История математики

Доказательство из ( » Евклида *« Начал* ок . 300 г. до н.э. ), которые широко считаются самым влиятельным учебником всех времен. ^[1]

История математики посвящена происхождению открытий в математике , а также математических методов и обозначений прошлого . До наступления современной эпохи и распространения знаний по всему миру письменные примеры новых математических разработок появлялись лишь в нескольких регионах. С 3000 г. до н.э. месопотамские государства Шумер , Аккад и Ассирия , а затем Древний Египет и левантийское государство Эбла начали использовать арифметику , алгебру и геометрию в целях налогообложения , коммерции , торговли, а также в области астрономии для записи времени и составлять календари .

Самые ранние доступные математические тексты находятся в Месопотамии и Египте – Плимптон 322 ( Вавилон, ок. 2000–1900 гг. до н. э.). ^[2] ( Математический папирус Ринда египтянин , около 1800 г. до н.э.) ^[3] и Московский математический папирус (египет, ок. 1890 г. до н. э.). Во всех этих текстах упоминаются так называемые тройки Пифагора , поэтому, как следствие, теорема Пифагора кажется наиболее древней и широко распространенной математической разработкой после основ арифметики и геометрии.

Изучение математики как «показательной дисциплины» началось в VI веке до нашей эры пифагорейцами , которые ввели термин «математика» от древнегреческого μάθημα ( матема ) , что означает «предмет обучения». ^[4] Греческая математика значительно усовершенствовала методы (особенно за счет введения дедуктивных рассуждений и математической строгости в доказательствах ) и расширила предмет математики. ^[5] Хотя они практически не внесли никакого вклада в теоретическую математику , древние римляне использовали прикладную математику в геодезии , строительном проектировании , машиностроении , бухгалтерском учете , создании лунных и солнечных календарей и даже в декоративно-прикладном искусстве . Китайская математика внесла ранний вклад, включая систему разрядов и первое использование отрицательных чисел . ^[6]^[7] Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику через работы Мухаммада ибн Мусы. аль-Хорезми . ^[8]^[9] Исламская математика, в свою очередь, развила и расширила математику, известную этим цивилизациям. ^[10] Одновременно с этими традициями, но независимо от них, была математика, разработанная цивилизацией майя в Мексике и Центральной Америке , где понятие нуля получило стандартный символ в виде цифр майя .

Многие греческие и арабские тексты по математике были переведены на латынь, начиная с XII века, что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе . С древних времен до средневековья периоды математических открытий часто сменялись столетиями застоя. ^[11] Начиная с эпохи Возрождения в Италии в 15 веке, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, происходили с возрастающей скоростью , которая продолжается и по сей день. Сюда входит новаторская работа Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница по развитию исчисления бесконечно малых в течение 17 века.

Таблица цифр
Европейский (происходит от западноарабского)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
арабско-индийский	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Восточно-арабско-индийский (персидский и урду)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Деванагари (хинди)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Бенгальский	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Китайский – Японский	ноль	один	два	три	Четыре	пять	шесть	Семь	восемь	Девять
тамильский		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

доисторический

Истоки математической мысли лежат в понятиях числа , закономерностей в природе , величины и формы . ^[12] Современные исследования когнитивных способностей животных показали, что эти концепции присущи не только человеку. Подобные концепции были частью повседневной жизни в обществах охотников-собирателей . Идея о том, что концепция «числа» развивается постепенно с течением времени, подтверждается существованием языков, которые сохраняют различие между «один», «два» и «многие», но не между числами, большими двух. ^[12]

Кость Ишанго , найденная недалеко от истоков реки Нил (северо-восток Конго ), может иметь возраст более 20 000 лет и состоит из серии отметин, вырезанных в виде трех колонн, идущих по всей длине кости. Распространенные интерпретации заключаются в том, что кость Ишанго представляет собой результат самой ранней известной демонстрации последовательностей простых чисел. ^[13]^{[ не удалось пройти проверку ]} или шестимесячный лунный календарь. ^[14] Питер Рудман утверждает, что развитие концепции простых чисел могло произойти только после концепции деления, которую он датирует после 10 000 г. до н.э., при этом простые числа, вероятно, не были поняты примерно до 500 г. до н.э. Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему подсчет чего-либо должен быть кратен двум, простым числам от 10 до 20 и некоторым числам, почти кратным 10». ^[15] Кость Ишанго, по мнению ученого Александра Маршака , возможно, повлияла на более позднее развитие математики в Египте, поскольку, как и некоторые записи о кости Ишанго, египетская арифметика также использовала умножение на 2; однако это оспаривается. ^[16]

Додинастические египтяне V тысячелетия до нашей эры графически представляли геометрические узоры. Утверждалось, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии , датируемые 3-м тысячелетием до нашей эры, включают геометрические идеи, такие как круги , эллипсы и пифагорейские тройки . в свой дизайн ^[17] Однако все вышеперечисленное оспаривается, и самые старые на данный момент неоспоримые математические документы взяты из вавилонских и династических египетских источников. ^[18]

вавилонский

Вавилонская математика относится к любой математике народов Месопотамии (современный Ирак ) со времен ранних шумеров через эллинистический период почти до зари христианства . ^[19] Большая часть вавилонских математических работ относится к двум сильно разделенным периодам: первым нескольким сотням лет второго тысячелетия до нашей эры (период Старого Вавилона) и последним нескольким столетиям первого тысячелетия до нашей эры ( период Селевкидов ). ^[20] Она названа вавилонской математикой из-за центральной роли Вавилона как места обучения. Позже под властью Арабской империи Месопотамия, особенно Багдад , снова стала важным центром изучения исламской математики .

В отличие от скудности источников по египетской математике , знания вавилонской математики основаны на более чем 400 глиняных табличках, раскопанных с 1850-х годов. ^[21] Таблички, написанные клинописью , наносились на влажную глину и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них выглядят как домашнее задание. ^[22]

Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам , которые построили самую раннюю цивилизацию в Месопотамии. Они разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э., которая в основном касалась административного/финансового подсчета, например, наделов зерна, рабочих, весов серебра или даже жидкостей и прочего. ^[23] Примерно с 2500 г. до н. э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках, решали геометрические упражнения и задачи на деление . К этому же периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр. ^[24]

Вавилонская математика была написана с использованием шестидесятеричной (с основанием 60) системы счисления . ^[21] Отсюда происходит современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 (60 × 6) градусов в круге, а также использование секунд и угловых минут для обозначения долей градуса. . Считается, что шестидесятеричная система изначально использовалась шумерскими писцами, поскольку 60 можно разделить поровну на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. ^[21] а для писцов (выдающих вышеупомянутые наделы зерна, записывающих вес серебра и т. д.) была необходима возможность легко производить вычисления вручную, и поэтому шестидесятеричную систему прагматически легче вычислять вручную; однако существует вероятность того, что использование шестидесятеричной системы было этнолингвистическим явлением (о котором, возможно, никогда не станет известно), а не математическим/практическим решением. ^[25] Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, вавилоняне имели систему разрядов, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, как и в десятичной системе. Сила вавилонской системы обозначений заключалась в том, что ее можно было использовать для обозначения дробей так же легко, как и целых чисел; таким образом, умножение двух чисел, содержащих дроби, ничем не отличалось от умножения целых чисел, аналогично современным обозначениям. Система обозначений вавилонян была лучшей из всех цивилизаций до эпохи Возрождения , и ее мощь позволяла ей достигать поразительной точности вычислений; например, вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение √ 2 с точностью до пяти десятичных знаков. ^[26] Однако у вавилонян не было эквивалента десятичной точки, и поэтому место значения символа часто приходилось выводить из контекста. ^[20] К периоду Селевкидов вавилоняне разработали нулевой символ в качестве заполнителя для пустых позиций; однако он использовался только для промежуточных позиций. ^[20] Этот нулевой знак не появляется в терминальных позициях, таким образом, вавилоняне подошли близко к этому, но не разработали настоящую систему оценки мест. ^[20]

Другие темы, охватываемые вавилонской математикой, включают дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление регулярных чисел и их обратных пар . ^[27] Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейных , квадратных и кубических уравнений , что является выдающимся достижением для того времени. ^[28] Таблички древневавилонского периода также содержат самое раннее известное утверждение теоремы Пифагора . ^[29] Однако, как и в случае с египетской математикой, вавилонская математика не демонстрирует осознания разницы между точными и приближенными решениями, разрешимости задачи и, что наиболее важно, явного заявления о необходимости доказательств или логических принципов. ^[22]

Египетский

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса . В задачу входит схема с указанием размеров усеченной пирамиды.

Египетская математика относится к математике, написанной на египетском языке . С периода эллинистического греческий заменил египетский в качестве письменного языка египетских ученых. Математические исследования в Египте позже продолжились в рамках Арабской империи как часть исламской математики , когда арабский язык стал письменным языком египетских ученых. Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета возникла в Африке к югу от Сахары. ^[30] Кроме того, конструкции фрактальной геометрии, широко распространенные среди культур Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках. ^[31]

Самый обширный египетский математический текст - это папирус Ринда (иногда его также называют папирусом Ахмеса по имени его автора), датированный ок. 1650 г. до н.э., но, вероятно, это копия более старого документа из Среднего царства примерно 2000–1800 гг. до н.э. ^[32] Это учебное пособие для учащихся по арифметике и геометрии. Помимо формул площади и методов умножения, деления и работы с единичными дробями, он также содержит свидетельства других математических знаний. ^[33] включая составные и простые числа ; арифметические , геометрические и гармонические средства ; и упрощенное понимание как Решета Эратосфена , так и теории совершенных чисел (а именно, теории числа 6). ^[34] Также показано, как решать линейные уравнения первого порядка. ^[35] а также арифметические и геометрические ряды . ^[36]

Другой важный египетский математический текст — Московский папирус , также периода Среднего царства , датированный ок. 1890 г. до н.э. ^[37] Он состоит из того, что сегодня называют задачами на слова или задачами на рассказы , которые, очевидно, были задуманы как развлечение. Одна задача считается особенно важной, поскольку она дает метод нахождения объема усеченной пирамиды .

Наконец, Берлинский папирус 6619 второго порядка (ок. 1800 г. до н.э.) показывает, что древние египтяне могли решать алгебраические уравнения . ^[38]

Греческий

Теорема Пифагора . Пифагорейцам обычно приписывают первое доказательство теоремы.

Греческая математика относится к математике, написанной на греческом языке со времен Фалеса Милетского (~ 600 г. до н.э.) до закрытия Афинской академии в 529 году нашей эры. ^[39] Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему Восточному Средиземноморью, от Италии до Северной Африки, но были объединены культурой и языком. Греческую математику периода после Александра Великого иногда называют эллинистической математикой. ^[40]

Греческая математика была гораздо более сложной, чем математика, разработанная в более ранних культурах. Все сохранившиеся записи догреческой математики показывают использование индуктивного рассуждения , то есть повторных наблюдений, используемых для установления эмпирических правил. Греческие математики, напротив, использовали дедуктивные рассуждения . Греки использовали логику для вывода выводов из определений и аксиом и использовали математическую строгость для их доказательства. ^[41]

Считается, что греческая математика началась с Фалеса Милетского (ок. 624–546 до н. э.) и Пифагора Самосского (ок. 582–507 до н. э.). Хотя степень влияния оспаривается, они, вероятно, были вдохновлены египетской и вавилонской математикой . Согласно легенде, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучать математику, геометрию и астрономию у египетских жрецов.

