уравнение Чебышева

Уравнение Чебышева представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

$(1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0$

где p — действительная (или комплексная) константа. Уравнение названо в честь русского математика Пафнутия Чебышева .

Решения можно получить степенным рядом :

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

где коэффициенты подчиняются рекуррентному соотношению

$a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.$

Ряд сходится при $|x|<1$ (обратите внимание, x может быть комплексным), как можно увидеть, применив к тест отношения повторяемости.

Повторение может быть запущено с 0 _{значениями} и 1 _. произвольными что приводит к двумерному пространству решений, возникающему из второго порядкадифференциальные уравнения. Стандартные варианты:

а ₀ = 1 ; a ₁ = 0, что приводит к решению

$F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots$

и

а ₀ = 0 ; a ₁ = 1, что приводит к решению

$G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .$

Общим решением является любая линейная комбинация этих двух.

Когда p является неотрицательным целым числом, серия одной или другой из двух функций завершается.после конечного числа членов: F завершается, если p четное, и G завершается, если p нечетное.В данном случае эта функция представляет собой полином степени p и пропорциональна Полином Чебышева первого рода

$T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,$ если р четное

$T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,$ если p нечетно

Эта статья включает в себя материал из уравнения Чебышева на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .