегося в Бар-ле-Дюк, 15–18 октября 1984 г. Конспект лекций по математике. Том. 1171. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 36–62. дои : 10.1007/BFb0076530 . ISBN  978-3-540-16059-5 . МР   0838970 .
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные полиномы . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN  0-677-04150-0 .
• Фонканнон, Джей-Джей; Фонканнон, Джей-Джей; Пеконен, Осмо (2008). «Обзор классических и квантовых ортогональных полиномов от одной переменной Мурада Исмаила». Математический интеллект . 30 . Спрингер Нью-Йорк: 54–60. дои : 10.1007/BF02985757 . ISSN   0343-6993 . S2CID   118133026 .
• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN  0-521-78201-5 .
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные полиномы . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-43808-2 .
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Классические ортогональные полиномы» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные полиномы . Публикации коллоквиума. Том. XXIII. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1023-1 . МР   0372517 .