Фалес использовал геометрию для решения таких задач, как расчет высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивных рассуждений в применении к геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . В результате его провозгласили первым настоящим математиком и первым известным человеком, которому приписали математическое открытие. ^[42] Пифагор основал Пифагорейскую школу , доктрина которой заключалась в том, что математика управляет вселенной, и чьим девизом было «Все есть число». ^[43] Именно пифагорейцы придумали термин «математика» и с них начинается изучение математики как таковой. Пифагорейцам приписывают первое доказательство теоремы Пифагора . ^[44] хотя формулировка теоремы имеет давнюю историю и связана с доказательством существования иррациональных чисел . ^[45]^[46] Хотя ему предшествовали вавилоняне , индийцы и китайцы , ^[47] математик неопифагорейец - Никомах (60–120 гг. н. э.) предоставил одну из самых ранних греко-римских таблиц умножения , тогда как самая старая из сохранившихся греческих таблиц умножения находится на восковой табличке, датированной I веком нашей эры (ныне находится в Британском музее ). ^[48] Связь неопифагорейцев с западным изобретением таблицы умножения очевидна в ее более позднем средневековом названии: mensa Pythagorica . ^[49]

Платон (428/427 до н. э. – 348/347 до н. э.) сыграл важную роль в истории математики, вдохновляя и направляя других. ^[50] Его Платоновская Академия в Афинах стала математическим центром мира в 4 веке до н. э., и именно из этой школы вышли ведущие математики того времени, такие как Евдокс Книдский (ок. 390 – ок. 340 до н. э.), пришел. ^[51] Платон также обсуждал основы математики. ^[52] уточнил некоторые определения (например, определение линии как «длины без ширины») и реорганизовал предположения. ^[53] Платону приписывают аналитический метод , а его имя носит формула получения пифагорейских троек. ^[51]

Евдокс разработал метод истощения , предшественник современной интеграции. ^[54] и теория отношений, которая позволила избежать проблемы несоизмеримых величин . ^[55] Первые позволяли рассчитывать площади и объемы криволинейных фигур, ^[56] в то время как последний позволил последующим геометрам добиться значительных успехов в геометрии. ) не сделал конкретных технических математических открытий, Хотя Аристотель (384–322 до н.э. он внес значительный вклад в развитие математики, заложив основы логики . ^[57]

В III веке до нашей эры главным центром математического образования и исследований музей Александрийский был . ^[59] Именно там Евклид ( ок. 300 г. до н. э. ) преподавал и написал « Начала» , которые широко считаются самым успешным и влиятельным учебником всех времен. ^[1] «Элементы » привнесли математическую строгость посредством аксиоматического метода и являются самым ранним примером формата, который до сих пор используется в математике: определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть содержания « Элементов» уже была известна, Евклид организовал их в единую последовательную логическую структуру. ^[60] «Элементы » были известны всем образованным людям на Западе вплоть до середины 20-го века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. ^[61] Помимо известных теорем евклидовой геометрии , « Начала» задумывались как вводный учебник ко всем математическим предметам того времени, таким как теория чисел , алгебра и твердотельная геометрия . ^[60] включая доказательства того, что квадратный корень из двух иррационален и что существует бесконечно много простых чисел. Евклид также много писал по другим предметам, таким как конические сечения , оптика , сферическая геометрия и механика, но сохранилась только половина его сочинений. ^[62]

Архимед ( ок. 287–212 до н.э.) из Сиракуз , широко считавшийся величайшим математиком древности, ^[63] использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. ^[64] Он также показал, что можно использовать метод исчерпывания для расчета значения π с желаемой точностью, и получил наиболее точное известное на тот момент значение π — 3+. ⁠ 10/71 < 3+ ⁠ < π ⁠ 10 / 70 ⁠ . ^[65] Он также изучил спираль , носящую его имя, получил формулы объемов поверхностей вращения ( параболоида, эллипсоида, гиперболоида), ^[64] и гениальный метод возведения в степень для выражения очень больших чисел. ^[66] Хотя он также известен своим вкладом в физику и созданием нескольких передовых механических устройств, сам Архимед придавал гораздо большее значение продуктам своей мысли и общим математическим принципам. ^[67] Своим величайшим достижением он считал определение площади поверхности и объема сферы, которое он получил, доказав, что они составляют 2/3 площади поверхности и объема цилиндра, описывающего сферу. ^[68]

Аполлоний Пергский ( ок. 262–190 до н.э.) добился значительных успехов в изучении конических сечений , показав, что можно получить все три разновидности конического сечения, изменяя угол плоскости, разрезающей конус с двойным ворсом. ^[69] Он также ввел терминологию, используемую сегодня для конических сечений, а именно параболу («место рядом» или «сравнение»), «эллипс» («недостаток») и «гиперболу» («выход за пределы»). ^[70] Его работа «Коника» — одна из самых известных и сохранившихся математических работ античности, и в ней он выводит множество теорем, касающихся конических сечений, которые окажутся неоценимыми для более поздних математиков и астрономов, изучающих движение планет, таких как Исаак Ньютон. ^[71] Хотя ни Аполлоний, ни какие-либо другие греческие математики не сделали шага к координации геометрии, трактовка кривых Аполлонием в некотором смысле похожа на современную трактовку, и некоторые из его работ, кажется, предвосхищают развитие аналитической геометрии Декартом примерно 1800 лет спустя. ^[72]

Примерно в то же время Эратосфен Киренский ( ок. 276–194 до н. э.) изобрел « Решето Эратосфена» для нахождения простых чисел . ^[73] Третий век до нашей эры обычно считается «золотым веком» греческой математики, при этом достижения чистой математики с тех пор находятся в относительном упадке. ^[74] Тем не менее, в последующие столетия были достигнуты значительные успехи в прикладной математике, особенно в тригонометрии , в основном для удовлетворения потребностей астрономов. ^[74] Гиппарх Никейский ( ок. 190–120 до н.э.) считается основоположником тригонометрии за составление первой известной тригонометрической таблицы, ему же принадлежит и систематическое использование круга в 360 градусов. ^[75] Герону Александрийскому ( ок. 10–70 гг. н.э.) приписывают формулу Герона для определения площади разностороннего треугольника и то, что он первым признал возможность отрицательных чисел иметь квадратные корни. ^[76] Менелай Александрийский ( ок. 100 г. н.э. ) впервые ввел сферическую тригонометрию посредством теоремы Менелая . ^[77] Наиболее полным и влиятельным тригонометрическим трудом древности является « Альмагест Птолемея » ( ок. 90–168 гг. н.э. ), знаковый астрономический трактат, тригонометрические таблицы которого будут использоваться астрономами в течение следующей тысячи лет. ^[78] Птолемею также приписывают теорему Птолемея для получения тригонометрических величин и самое точное значение π за пределами Китая до средневекового периода - 3,1416. ^[79]

Титульный лист издания 1621 года « *Арифметики* переведенного на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком. » Диофанта ,

После периода застоя после Птолемея период между 250 и 350 годами нашей эры иногда называют «Серебряным веком» греческой математики. ^[80] В этот период Диофант добился значительных успехов в алгебре, особенно в неопределенном анализе , который также известен как «диофантов анализ». ^[81] Изучение диофантовых уравнений и диофантовых приближений по сей день является важной областью исследований. Его основной работой была « Арифметика» , сборник из 150 алгебраических задач, касающихся точных решений определенных и неопределенных уравнений . ^[82] « Арифметика» оказала значительное влияние на более поздних математиков, таких как Пьер де Ферма , который пришел к своей знаменитой «Великой теореме» после попытки обобщить проблему, которую он прочитал в « Арифметике» (проблему деления квадрата на два квадрата). ^[83] Диофант также добился значительных успехов в обозначениях: «Арифметика» стала первым примером алгебраической символики и синкопы. ^[82]

Среди последних великих греческих математиков — Папп Александрийский (4 век нашей эры). Он известен своей теоремой о шестиугольнике и теоремой о центроиде , а также конфигурацией Паппуса и графом Паппуса . Его Коллекция является основным источником знаний по греческой математике, поскольку большая часть ее сохранилась. ^[84] Папп считается последним крупным новатором в греческой математике, его последующие работы состоят в основном из комментариев к более ранним работам.

Первой женщиной-математиком, зафиксированной в истории, была Гипатия Александрийская (350–415 гг. н.э.). Она сменила своего отца ( Теона Александрийского ) на посту библиотекаря Великой библиотеки. ^{[ нужна ссылка ]} и написал много работ по прикладной математике. Из-за политического спора христианская община Александрии публично раздела ее и казнила. ^[85] Ее смерть иногда воспринимается как конец эпохи александрийской греческой математики, хотя работа в Афинах продолжалась еще столетие с такими фигурами, как Прокл , Симплиций и Евтоций . ^[86] Хотя Прокл и Симплиций были скорее философами, чем математиками, их комментарии к более ранним работам являются ценными источниками по греческой математике. неоплатонической Закрытие Афинской академии императором Юстинианом в 529 году нашей эры традиционно считается концом эпохи греческой математики, хотя греческая традиция продолжалась непрерывно в Византийской империи благодаря таким математикам, как Антемий Траллесский и Исидор. из Милета , архитекторы собора Святой Софии . ^[87] Тем не менее, византийская математика состояла в основном из комментариев, в которых было мало инноваций, а центры математических инноваций к этому времени можно было найти в других местах. ^[88]

Роман

Хотя этнические греческие математики продолжали находиться под властью поздней Римской республики и последующей Римской империи , в сравнении с ними не было примечательных местных латинских математиков. ^[89]^[90] Древние римляне , такие как Цицерон (106–43 до н.э.), влиятельный римский государственный деятель, изучавший математику в Греции, считали, что римские геодезисты и калькуляторы гораздо больше интересовались прикладной математикой, чем теоретической математикой и геометрией, которые ценились греками. ^[91] Неясно, вывели ли римляне свою систему счисления непосредственно из греческого прецедента или из этрусских цифр, используемых этрусской цивилизацией, сосредоточенной на территории нынешней Тосканы , центральной Италии . ^[92]

Используя расчеты, римляне умели как подстрекать, так и обнаруживать финансовые махинации , а также управлять налогами в казну . ^[93] Сицилий Флакк , один из римских gromatici (то есть землемеров), написал « Категории полей» , которые помогали римским геодезистам измерять площади выделенных земель и территорий. ^[94] Помимо управления торговлей и налогами, римляне также регулярно применяли математику для решения инженерных задач , включая возведение архитектурных сооружений, таких как мосты , строительство дорог и подготовку к военным кампаниям . ^[95] Искусства и ремесла , такие как римская мозаика , вдохновленные предыдущими греческими дизайнами , создавали иллюзионистские геометрические узоры и богатые, детализированные сцены, которые требовали точных измерений для каждой плитки тессеры , кусочки opus tessellatum в среднем имели площадь восемь квадратных миллиметров, а более тонкие кусочки opus vermiculatum имели средняя поверхность четыре квадратных миллиметра. ^[96]^[97]

