Суммирование Ламберта

В математическом анализе и аналитической теории чисел суммирование Ламберта — это метод суммирования бесконечных рядов, связанных с рядами Ламберта, особенно актуальными в аналитической теории чисел.

Определение

Определите ядро ​​Ламберта по $L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}$ с $L(1)=1$. Обратите внимание, что $L(x^{n})>0$ уменьшается как функция $n$ когда $0<x<1$. Сумма $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ суммируем ли Ламберт к $A$ если $\lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A$, написано $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )$.

Абелева и тауберова теорема

Абелева теорема : если ряд сходится к $A$ тогда оно суммируемо по Ламберту к $A$.

Тауберова теорема : предположим, что $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ суммируем ли Ламберт к $A$. Тогда оно суммируемо по Абеля к $A$. В частности, если $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ суммируем ли Ламберт к $A$ и $na_{n}\geq -C$ затем $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ сходится к $A$.

Тауберова теорема была впервые доказана Г.Х. Харди и Джоном Иденсором Литтлвудом , но она не была независимой от теории чисел; фактически они использовали теоретико-числовую оценку, которая несколько сильнее, чем сама теорема о простых числах. Неудовлетворительную ситуацию вокруг тауберовой теоремы Ламберта разрешил Норберт Винер .

Примеры

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )$, где µ – функция Мёбиуса . Следовательно, если этот ряд вообще сходится, то он сходится к нулю. Обратите внимание, что последовательность ${\frac {\mu (n)}{n}}$ удовлетворяет тауберову условию, поэтому из тауберовой теоремы следует $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0$ в обычном смысле. Это эквивалентно теореме о простых числах .
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )$ где $\Lambda$ — функция фон Мангольдта и $\gamma$ — постоянная Эйлера . По тауберовой теореме обычная сумма сходится и, в частности, сходится к $-2\gamma$. Это эквивалентно $\psi (x)\sim x$ где $\psi$ – вторая функция Чебышева .

См. также

• Серия Ламберт
• Формула Абеля – Планы
• Абелевы и тауберовы теоремы

Ссылки

• Джейкоб Кореваар (2004). Тауберова теория. Столетие событий . Основные принципы математических наук. Том 329. Шпрингер-Верлаг . п. 18. ISBN  3-540-21058-Х .
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 159–160. ISBN  978-0-521-84903-6 .
• Норберт Винер (1932). «Тауберовы теоремы». Энн. математики . 33 (1). Анналы математики, Vol. 33, № 1: 1–100. дои : 10.2307/1968102 . JSTOR   1968102 .