Формула Родригеса

Чтобы узнать о формуле трехмерного вращения, см. формулу вращения Родригеса .

В математике ( формула Родригеса ранее называвшаяся формулой Айвори-Якоби ) порождает полиномы Лежандра . Его независимо представили Олинде Родригес ( 1816 г. ), сэр Джеймс Айвори ( 1824 г. ) и Карл Густав Якоби ( 1827 г. ). Название «формула Родригеса» было введено Гейне в 1878 году после того, как в 1865 году Эрмит указал, что Родригес был первым, кто ее открыл. Этот термин также используется для описания аналогичных формул для других ортогональных многочленов . Аски (2005) подробно описывает историю формулы Родригеса.

Заявление

Позволять $(P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$ — последовательность ортогональных многочленов, определенная на интервале $[a,b]$ удовлетворяющее условию ортогональности $$\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},$$где $w(x)$ – подходящая весовая функция, $K_{n}$ является константой, зависящей от $n$, и $\delta _{m,n}$ это дельта Кронекера . Если весовая функция $w(x)$ удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению (называемому дифференциальным уравнением Пирсона), $${\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},$$где $A(x)$ является полиномом степени не выше 1 и $B(x)$ является полиномом степени не выше 2 и, кроме того, пределы $$\lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0.$$Тогда можно показать, что $P_{n}(x)$ удовлетворяет отношению формы, $$P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],$$для некоторых констант $c_{n}$. Это соотношение называется формулой типа Родригеса или просто формулой Родригеса .

Наиболее известными применениями формул типа Родригеса являются формулы для полиномов Лежандра , Лагерра и Эрмита :

Родригес изложил свою формулу для полиномов Лежандра. $P_{n}$: $$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!.$$

Полиномы Лагерра обычно обозначаются L ₀ , L ₁ , ..., а формулу Родригеса можно записать как $$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x}x^{n}\right]={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},$$

Формулу Родригеса для полиномов Эрмита можно записать как $$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x^{2}}\right]=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$$

Подобные формулы справедливы для многих других последовательностей ортогональных функций, возникающих из уравнений Штурма – Лиувилля , и в этом случае их также называют формулой Родригеса (или формулой типа Родригеса), особенно когда результирующая последовательность является полиномиальной.

Ссылки

• Аски, Ричард (2005), «Документ 1839 года о перестановках: его связь с формулой Родригеса и дальнейшие разработки» , в Альтманне, Симоне Л.; Ортис, Эдуардо Л. (ред.), Математика и социальные утопии во Франции: Олинде Родригес и его времена , История математики, том. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 105–118, ISBN.  978-0-8218-3860-0
• Айвори, Джеймс (1824 г.), «О фигуре, необходимой для поддержания равновесия однородной жидкой массы, вращающейся вокруг оси», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 114 , The Royal Society: 85–150, doi : 10.1098 /rstl.1824.0008 , JSTOR   107707
• Якоби, CGJ (1827), «Об особом роде алгебраических функций, возникающих в результате развития функции (1 - 2 xz + z ² ) ^1/2 » , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 2 : 223–226, doi : 10.1515/crll.1827.2.223 , ISSN   0075-4102 , S2CID   120291793
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Олинде Родригес» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Родригес, Олинде (1816), «О притяжении сфероидов» , Переписка в Политехнической школе Impériale , (Диссертация для факультета естественных наук Парижского университета), 3 (3): 361–385