Создание римского календаря также потребовало элементарной математики. Первый календарь предположительно датируется 8 веком до нашей эры во времена Римского королевства и включал 356 дней плюс високосный год через год. ^[98] Напротив, лунный календарь республиканской эпохи содержал 355 дней, что примерно на десять и одну четвертую дней короче солнечного года , и это несоответствие было решено путем добавления в календарь дополнительного месяца после 23 февраля. ^[99] Этот календарь был вытеснен юлианским календарем , солнечным календарем, организованным Юлием Цезарем (100–44 гг. до н.э.) и разработанным Сосигеном Александрийским, чтобы включать високосный день каждые четыре года в 365-дневный цикл. ^[100] Этот календарь, который содержал ошибку в 11 минут и 14 секунд, позже был исправлен григорианским календарем, организованным Папой Григорием XIII ( годы правления 1572–1585 ), практически тем же солнечным календарем, который используется в наше время в качестве международного стандартного календаря. ^[101]

Примерно в одно и то же время ханьцы и римляне изобрели колесный одометр для измерения пройденного расстояния , римскую модель, впервые описанную римским инженером-строителем и архитектором Витрувием ( ок. 80 г. до н. э. – ок. 15 г. до н. э .). ^[102] Устройство использовалось, по крайней мере, до правления императора Коммода ( годы правления 177–192 гг. н. э. ), но его конструкция, похоже, была утеряна до тех пор, пока в 15 веке в Западной Европе не были проведены эксперименты. ^[103] Возможно, опираясь на аналогичные механизмы и технологии , использованные в механизме Антикитеры , одометр Витрувия имел колеса колесницы диаметром 4 фута (1,2 м), поворачивающиеся четыреста раз за одну римскую милю (примерно 4590 футов/1400 м). При каждом обороте штифтовое устройство задействовало зубчатое колесо с 400 зубьями , которое включало вторую шестерню, ответственную за сбрасывание камешков в коробку, причем каждый камешек представлял собой пройденную милю. ^[104]

китайский

Анализ ранней китайской математики продемонстрировал ее уникальное развитие по сравнению с другими частями мира, что побудило ученых предположить совершенно независимое развитие. ^[105] Самый старый из сохранившихся математических текстов из Китая - это « Чжоуби Суаньцзин» (周髀算經), датированный по разным временам между 1200 и 100 годами до нашей эры, хотя дата около 300 г. до н.э. в период Воюющих царств кажется разумной. ^[106] Однако « Бамбуковые листочки Цинхуа» , содержащие самую раннюю из известных десятичных таблиц умножения (хотя у древних вавилонян были таблицы с основанием 60), датируются примерно 305 годом до нашей эры и, возможно, являются старейшим из сохранившихся математических текстов Китая. ^[47]

Особо следует отметить использование в китайской математике десятичной позиционной системы записи, так называемых «стержневых цифр», в которых для чисел от 1 до 10 использовались отдельные шифры, а для степеней десяти — дополнительные шифры. ^[107] Таким образом, число 123 будет записано с использованием символа «1», за которым следует символ «100», затем символ «2», за которым следует символ «10», а затем символ «3». В то время это была самая совершенная система счисления в мире, очевидно, использовавшаяся за несколько столетий до нашей эры и задолго до появления индийской системы счисления. ^[108] Стержневые цифры позволяли представлять числа сколь угодно большого размера и позволяли выполнять вычисления на суань-пане , или китайских счетах. Дата изобретения суань -пана не точна, но самое раннее письменное упоминание датируется 190 годом нашей эры в « Дополнительных заметках Сюй Юэ по искусству фигур ».

Самая старая из сохранившихся работ по геометрии в Китае взята из философского мохистского канона ок. 330 г. до н. э. , составлено последователями Мози (470–390 до н. э.). Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшое количество геометрических теорем. ^[109] Он также определил понятия окружности , диаметра , радиуса и объема . ^[110]

*«Девять глав математического искусства»* , один из самых ранних сохранившихся математических текстов из Китая (2 век нашей эры).

В 212 г. до н.э. император Цинь Шихуан приказал сжечь все книги в Империи Цинь, кроме официально разрешенных. Этот указ не соблюдался повсеместно, но как следствие этого приказа до этой даты о древней китайской математике мало что известно. После сожжения книг в 212 г. до н.э. династия Хань (202 г. до н.э. – 220 г. н.э.) создала математические работы, которые, предположительно, расширили работы, которые сейчас утеряны. Наиболее важным из них являются «Девять глав о математическом искусстве» , полное название которых появилось к 179 году нашей эры, но ранее частично существовало под другими названиями. Он состоит из 246 текстовых задач, касающихся сельского хозяйства, бизнеса, использования геометрии для определения пролетов высот и соотношений размеров башен китайских пагод , инженерного дела, геодезии , а также включает материалы по прямоугольным треугольникам . ^[106] Он создал математическое доказательство теоремы Пифагора . ^[111] и математическая формула исключения Гаусса . ^[112] В трактате также приводятся значения π , ^[106] которое китайские математики первоначально приближали к 3, пока Лю Синь (ум. 23 г. н. э.) не предоставил цифру 3,1457, а впоследствии Чжан Хэн (78–139) приблизил число Пи как 3,1724, ^[113] а также 3,162, извлекая квадратный корень из 10. ^[114]^[115] Лю Хуэй прокомментировал Девять глав в III веке нашей эры и дал значение π с точностью до 5 десятичных знаков (т.е. 3,14159). ^[116]^[117] Хотя это больше вопрос вычислительной выносливости, чем теоретического понимания, в V веке нашей эры Цзу Чунчжи вычислил значение π с точностью до семи десятичных знаков (между 3,1415926 и 3,1415927), что оставалось наиболее точным значением π в течение почти следующих 1000 лет. ^[116]^[118] Он также разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы . ^[119]

Пик китайской математики пришелся на XIII век, во второй половине правления династии Сун (960–1279), с развитием китайской алгебры. Наиболее важным текстом того периода является « Драгоценное зеркало четырех элементов» Чжу Шицзе (1249–1314), посвященное решению одновременных алгебраических уравнений высшего порядка с использованием метода, аналогичного методу Горнера . ^[116] « Драгоценное зеркало» также содержит диаграмму треугольника Паскаля с коэффициентами биномиального разложения в восьмой степени, хотя оба они появляются в китайских работах еще в 1100 году. ^[120] Китайцы также использовали сложную комбинаторную диаграмму, известную как магический квадрат и магические круги , описанную в древние времена и усовершенствованную Ян Хуэем (1238–1298 гг. н.э.). ^[120]

Даже после того, как европейская математика начала процветать в эпоху Возрождения , европейская и китайская математика оставались отдельными традициями, при этом значительная китайская математическая продукция пришла в упадок, начиная с 13 века. Миссионеры -иезуиты , такие как Маттео Риччи, переносили математические идеи между двумя культурами с 16 по 18 века, хотя в этот момент в Китай входило гораздо больше математических идей, чем уезжало. ^[120]

Японская математика , корейская математика и вьетнамская математика традиционно рассматриваются как происходящие от китайской математики и принадлежащие конфуцианской культурной восточноазиатской сфере . ^[121] Корейская и японская математика находилась под сильным влиянием алгебраических работ, созданных во времена китайской династии Сун, тогда как вьетнамская математика во многом обязана популярным работам китайской династии Мин (1368–1644). ^[122] Например, хотя вьетнамские математические трактаты были написаны либо китайским , либо местным вьетнамским письмом Чу Ном , все они следовали китайскому формату представления набора задач с алгоритмами их решения, за которыми следовали числовые ответы. ^[123] Математика во Вьетнаме и Корее в основном ассоциировалась с профессиональной судебной бюрократией математиков и астрономов , тогда как в Японии она была более распространена в сфере частных школ . ^[124]

Япония

Математика, развивавшаяся в Японии в период Эдо (1603–1887), независима от западной математики; К этому периоду принадлежит математик Сэки Такакадзу , оказавший большое влияние, например, на развитие васана (традиционной японской математики) и чьи открытия (в таких областях, как интегральное исчисление ), почти одновременны с открытиями современных европейских математиков, таких как Готфрид Лейбниц. .

Японская математика этого периода вдохновлена китайской математикой и ориентирована по существу на геометрические проблемы. На деревянных табличках, называемых сангаку, предлагаются и решаются «геометрические загадки»; Вот откуда, например, берет свое начало гекслет-теорема Содди .

Индийский

Цифры, использованные в рукописи Бахшали , датируются II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

Индийские цифры в каменных и медных надписях ^[125]

Древние цифры Брахми в части Индии

Самая ранняя цивилизация на Индийском субконтиненте — это цивилизация долины Инда (вторая фаза зрелости: 2600–1900 гг. до н.э.), которая процветала в бассейне реки Инд . Их города были расположены с геометрической регулярностью, но никаких известных математических документов этой цивилизации не сохранилось. ^[126]

Самыми старыми сохранившимися математическими записями из Индии являются Сульба-сутры (датированные по-разному между 8 веком до нашей эры и 2 веком нашей эры). ^[127] приложения к религиозным текстам, в которых даны простые правила построения алтарей различной формы: квадратов, прямоугольников, параллелограммов и др. ^[128] Как и в случае с Египтом, озабоченность храмовыми функциями указывает на происхождение математики из религиозного ритуала. ^[127] Сутры Сульба дают методы построения круга примерно той же площади, что и заданный квадрат , которые подразумевают несколько различных приближений значения π. ^[129]^[130]^[а] Кроме того, они вычисляют квадратный корень из 2 с точностью до нескольких десятичных знаков, перечисляют тройки Пифагора и приводят формулировку теоремы Пифагора . ^[130] Все эти результаты присутствуют в вавилонской математике, что указывает на влияние Месопотамии. ^[127] Неизвестно, в какой степени Сульба-сутры повлияли на более поздних индийских математиков. Как и в Китае, в индийской математике отсутствует преемственность; значительные успехи разделяются длительными периодами бездействия. ^[127]

Панини (ок. V в. до н. э.) сформулировал правила санскритской грамматики . ^[131] Его обозначения были похожи на современные математические обозначения и использовали метаправила, преобразования и рекурсию . ^[132] Пингала (примерно III–I вв. до н.э.) в своем трактате о просодии использует прием, соответствующий двоичной системе счисления . ^[133]^[134] Его обсуждение комбинаторики метров соответствует биномиальной элементарной версии теоремы . Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых матрамеру ). ^[135]

Следующими значительными математическими документами из Индии после Сульба-сутр являются Сиддханты , астрономические трактаты IV и V веков нашей эры ( период Гуптов ), демонстрирующие сильное эллинистическое влияние. ^[136] Они важны тем, что содержат первый пример тригонометрических отношений, основанных на полухорде, как в современной тригонометрии, а не на полной хорде, как это было в тригонометрии Птолемея. ^[137] Из-за ряда ошибок перевода слова «синус» и «косинус» произошли от санскритских «джия» и «кодзия». ^[137]

Около 500 г. н. э. Арьябхата написал « Арьябхатию» , небольшой томик, написанный стихами и призванный дополнить правила вычислений, используемые в астрономии и математических измерениях, хотя и без чувства логики или дедуктивной методологии. ^[138] Именно в « Арьябхатии» впервые появляется десятичная разрядная система. Несколько столетий спустя мусульманский математик Абу Райхан Бируни описал Арьябхатию как «смесь обычных камешков и дорогих кристаллов». ^[139]

В VII веке Брахмагупта определил теорему Брахмагупты , тождество Брахмагупты и формулу Брахмагупты , и впервые в «Брахма-спхута-сиддханте » он доходчиво объяснил использование нуля как заполнителя и десятичной цифры , а также объяснил индуистскую Арабская система счисления . ^[140] Именно из перевода этого индийского текста по математике (ок. 770 г.) исламские математики познакомились с этой системой счисления, которую они адаптировали как арабские цифры . Исламские ученые принесли знания об этой системе счисления в Европу к XII веку, и теперь она вытеснила все старые системы счисления во всем мире. Для представления чисел в индуистско-арабской системе счисления используются различные наборы символов, все из которых произошли от цифр Брахми . Каждое из примерно дюжины основных письменностей Индии имеет свои собственные цифровые символы. В X веке работе комментарий Халаюдхи к Пингалы содержит исследование последовательности Фибоначчи и треугольника Паскаля , а также описывает формирование матрицы . ^{[ нужна ссылка ]}

В XII веке Бхаскара II ^[141] живший на юге Индии, много писал по всем известным тогда разделам математики. Его работа содержит математические объекты, эквивалентные или приблизительно эквивалентные бесконечно малым, теорему о среднем значении и производную функции синуса, хотя он не разработал понятие производной. ^[142]^[143]В 14 веке Нараяна Пандит завершил свою Ганиту Каумуди . ^[144]

Также в 14 веке Мадхава из Сангамаграмы , основатель Керальской школы математики , нашел ряд Мадхавы-Лейбница и получил из него преобразованный ряд , первые 21 член которого он использовал для вычисления значения π как 3,14159265359. Мадхава также нашел ряд Мадхавы-Грегори для определения арктангенса, степенной ряд Мадхавы-Ньютона для определения синуса и косинуса и приближение Тейлора для функций синуса и косинуса. ^[145] В 16 веке Джьештхадева объединил многие разработки и теоремы Керальской школы в Юкти-бхаше . ^[146]^[147] Утверждалось, что некоторые идеи исчисления, такие как бесконечные ряды и ряды Тейлора некоторых тригонометрических функций, были переданы в Европу в 16 веке. ^[6] через миссионеров- иезуитов и торговцев, которые в то время действовали в районе древнего порта Музирис и, как следствие, напрямую повлияли на более поздние европейские разработки в области анализа и исчисления. ^[148] Однако другие ученые утверждают, что школа Кералы не сформулировала систематическую теорию дифференциации и интеграции и что нет никаких прямых доказательств того, что их результаты передавались за пределы Кералы. ^[149]^[150]^[151]^[152]

Исламские империи

основанная Исламская империя, на Ближнем Востоке , в Центральной Азии , Северной Африке , Иберии и в некоторых частях Индии в 8 веке, внесла значительный вклад в развитие математики. Хотя большинство исламских текстов по математике были написаны на арабском языке , не все они были написаны арабами , поскольку, как и статус греческого языка в эллинистическом мире, арабский язык использовался в качестве письменного языка неарабских ученых во всем исламском мире в то время. . ^[153]

В 9 веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал важную книгу об индийско-арабских цифрах и книгу о методах решения уравнений. Его книга «О вычислении индийскими цифрами» , написанная около 825 года, наряду с работой Аль-Кинди , сыграла важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Западе. Слово «алгоритм» происходит от латинизации его имени Алгоритми, а слово «алгебра» — от названия одной из его работ « Аль-Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-Габр ва'ль-мукабала» ( «Сборник вычислений, написанный автором Доработка и балансировка ). Он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями: ^[154] и он был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры. ^[155] Он также обсудил фундаментальный метод « редукции » и «балансировки», имея в виду перенос вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть сокращение одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал «аль-Джабр» . ^[156] Его алгебра также больше не занималась «рядом проблем, которые необходимо было решить, а представляла собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования». Он также изучал уравнение само по себе и «в общем виде, поскольку оно не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призвано определить бесконечный класс задач». ^[157]

В Египте Абу Камиль расширил алгебру до набора иррациональных чисел , приняв квадратные корни и корни четвертой степени в качестве решений и коэффициентов квадратных уравнений. Он также разработал методы, используемые для решения трех нелинейных уравнений одновременно с тремя неизвестными переменными. Уникальной особенностью его работ была попытка найти все возможные решения некоторых его задач, в том числе той, где он нашел 2676 решений. ^[158] Его работы легли в основу развития алгебры и оказали влияние на более поздних математиков, таких как аль-Караджи и Фибоначчи.

Дальнейшие разработки в алгебре были сделаны Аль-Караджи в его трактате «Аль-Фахри» , где он расширяет методологию, включив в нее целые степени и целые корни неизвестных величин. Нечто близкое к доказательству методом математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 года нашей эры, который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов . ^[159] Историк Вепке математики Ф. ^[160] похвалил Аль-Караджи за то, что он «первый, кто представил алгебраического исчисления теорию » . Также в X веке Абул Вафа перевел произведения Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайсам был первым математиком, который вывел формулу суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Он выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида , и смог обобщить свой результат для интегралов от многочленов до четвертой степени . Таким образом, он был близок к нахождению общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали полиномы выше четвертой степени. ^[161]

В конце 11 века Омар Хайям написал «Обсуждение трудностей Евклида» , книгу о том, что он считал недостатками в » Евклида «Началах , особенно в постулате о параллельности . Он также был первым, кто нашел общее геометрическое решение кубических уравнений . Он также оказал большое влияние на реформу календаря . ^[162]

В 13 веке Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сфере сферической тригонометрии . Евклида Он также написал влиятельную работу по постулату параллельности . В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение числа π с точностью до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм вычисления корней n-й степени, который был частным случаем методов, данных много столетий спустя Руффини и Хорнером .

Другие достижения мусульманских математиков в этот период включают добавление десятичной точки к арабским цифрам , открытие всех современных тригонометрических функций, кроме синуса, аль-Кинди введение криптоанализа и частотного анализа , развитие аналитической геометрии. Ибн аль-Хайсама , начало алгебраической геометрии Омара Хайяма и развитие алгебраической записи аль -Каласади . ^[163]

Во времена Османской империи и империи Сефевидов с 15 века развитие исламской математики застопорилось.

Майя

В доколумбовой Америке цивилизация майя , процветавшая в Мексике и Центральной Америке в I тысячелетии нашей эры, разработала уникальную математическую традицию, которая из-за своей географической изоляции была полностью независима от существующей европейской, египетской и азиатской математики. ^[164] В цифрах майя использовалась система счисления двадцатеричная , вместо десятичной системы, которая составляет основу десятичной системы, используемой в большинстве современных культур. ^[164] Майя использовали математику для создания календаря майя , а также для предсказания астрономических явлений в своей родной астрономии майя . ^[164] Хотя понятие нуля должно было быть выведено из математики многих современных культур, майя разработали для него стандартный символ. ^[164]

Средневековый европейский

Интерес средневековых европейцев к математике был вызван заботами, совершенно отличными от интересов современных математиков. Одним из движущих элементов была вера в то, что математика дает ключ к пониманию сотворенного порядка природы, часто оправдываемая платоновским « Тимеем» и библейским отрывком (в « Книге Мудрости ») о том, что Бог упорядочил все вещи в мере и числе, и масса . ^[165]

Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин квадривиум для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал «De Institutione arithmetica» , вольный перевод с греческого « Никомаха Введения в арифметику» ; De Institutione Musica , также полученная из греческих источников; и серия выдержек из «Начал» Евклида . Его работы были скорее теоретическими, чем практическими, и составляли основу математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ. ^[166]^[167]

В XII веке европейские учёные путешествовали по Испании и Сицилии в поисках научных арабских текстов , в том числе аль-Хваризми » «Сборника вычислений путём завершения и балансировки , переведенного на латынь Робертом Честерским » Евклида , и полного текста «Начал , переведенного в различных версиях Аделарда Батского , Германа Каринтийского и Герарда Кремонского . ^[168]^[169] Эти и другие новые источники вызвали обновление математики.

Леонардо Пизанский, ныне известный как Фибоначчи , по счастливой случайности узнал об индуистско-арабских цифрах во время поездки на территорию, которая сейчас называется Беджая , Алжир, вместе со своим отцом-торговцем. (Европа все еще использовала римские цифры .) Там он наблюдал систему арифметики ( в частности, алгоритмизм ), которая благодаря позиционному обозначению индуистско-арабских цифр была намного более эффективной и значительно облегчала торговлю. Леонардо написал Liber Abaci в 1202 году (обновленную в 1254 году), познакомив Европу с этой техникой и положив начало длительному периоду ее популяризации. Книга также принесла в Европу то, что сейчас известно как последовательность Фибоначчи (известную индийским математикам за сотни лет до этого). ^[170] который Фибоначчи использовал в качестве ничем не примечательного примера.

В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. ^[171] Одним из важных вкладов было развитие математики локального движения.

Томас Брэдуордин предположил, что скорость (V) увеличивается в арифметической пропорции по мере увеличения отношения силы (F) к сопротивлению (R) в геометрической пропорции. Брэдуордин выразил это рядом конкретных примеров, но, хотя логарифм еще не был изобретен, мы можем выразить его вывод анахронично, написав:V = log (F/R). ^[172] Анализ Брэдуордина является примером переноса математического метода, использованного аль-Кинди и Арнальдом из Виллановы для количественной оценки природы сложных лекарств, на другую физическую задачу. ^[173]

Николь Орем (1323–1382), изображенная в этой современной иллюминированной рукописи с армиллярной сферой на переднем плане, была первой, кто предложил математическое доказательство расхождения гармонического ряда . ^[174]

Адам Райс известен как «отец современных вычислений» из-за его решающего вклада в признание того, что римские цифры непрактичны, и в их замену значительно более практичными арабскими цифрами . ^[175]

XIV века Один из оксфордских калькуляторов , Уильям Хейтсбери , не обладая дифференциальным исчислением и концепцией пределов , предложил измерять мгновенную скорость «по пути, который описывало бы [тело], если бы ... степень скорости, с которой он движется в данный момент». ^[176]

Хейтсбери и другие математически определили расстояние, пройденное телом, совершающим равномерно ускоренное движение (сегодня это решается путем интегрирования), заявив, что «движущееся тело, равномерно приобретающее или теряющее это приращение [скорости], пройдет за некоторый данный момент [расстояние], полностью равное к тому, что он прошел бы, если бы двигался непрерывно в одно и то же время со средней степенью [скорости]». ^[177]

Николь Ореме из Парижского университета и итальянец Джованни ди Казали независимо представили графическую демонстрацию этой зависимости, утверждая, что область под линией, изображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние. ^[178] В более позднем математическом комментарии к «Началам » Евклида Орем провел более подробный общий анализ, в котором продемонстрировал, что тело с каждым последующим приращением времени приобретает приращение любого качества, которое увеличивается в нечетном числе. Поскольку Евклид продемонстрировал, что сумма нечетных чисел является квадратом числа, общее качество, приобретаемое телом, увеличивается пропорционально квадрату времени. ^[179]

Ренессанс

В эпоху Возрождения развитие математики и бухгалтерского учета были переплетены. ^[180] Хотя прямой связи между алгеброй и бухгалтерским учетом нет, преподавание предметов и публикуемые книги часто предназначались для детей купцов, которых отправляли в школы счетов (во Фландрии и Германии ) или школы счетов (известные как abbaco в Италии), где они приобрели навыки, полезные для торговли и коммерции. операций, вероятно, не нужна Алгебра при выполнении бухгалтерских , но для сложных бартерных операций или расчета сложных процентов базовые знания арифметики были обязательными, а знание алгебры было очень полезно.

Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) написал книги по твердотельной геометрии и линейной перспективе , в том числе De Prospectiva Pingendi («О перспективе для живописи») , Trattato d'Abaco («Трактат о счетах») и De quinque corporibus Regularibus («О пяти правильных твердых телах»). ) . ^[181]^[182]^[183]

*Портрет Луки Пачоли* , картина, традиционно приписываемая Якопо де Барбари , 1495 год ( Музей Каподимонте ).

Луки Пачоли Книга «Сумма арифметики, геометрии, пропорций и пропорций » (итал. «Обзор арифметики , геометрии , отношений и пропорций ») была впервые напечатана и опубликована в Венеции в 1494 году. Она включала 27-страничный трактат по бухгалтерскому учету «Особенности». de Computis et Scripturis» (итал. «Детали вычислений и записи»). Она была написана в первую очередь для купцов и продавалась в основном им, которые использовали книгу как справочный текст, как источник удовольствия от содержащихся в ней математических головоломок и для помощи в образовании своих сыновей. ^[184] В «Сумме арифметике» ввел символы плюс и минус Пачоли впервые в печатной книге , символы, которые стали стандартными обозначениями в итальянской математике эпохи Возрождения. «Сумма арифметика» также была первой известной книгой, напечатанной в Италии и содержащей алгебру. Пачоли получил многие из своих идей от Пьеро Делла Франчески, которого он использовал в качестве плагиата.

В Италии в первой половине 16 века Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья обнаружили решения кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге Ars Magna 1545 года вместе с решением уравнений четвертой степени , открытым его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру» , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами , которые могли появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.

Саймона Стевина Книга « De Thiende » («Искусство десятых»), впервые опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала первую систематическую трактовку десятичной системы счисления в Европе, которая повлияла на все последующие работы над действительной системой счисления . ^[185]^[186]

В связи с потребностями навигации и растущей потребностью в точных картах больших территорий тригонометрия стала важной отраслью математики. Варфоломей Питиск был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году. Таблица синусов и косинусов Региомонана была опубликована в 1533 году. ^[187]

В эпоху Возрождения желание художников реалистично изобразить мир природы вместе с вновь открытой философией греков побудило художников изучать математику. Они также были инженерами и архитекторами того времени и поэтому в любом случае нуждались в математике. Искусство живописи в перспективе и связанные с этим разработки в области геометрии интенсивно изучались. ^[188]

Математика во время научной революции

17 век

В 17 веке наблюдался беспрецедентный рост математических и научных идей по всей Европе. Галилей наблюдал спутники Юпитера на орбите этой планеты, используя телескоп Ганса Липперхея . Тихо Браге собрал большое количество математических данных, описывающих положение планет на небе. Будучи помощником Браге, Иоганн Кеплер впервые познакомился с темой движения планет и серьезно занялся ею. Вычисления Кеплера были упрощены одновременным изобретением логарифмов Джоном Нэпьером и Йостом Бюрги . Кеплеру удалось сформулировать математические законы движения планет. ^[189]Аналитическая геометрия, разработанная Рене Декартом (1596–1650), позволила отобразить эти орбиты на графике в декартовых координатах .

Опираясь на более ранние работы многих предшественников, Исаак Ньютон открыл законы физики, объясняющие законы Кеплера , и объединил концепции, теперь известные как исчисление . Независимо от этого Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал исчисление и большую часть обозначений исчисления, которые используются до сих пор. Он также усовершенствовал двоичную систему счисления , которая является основой почти всех цифровых ( электронных , твердотельных , дискретных ) компьютеров , включая архитектуру фон Неймана , которая является стандартной парадигмой проектирования, или « компьютерной архитектурой », последовавшей из Вторая половина 20-го века и начало 21-го. Лейбница называли «основателем информатики». ^[190]

Наука и математика стали международным занятием, которое вскоре распространилось по всему миру. ^[191]

Помимо применения математики к изучению неба, прикладная математика начала расширяться в новые области благодаря переписке Пьера де Ферма и Блеза Паскаля . Паскаль и Ферма заложили основу для исследований теории вероятностей и соответствующих правил комбинаторики в своих дискуссиях по поводу азартной игры . Паскаль, сделав ставку , попытался использовать недавно разработанную теорию вероятности, чтобы аргументировать необходимость жизни, посвященной религии, на том основании, что даже если вероятность успеха была мала, вознаграждение было бесконечным. В каком-то смысле это предвещало развитие теории полезности в XVIII–XIX веках.

18 век

Самым влиятельным математиком XVIII века был, пожалуй, Леонард Эйлер (1707–1783). Его вклад варьируется от основания изучения теории графов с помощью проблемы семи мостов Кенигсберга до стандартизации многих современных математических терминов и обозначений. Например, он назвал квадратный корень из минус 1 символом i и популяризировал использование греческой буквы. $\pi$ обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Он внес большой вклад в изучение топологии, теории графов, исчисления, комбинаторики и комплексного анализа, о чем свидетельствует множество теорем и обозначений, названных в его честь.

Среди других важных европейских математиков 18-го века были Жозеф Луи Лагранж , который проделал новаторскую работу в области теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и вариационного исчисления, и Пьер-Симон Лаплас , который в эпоху Наполеона проделал важную работу по основы небесной механики и статистики .

Современный

19 век

На протяжении XIX века математика становилась все более абстрактной. ^[192] Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) олицетворяет эту тенденцию. ^{[ нужна ссылка ]} Он проделал революционную работу над функциями комплексных переменных , в геометрии и по сходимости рядов , оставив в стороне свои многочисленные вклады в науку. Он также дал первые удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности . ^{[ нужна ссылка ]}

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трёх типов геометрии

В этом столетии возникли две формы неевклидовой геометрии , в которых постулат евклидовой геометрии о параллельности больше не действует.Русский математик Николай Иванович Лобачевский и его соперник, венгерский математик Янош Больяи , независимо определили и изучили гиперболическую геометрию , в которой единственность параллелей больше не соблюдается. В этой геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180°. Эллиптическая геометрия была разработана позже, в 19 веке, немецким математиком Бернхардом Риманом ; здесь параллели найти невозможно, а сумма углов в треугольнике превышает 180°. Риман также разработал риманову геометрию , которая объединяет и значительно обобщает три типа геометрии, и определил понятие многообразия , которое обобщает идеи кривых и поверхностей , и заложил математические основы общей теории относительности . ^[193]

В 19 веке началось развитие абстрактной алгебры . Герман Грассман в Германии дал первую версию векторных пространств , Уильям Роуэн Гамильтон в Ирландии разработал некоммутативную алгебру . ^{[ нужна ссылка ]} Британский математик Джордж Буль разработал алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в электротехнике и информатике . ^{[ нужна ссылка ]}Огюстен-Луи Коши , Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс переформулировали исчисление более строго. ^{[ нужна ссылка ]}

Кроме того, впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель , норвежец, и Эварист Галуа , француз, доказали, что не существует общего алгебраического метода решения полиномиальных уравнений степени больше четырёх ( теорема Абеля–Руффини ). ^[194] Другие математики XIX века использовали это в своих доказательствах того, что одних только линейки и циркуля недостаточно, чтобы разделить произвольный угол на три части , построить сторону куба, вдвое превышающую объем данного куба, или построить квадрат, равный по площади данный круг . ^{[ нужна ссылка ]} Математики тщетно пытались решить все эти проблемы со времен древних греков. ^{[ нужна ссылка ]} С другой стороны, ограничение трех измерений в геометрии было преодолено в 19 веке благодаря рассмотрению пространства параметров и гиперкомплексных чисел . ^{[ нужна ссылка ]}

Исследования Абеля и Галуа решений различных полиномиальных уравнений заложили основу для дальнейшего развития теории групп и связанных с ней областей абстрактной алгебры . В 20 веке физики и другие ученые рассматривали теорию групп как идеальный способ изучения симметрии . ^{[ нужна ссылка ]}

В конце 19 века Георг Кантор заложил первые основы теории множеств , которая позволила строго трактовать понятие бесконечности и стала общим языком почти всей математики. Теория множеств Кантора и возникновение математической логики в руках Пеано , Л. Дж. Брауэра , Дэвида Гильберта , Бертрана Рассела и А. Н. Уайтхеда положили начало длительным дебатам об основаниях математики . ^{[ нужна ссылка ]}

В XIX веке был основан ряд национальных математических обществ: Лондонское математическое общество в 1865 г., ^[195] Математическое общество Франции в 1872 году, ^[196] Математический цирк Палермо в 1884 году, ^[197]^[198] Эдинбургское математическое общество в 1883 году, ^[199] и Американское математическое общество в 1888 году. ^[200] Первое международное общество с особыми интересами, Общество Кватернионов , было сформировано в 1899 году в контексте векторного спора . ^[201]

В 1897 году Курт Хензель ввёл p-адические числа . ^[202]

20 век

В 20 веке математика стала основной профессией. К концу столетия ежегодно присуждались тысячи новых докторов наук по математике, и появились рабочие места как в сфере преподавания, так и в промышленности. ^[203] Попытка систематизировать области и приложения математики была предпринята в энциклопедии Кляйна . ^[204]

В своей речи на Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт изложил список из 23 нерешённых проблем математики . ^[205] Эти проблемы, охватывающие многие области математики, были в центре внимания большей части математики 20-го века. На сегодняшний день решено 10, частично решено 7 и еще 2 открыты. Остальные четыре сформулированы слишком свободно, чтобы можно было сказать, решены они или нет. ^{[ нужна ссылка ]}

Известные исторические предположения были наконец доказаны. В 1976 году Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель доказали теорему о четырех цветах , которая в то время вызывала споры по поводу использования для этого компьютера. ^[206] Эндрю Уайлс , опираясь на работы других, доказал Великую теорему Ферма в 1995 году. ^[207] Пол Коэн и Курт Гёдель доказали, что гипотеза континуума не зависит (не может быть ни доказана, ни опровергнута) от стандартных аксиом теории множеств . ^[208] В 1998 году Томас Каллистер Хейлз доказал гипотезу Кеплера , также используя компьютер. ^[209]

Произошло математическое сотрудничество беспрецедентного размера и масштаба. Примером может служить классификация конечных простых групп (также называемая «огромной теоремой»), доказательство которой в период с 1955 по 2004 год потребовало 500 с лишним журнальных статей примерно 100 авторов и заняло десятки тысяч страниц. ^[210] Группа французских математиков, в том числе Жан Дьедонне и Андре Вейль , публиковавшаяся под псевдонимом « Николя Бурбаки », попыталась представить всю известную математику как единое строгое целое. Полученные в результате несколько десятков томов оказали неоднозначное влияние на математическое образование. ^[211]

Дифференциальная геометрия получила свое признание, когда Альберт Эйнштейн использовал ее в общей теории относительности . ^{[ нужна ссылка ]} Совершенно новые области математики, такие как математическая логика , топология и фон Неймана, Джона теория игр изменили виды вопросов, на которые можно было ответить с помощью математических методов. ^{[ нужна ссылка ]} Все виды структур были абстрагированы с помощью аксиом и названий, таких как метрические пространства , топологические пространства и т. д. ^{[ нужна ссылка ]} Как это делают математики, концепция абстрактной структуры сама по себе была абстрагирована и привела к теории категорий . ^{[ нужна ссылка ]} Гротендик и Серр переработали алгебраическую геометрию, используя теорию пучков . ^{[ нужна ссылка ]} Большие успехи были достигнуты в качественном исследовании динамических систем , которое Пуанкаре начал в 1890-х годах. ^{[ нужна ссылка ]}Теория меры была разработана в конце 19 - начале 20 веков. Приложения мер включают интеграл Лебега , теории аксиоматизацию Колмогорова вероятностей и эргодическую теорию . ^{[ нужна ссылка ]} Теория узлов значительно расширилась. ^{[ нужна ссылка ]} Квантовая механика привела к развитию функционального анализа . ^{[ нужна ссылка ]} Другие новые области включают Лорана Шварца , теорию распределения теорию неподвижной точки , особенностей и Рене Тома , теорию катастроф теорию моделей и Мандельброта фракталы теорию . ^{[ нужна ссылка ]} Теория Ли с ее группами Ли и алгебрами Ли стала одной из основных областей исследования. ^{[ нужна ссылка ]}

Нестандартный анализ , введенный Абрахамом Робинсоном , реабилитировал бесконечно малый подход к исчислению, который приобрел дурную славу в пользу теории пределов , расширив область действительных чисел до гипердействительных чисел , которые включают бесконечно малые и бесконечные величины. ^{[ нужна ссылка ]} Еще более обширная система счисления, сюрреалистические числа, была открыта Джоном Хортоном Конвеем в связи с комбинаторными играми . ^{[ нужна ссылка ]}

Развитие и постоянное совершенствование компьютеров , сначала механических аналоговых машин, а затем цифровых электронных машин, позволило промышленности иметь дело со все большими и большими объемами данных для облегчения массового производства, распределения и связи, и для решения этой проблемы были разработаны новые области математики. : Алана Тьюринга теория вычислимости ; теория сложности ; Дерриком Генри Лемером Использование ENIAC для дальнейшего развития теории чисел и теста на простоту Лукаса-Лемера ; Рожи Петера теория рекурсивных функций ; Клода Шеннона теория информации ; обработка сигнала ; анализ данных ; оптимизация и другие области исследования операций . ^{[ нужна ссылка ]} В предыдущие столетия большое математическое внимание уделялось исчислению и непрерывным функциям, но развитие вычислительных и коммуникационных сетей привело к увеличению важности дискретных концепций и расширению комбинаторики , включая теорию графов . Скорость и возможности обработки данных компьютеров также позволили решать математические задачи, которые были слишком трудоемкими для решения с помощью вычислений карандашом и бумагой, что привело к появлению таких областей, как численный анализ и символьные вычисления . ^{[ нужна ссылка ]} Некоторые из наиболее важных методов и алгоритмов 20-го века: симплексный алгоритм , быстрое преобразование Фурье , коды, исправляющие ошибки , фильтр Калмана из теории управления и алгоритм RSA криптографии с открытым ключом . ^{[ нужна ссылка ]}

В то же время были сделаны глубокие выводы об ограничениях математики. В 1929 и 1930 годах было доказано ^{[ кем? ]} истинность или ложность всех утверждений, сформулированных о натуральных числах плюс сложение или умножение (но не то и другое), была разрешима , то есть могла быть определена с помощью некоторого алгоритма. ^{[ нужна ссылка ]} В 1931 году Курт Гёдель обнаружил, что это не относится к натуральным числам, а также к сложению и умножению; эта система, известная как арифметика Пеано , на самом деле была неполной . (Арифметика Пеано подходит для значительной части теории чисел , включая понятие простого числа .) Следствием двух теорем Гёделя о неполноте является то, что в любой математической системе, которая включает арифметику Пеано (включая весь анализ и геометрию), истина обязательно опережает доказательство, т.е. существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать в рамках системы. Следовательно, математику нельзя свести к математической логике, и мечту Дэвида Гильберта о том, чтобы сделать всю математику полной и последовательной, необходимо было переформулировать. ^{[ нужна ссылка ]}

Абсолютное значение гамма-функции на комплексной плоскости

Одной из наиболее ярких фигур в математике XX века был Шриниваса Айянгар Рамануджан (1887–1920), индийский самоучка. ^[212] который выдвинул или доказал более 3000 теорем ^{[ нужна ссылка ]}, включая свойства весьма составных чисел , ^[213] функция разделения ^[212] и ее асимптотика , ^[214] и высмеивать тета-функции . ^[212] Он также провел крупные исследования в области гамма-функций . ^[215]^[216] модульные формы , ^[212] расходящийся ряд , ^[212] гипергеометрический ряд ^[212] и теория простых чисел. ^[212]

Пауль Эрдеш опубликовал больше статей, чем любой другой математик в истории. ^[217] работа с сотнями сотрудников. У математиков есть игра, эквивалентная игре Кевина Бэкона , которая приводит к числу Эрдеша математика. Это описывает «совместную дистанцию» между человеком и Эрдёшем, измеряемую совместным авторством математических статей. ^[218]^[219]

Эмми Нётер самой важной женщиной в истории математики. Многие называют ^[220] Она изучала теории колец , полей и алгебр . ^[221]

Как и в большинстве областей обучения, взрыв знаний в эпоху науки привел к специализации: к концу века в математике существовали сотни специализированных областей, а Классификация предметов математики состояла из десятков страниц. ^[222] Издавалось все больше и больше математических журналов , и к концу века развитие Всемирной паутины привело к онлайн-публикациям. ^{[ нужна ссылка ]}

21 век

В 2000 году Математический институт Клея объявил о семи задачах премии тысячелетия . ^[223] В 2003 году гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом (который отказался принять награду, так как критиковал математический истеблишмент). ^[224]

Большинство математических журналов теперь имеют как онлайн-версии, так и печатные версии, и многие журналы выпускаются только онлайн. ^{[ нужна ссылка ]} Растет стремление к публикации в открытом доступе , впервые ставшей популярной благодаря arXiv . ^{[ нужна ссылка ]}

Будущее

В математике можно наблюдать множество тенденций, наиболее заметной из которых является то, что этот предмет становится все более обширным, поскольку компьютеры становятся все более важными и мощными; объем данных, производимых наукой и промышленностью с помощью компьютеров, продолжает расти в геометрической прогрессии. В результате наблюдается соответствующий рост спроса на математику, помогающую обрабатывать и понимать эти большие данные . ^[225] Ожидается, что карьера в сфере математических наук также продолжит расти: по оценкам Бюро статистики труда США (в 2018 году), «занятость в сфере математических наук, по прогнозам, вырастет на 27,9 процента с 2016 по 2026 год». ^[226]

См. также

Примечания

^ Приблизительные значения π составляют 4 x (13/15). ² (3,0044...), 25/8 (3,125), 900/289 (3,11418685...), 1156/361 (3,202216...) и 339/108 (3,1389)

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Евклид Александрийский» стр. 119)
^ Фриберг, Дж. (1981). «Методы и традиции вавилонской математики. Плимптон 322, тройки Пифагора и уравнения параметров вавилонского треугольника», Historia Mathematica , 8, стр. 277–318.
^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. Точные науки в древности . Том 9 (2-е изд.). Дуврские публикации . стр. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2 . ПМИД 14884919 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помощь ) гл. IV «Египетская математика и астрономия», стр. 71–96.
^ Тернбулл (1931). «Руководство по греческой математике». Природа . 128 (3235): 5. Бибкод : 1931Natur.128..739T . дои : 10.1038/128739a0 . S2CID 3994109 .
^ Хит, Томас Л. (1963). Руководство по греческой математике , Дувр, с. 1: «В случае математики наиболее важно знать вклад греков, поскольку именно греки первыми сделали математику наукой».
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Джозеф, Джордж Гевергезе (1991). Герб павлина: неевропейские корни математики . Penguin Books, Лондон, стр. 140–48.
^ Ифра, Жорж (1986). Всеобщая история чисел . Кампус, Франкфурт/Нью-Йорк, стр. 428–37.
^ Каплан, Роберт (1999). Ничто, что есть: естественная история нуля . Аллен Лейн/The Penguin Press, Лондон.
^ «Гениальный метод выражения всех возможных чисел с помощью набора из десяти символов (каждый символ имеет позиционное и абсолютное значение) появился в Индии. Сегодня эта идея кажется настолько простой, что ее значение и глубокая важность больше не ценятся. Простота заключается в том, что оно облегчило вычисления и поставило арифметику на первое место среди полезных изобретений. Важность этого изобретения легче оценить, если учесть, что оно превосходило двух величайших людей древности, Архимеда и Аполлония». – Пьер Симон Лаплас http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html
^ Юшкевич, АП (1964). История математики в средние века . Тойбнер, Лейпциг.
^ Ивс, Ховард (1990). История математики , 6-е издание, «После Паппа греческая математика перестала быть живым исследованием, ...» с. 185; «Афинская школа боролась с растущим сопротивлением со стороны христиан, пока последние, наконец, в 529 году нашей эры не добились указа императора Юстиниана, который навсегда закрыл двери школы». п. 186; «Период, начавшийся с падения Римской империи в середине пятого века и продолжавшийся до одиннадцатого века, известен в Европе как Темные века… Школьного образования практически не существовало». п. 258.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Происхождение», стр. 3)
^ Уильямс, Скотт В. (2005). «Самый старый математический объект находится в Свазиленде» . Математики африканской диаспоры . Математический факультет SUNY в Буффало . Проверено 6 мая 2006 г.
^ Маршак, Александр (1991). Корни цивилизации , Колониальный холм, Маунт-Киско, Нью-Йорк.
^ Рудман, Питер Стром (2007). Как возникла математика: первые 50 000 лет . Книги Прометея. п. 64 . ISBN 978-1-59102-477-4 .
^ Маршак, А. (1972). Корни цивилизации: когнитивное начало первого искусства, символа и обозначения человека . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
^ Том, Александр; Арчи Том (1988). «Метрология и геометрия мегалитического человека», стр. 132–51 в Ruggles, CLN (редактор), Records in Stone: Papers in Memory of Alexander Thom . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33381-4 .
^ Дамероу, Питер (1996). «Развитие арифметического мышления: о роли вычислительных средств в древнеегипетской и вавилонской арифметике» . Абстракция и репрезентация: очерки культурной эволюции мышления (Бостонские исследования в области философии и истории науки) . Спрингер. ISBN 0792338162 . Проверено 17 августа 2019 г.
^ ( Бойер 1991 , «Месопотамия», стр. 24)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ( Бойер 1991 , «Месопотамия» стр. 26)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Бойер 1991 , «Месопотамия» стр. 25)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Месопотамия» стр. 41)
^ Шарлах, Тоня (2006), «Календари и счет» , The Sumerian World , Routledge, стр. 307–308, doi : 10.4324/9780203096604.ch15 , ISBN 978-0-203-09660-4 , получено 7 июля 2023 г.
^ Мелвилл, Дункан Дж. (2003). Хронология третьего тысячелетия. Архивировано 7 июля 2018 г. в Wayback Machine , Математика третьего тысячелетия . Университет Святого Лаврентия .
^ Пауэлл, М. (1976), «Предшественники древневавилонской системы обозначений мест и ранняя история вавилонской математики» (PDF) , Historia Mathematica , vol. 3, стр. 417–439 , получено 6 июля 2023 г.
^ ( Бойер 1991 , «Месопотамия», стр. 27)
^ Аабо, Асгер (1998). Эпизоды из ранней истории математики . Нью-Йорк: Рэндом Хаус. стр. 30–31.
^ ( Бойер 1991 , «Месопотамия», стр. 33)
^ ( Бойер 1991 , «Месопотамия», стр. 39)
^ Эглаш, Рон (1999). Африканские фракталы: современные вычисления и местный дизайн . Нью-Брансуик, Нью-Джерси: Издательство Университета Рутгерса. стр. 89, 141. ISBN. 0813526140 .
^ Эглаш, Р. (1995). «Фрактальная геометрия в африканской материальной культуре». Симметрия: культура и наука . 6–1 : 174–177.
^ ( Бойер 1991 , «Египет», стр. 11)
^ Дроби египетских единиц на MathPages
^ Дроби египетских единиц
^ «Египетские папирусы» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk .
^ «Египетская алгебра – математики африканской диаспоры» . www.math.buffalo.edu .
^ ( Бойер 1991 , «Египет», стр. 19)
^ «Египетские математические папирусы – математики африканской диаспоры» . www.math.buffalo.edu .
^ Ивс, Ховард (1990). «Введение в историю математики» , Сондерс, ISBN 0-03-029558-0
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 99)
^ Бернал, Мартин (2000). «Анимадверсии о происхождении западной науки», стр. 72–83 в книге Майкла Х. Шэнка, изд. Научное предприятие в древности и средневековье . Чикаго: Издательство Чикагского университета, с. 75.
^ ( Бойер 1991 , «Иония и пифагорейцы», стр. 43)
^ ( Бойер 1991 , «Иония и пифагорейцы», стр. 49)
^ Ивс, Ховард (1990). «Введение в историю математики» , Сондерс, ISBN 0-03-029558-0 .
^ Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики .
^ Чойк, Джеймс Р. (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Двухлетний математический журнал колледжа . 11 (5): 312–316. дои : 10.2307/3026893 . JSTOR 3026893 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Цю, Джейн (7 января 2014 г.). «Таблица древних времен, спрятанная в полосках китайского бамбука» . Природа . дои : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289 . Проверено 15 сентября 2014 г.
^ Дэвид Э. Смит (1958), История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики , Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 года), ISBN 0-486-20429-4 , стр. 58, 129.
^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики , Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 года), ISBN 0-486-20429-4 , с. 129.
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 86)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 88)
^ Калиан, Джордж Ф. (2014). «Один, два, три… Дискуссия о генерации чисел» (PDF) . Колледж Новой Европы. Архивировано из оригинала (PDF) 15 октября 2015 г.
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 87)
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 92)
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 93)
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 91)
^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 98)
^ Билл Кассельман . «Одна из древнейших дошедших до нас диаграмм Евклида» . Университет Британской Колумбии . Проверено 26 сентября 2008 г.
^ ( Бойер 1991 , «Евклид Александрийский», стр. 100)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Евклид Александрийский» стр. 104)
^ Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики , Сондерс. ISBN 0-03-029558-0 с. 141: «Ни одно произведение, кроме Библии , не использовалось более широко...»
^ ( Бойер 1991 , «Евклид Александрийский», стр. 102)
^ ( Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», стр. 120)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», стр. 130)
^ ( Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», стр. 126)
^ ( Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», стр. 125)
^ ( Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», стр. 121)
^ ( Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», стр. 137)
^ ( Бойер 1991 , «Аполлоний Пергский», стр. 145)
^ ( Бойер 1991 , «Аполлоний Пергский», стр. 146)
^ ( Бойер 1991 , «Аполлоний Пергский», стр. 152)
^ ( Бойер 1991 , «Аполлоний Пергский», стр. 156)
^ ( Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 161)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 175)
^ ( Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 162)
^ СК Рой. Комплексные числа: моделирование решетки и применение дзета-функции , с. 1 [1] . Harwood Publishing, 2007, 131 страница. ISBN 1-904275-25-7
^ ( Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 163)
^ ( Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 164)
^ ( Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 168)
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178)
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 181)
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 183)
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 183–90)
^ «Проект справочников по истории Интернета» . sourcebooks.fordham.edu .
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 190–94)
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 193)
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 194)
^ ( Гудман 2016 , стр. 119)
^ ( Куомо 2001 , стр. 194, 204–06)
^ ( Куомо 2001 , стр. 192–95)
^ ( Гудман, 2016 , стр. 120–21)
^ ( Куомо 2001 , стр. 196)
^ ( Куомо 2001 , стр. 207–08)
^ ( Гудман 2016 , стр. 119–20)
^ ( Тан 2005 , стр. 14–15, 45)
^ ( Джойс 1979 , стр. 256)
^ ( Гуллберг 1997 , стр. 17)
^ ( Гуллберг 1997 , стр. 17–18)
^ ( Гуллберг 1997 , стр. 18)
^ ( Гуллберг 1997 , стр. 18–19)
^ ( Нидхэм и Ван 2000 , стр. 281–85)
^ ( Нидхэм и Ван 2000 , стр. 285)
^ ( Шлесвик 1981 , стр. 188–200)
^ ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 201)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 196)
^ Кац 2007 , стр. 194–99.
^ ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 198)
^ ( Нидхэм и Ван 1995 , стр. 91–92)
^ ( Нидхэм и Ван 1995 , стр. 94)
^ ( Нидхэм и Ван 1995 , стр. 22)
^ ( Страффин 1998 , стр. 164)
^ ( Нидхэм и Ван 1995 , стр. 99–100)
^ ( Бергрен, Борвейн и Борвейн 2004 , стр. 27)
^ ( де Креспиньи 2007 , стр. 1050)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 202)
^ ( Нидхэм и Ван 1995 , стр. 100–01)
^ ( Бергрен, Борвейн и Борвейн 2004 , стр. 20, 24–26)
^ Зилл, Деннис Г.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: ранние трансценденталисты (3-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7 . Выдержка из стр. 27
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 205)
^ ( Volkov 2009 , pp. 153–56)
^ ( Volkov 2009 , pp. 154–55)
^ ( Volkov 2009 , pp. 156–57)
^ ( Volkov 2009 , p. 155)
^ Развитие современных цифр и систем счисления: индуистско-арабская система , Британская энциклопедия, Цитата: «Цифры 1, 4 и 6 встречаются в надписях Ашоки (3 век до н.э.); 2, 4, 6, 7 и 9 появляются в надписях Нана Гхат примерно столетие спустя, а 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 9 — в пещерах Насик 1-го или 2-го века нашей эры – все в формах, которые очень похожи на сегодняшние; 2 и 3 являются общепризнанными производными от древних = и ≡».
^ ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 206)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 207)
^ Путтасвами, ТК (2000). «Достижения древнеиндийских математиков». В Селин, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан (ред.). Математика в разных культурах: история незападной математики . Спрингер . стр. 411–12. ISBN 978-1-4020-0260-1 .
^ Кулкарни, Р.П. (1978). «Значение π известно Шулбасутрасу» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 13 (1): 32–41. Архивировано из оригинала (PDF) 6 февраля 2012 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. «Индийские сулбасутры» . унив. Сент-Эндрю, Шотландия.
^ Бронкхорст, Йоханнес (2001). «Панини и Евклид: размышления об индийской геометрии». Журнал индийской философии . 29 (1–2): 43–80. дои : 10.1023/A:1017506118885 . S2CID 115779583 .
^ Кадвани, Джон (8 февраля 2008 г.). «Позиционное значение и лингвистическая рекурсия». Журнал индийской философии . 35 (5–6): 487–520. CiteSeerX 10.1.1.565.2083 . дои : 10.1007/s10781-007-9025-5 . ISSN 0022-1791 . S2CID 52885600 .
^ Санчес, Хулио; Кантон, Мария П. (2007). Программирование микроконтроллера: микрочип PIC . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 37. ИСБН 978-0-8493-7189-9 .
^ Энглин, WS и Дж. Ламбек (1995). «Наследие Фалеса» , Спрингер, ISBN 0-387-94544-X
^ Холл, Рэйчел В. (2008). «Математика для поэтов и барабанщиков» (PDF) . Математические горизонты . 15 (3): 10–11. дои : 10.1080/10724117.2008.11974752 . S2CID 3637061 .
^ ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 208)
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 209)
^ ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 210)
^ ( Бойер 1991 , «Китай и Индия», стр. 211)
^ Бойер (1991). «Арабская гегемония». История математики . Уайли. п. 226 . ISBN 9780471543978 . К 766 году мы узнаем, что астрономо-математический труд, известный арабам как « Синдхинд» , был привезен в Багдад из Индии. Обычно полагают, что это была « Брахмаспута-сиддханта» , хотя, возможно, это была « Сурья-сиддханата» . Несколько лет спустя, примерно в 775 году, эта Сиддханата была переведена на арабский язык, а вскоре после этого (около 780 года) астрологический Тетрабиблос Птолемея был переведен на арабский язык с греческого.
^ Плофкер 2009 182–207.
^ Кук, Роджер (1997). «Математика индусов» . История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. стр. 213–215 . ISBN 0-471-18082-3 .
^ Плофкер, 2009, стр. 197–98; Джордж Гевергезе Джозеф, Герб павлина: неевропейские корни математики , Penguin Books, Лондон, 1991, стр. 298–300; Такао Хаяси, «Индийская математика», стр. 118–30 в журнале «Сопутствующая история истории и философии математических наук» , изд. И. Граттан. Книга рекордов Гиннесса, издательство Университета Джона Хопкинса, Балтимор и Лондон, 1994, стр. 126.
^ «Нараяна – Биография» . История математики . Проверено 3 октября 2022 г.
^ Плофкер 2009, стр. 217–53.
^ Раджу, СК (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхаше» (PDF) . Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. дои : 10.1353/pew.2001.0045 . S2CID 170341845 . Проверено 11 февраля 2020 г.
^ Дивакаран, ПП (2007). «Первый учебник по исчислению: Юкти-бхаша», Журнал индийской философии 35, стр. 417–33.
^ Алмейда, DF; Дж. К. Джон и А. Задорожный (2001). «Кералская математика: ее возможное распространение в Европе и вытекающие из этого последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 (1): 77–104. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Пингри, Дэвид (декабрь 1992 г.). «Элленофилия против истории науки». Исида . 83 (4): 554–563. Бибкод : 1992Isis...83..554P . дои : 10.1086/356288 . JSTOR 234257 . S2CID 68570164 . Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечных степенных рядов тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Уишем в 1830-х годах, это было провозглашено открытием исчисления индейцами. Это утверждение и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, по-видимому, сначала потому, что они не могли признать, что это исчисление открыл индеец, но позже потому, что никто больше не читал « Труды Королевского азиатского общества» , в которых была опубликована статья Уиша. Этот вопрос вновь всплыл на поверхность в 1950-х годах, и теперь у нас есть должным образом отредактированные санскритские тексты, и мы понимаем, какой умный способ Мадхава вывел ряд без исчисления; но многие историки до сих пор считают невозможным представить проблему и ее решение с точки зрения чего-либо иного, кроме исчисления, и заявляют, что исчисление — это то, что нашел Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под нынешним математическим решением проблемы, для которой он нашел альтернативное и мощное решение.
^ Брессуд, Дэвид (2002). «Было ли исчисление изобретено в Индии?». Математический журнал колледжа . 33 (1): 2–13. дои : 10.2307/1558972 . JSTOR 1558972 .
^ Плофкер, Ким (ноябрь 2001 г.). «Ошибка» в индийском «приближении ряда Тейлора» к синусу» . История Математики . 28 (4): 293. doi : 10.1006/hmat.2001.2331 . В дискуссиях по индийской математике нередко можно встретить такие утверждения, как то, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в X веке)» [Джозеф 1991, 300] или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на роль «предшественника Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979). , 294).... Точки сходства, особенно между ранними европейскими исчислениями и керальскими работами над степенными рядами, даже породили предположения о возможной передаче математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или после него латинским ученым. мире (например, в (Bag 1979, 285))... Следует, однако, иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать бывший. Говоря об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления», несколько затемняется тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического исчисления. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции – фактически, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме получения производной, здесь не имеет значения.
^ Кац, Виктор Дж. (июнь 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии» (PDF) . Журнал «Математика» . 68 (3): 163–74. дои : 10.2307/2691411 . JSTOR 2691411 .
^ Абдель Халим, Мухаммад А.С. «Семитские языки», https://doi.org/10.1515/9783110251586.811 , «Арабский язык стал языком научных исследований в области науки и философии в 9 веке, когда в «переводческом движении» началась согласованная работа над переводами. греческих, индийских, персидских и китайских медицинских, философских и научных текстов», с. 811.
^ ( Boyer 1991 , «Арабская гегемония», стр. 230) «Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хорезми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читателям, должно быть, было мало трудности в освоении решений».
^ Гандз и Саломан (1936). «Источники алгебры Хорезми», Осирис i, стр. 263–77: «В некотором смысле Хорезми больше имеет право называться «отцом алгебры», чем Диофант, потому что Хорезми первым преподает алгебру в элементарной форме и само по себе Диофант в первую очередь занимается теорией чисел».
^ ( Бойер 1991 , «Арабская гегемония», стр. 229) «Неизвестно, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычная интерпретация аналогична той, которая подразумевается в переводе выше. слово аль-джабр Предположительно, означало что-то вроде «восстановления» или «завершения» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, слово « мукабала» , как говорят, относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть к отмене; как члены на противоположных сторонах уравнения».
^ Рашид, Р.; Армстронг, Анджела (1994). Развитие арабской математики . Спрингер . стр. 11–12. ISBN 978-0-7923-2565-9 . ОСЛК 29181926 .
^ Сезиано, Жак (1997). «Абу Камиль». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Спрингер. стр. 4–5.
^ ( Кац 1998 , стр. 255–59)
^ Вепке, Ф. (1853). Отрывок из Фахри, трактата по алгебре Абу Бекра Мохаммеда Бен Альхакана Алкархи . Париж .
^ Кац, Виктор Дж. (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 68 (3): 163–74. дои : 10.2307/2691411 . JSTOR 2691411 .
^ Алам, С (2015). «Математика для всех и навсегда» (PDF) . Международный исследовательский журнал Индийского института социальных реформ и исследований .
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абул Хасан ибн Али аль Каласади» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ( Гудман 2016 , стр. 121)
^ Мудрость , 11:20
^ Колдуэлл, Джон (1981). «The De Institutione Arithmetica и De Institutione Musica », стр. 135–54 в издании Маргарет Гибсон , « Боэций: его жизнь, мысли и влияние» (Оксфорд: Бэзил Блэквелл).
^ Фолкертс, Менсо (1970). «Боэций» Геометрия II , Висбаден: Франц Штайнер Верлаг.
^ Мари-Тереза д'Алверни , «Переводы и переводчики», стр. 421–62 в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебля, Возрождение и обновление в двенадцатом веке (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).
^ Божуан, Гай. «Трансформация квадривиума», стр. 463–87 в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебля, Возрождение и обновление в двенадцатом веке . Кембридж: Издательство Гарвардского университета, 1982.
^ Сингх, Пармананд (1985). «Так называемые числа Фибоначчи в древней и средневековой Индии», Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, doi: 10.1016/0315-0860(85)90021-7
^ Грант, Эдвард и Джон Э. Мердок, ред. (1987). Математика и ее приложения к науке и естественной философии в средние века . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-32260-X .
^ Клагетт, Маршалл (1961). Наука механика в средние века . Мэдисон: Университет Висконсина, стр. 421–40.
^ Мердок, Джон Э. (1969). « Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: рост и развитие применения математики в философии и теологии четырнадцатого века», в Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge (Монреаль: Institut d'Etudes Médiévales), стр. 224–27.
^ Пиковер, Клиффорд А. (2009), Книга математики: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики , Sterling Publishing Company, Inc., стр. 104, ISBN 978-1-4027-5796-9 , Николь Орем... первой доказала расходимость гармонического ряда (ок. 1350 г.). Его результаты были утеряны на несколько столетий, и этот результат был вновь доказан итальянским математиком Пьетро Менголи в 1647 году и швейцарским математиком Иоганном Бернулли в 1687 году.
^ степень. https://www.scientificlib.com/en/Mathematics/Biographies/AdamRies.html#:~:text=Adam%20Ries%20is%20generally%20considered%20to%20be%20the,more%20structured%20Arabic%20numerals%20to %20a%20large%20extent .
^ Клагетт, Маршалл (1961). Наука механика в средние века . Мэдисон: Университет Висконсина, стр. 210, 214–15, 236.
^ Клагетт, Маршалл (1961). Наука механика в средние века . Мэдисон: Университет Висконсина, стр. 284.
^ Клагетт, Маршалл (1961) Механическая наука в средние века . Мэдисон: Университет Висконсина, стр. 332–45, 382–91.
^ Орем, Николь. «Вопросы геометрии Евклида », вопрос 14, стр. 560–65, в изд. Маршалла Кладжетта, Николь Орем и средневековая геометрия качеств и движений . Мэдисон: Университет Висконсина, 1968.
^ Хеффер, Альбрехт: О любопытном историческом совпадении алгебры и двойной бухгалтерии , Основы формальных наук, Гентский университет , ноябрь 2009 г., стр. 7 [2]
^ делла Франческа, Пьеро (1942). О перспективной живописи , изд. Дж. Никко Фасола, 2 тома, Флоренция.
^ делла Франческа, Пьеро. Трактат о счетах , изд. Дж. Арриги, Пиза (1970).
^ делла Франческа, Пьеро (1916). Опера Пьетро Франчески "De corporibus Regularibus" от Франчески узурпатора да Фра Лука Пачоли , изд. Дж. Манчини, Рим.
^ Сангстер, Алан; Грег Стоунер и Патрисия Маккарти: «Рынок «Суммы арифметики» Луки Пачоли» (Конференция по истории бухгалтерского учета, бизнеса и финансов, Кардифф, сентябрь 2007 г.), стр. 1–2.
^ Рошди Рашед (1996) Энциклопедия истории арабской науки , глава 10: Нумерация и арифметика, страница 315, Routledge дои : 10.4324/9780203403600
^ Сартон, Джордж (1935). «Первое объяснение десятичных дробей и мер (1585 г.). Вместе с историей десятичной идеи и факсимиле (№ XVII) ужасов Стевина» . Исида . 23 (1): 153–244. дои : 10.1086/346940 . ISSN 0021-1753 . JSTOR 225223 . S2CID 143395001 .
^ Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: история математических наук . WW Нортон. ISBN 978-0-393-32030-5 .
^ Клайн, Моррис (1953). Математика в западной культуре . Великобритания: Пеликан. стр. 150–51.
^ Струик, Дирк (1987). Краткая история математики (3-е изд.). Публикации Курьера Дувра. стр. 89 . ISBN 978-0-486-60255-4 .
^ «2021: 375 лет со дня рождения Лейбница, отца информатики» . люди.idsia.ch .
^ Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики , Сондерс. ISBN 0-03-029558-0 , с. 379, «...концепции исчисления... (заходят) настолько далеко и оказали такое влияние на современный мир, что, пожалуй, правильно будет сказать, что без некоторого знания о них человек сегодня вряд ли может претендовать на звание хорошо образован».
^ Говард Ивс, Введение в историю математики, 6-е издание, 1990 г., «В девятнадцатом веке математика претерпела большой скачок вперед... Новая математика начала освобождаться от своих связей с механикой и астрономией, и появилось более чистое мировоззрение». п. 493
^ Вендорф, Марсия (23 сентября 2020 г.). «Бернхард Риман заложил основы теории относительности Эйнштейна» . Интересный инжиниринг.com . Проверено 14 октября 2023 г.
^ Аюб, Раймонд Г. (1 сентября 1980 г.). «Вклад Паоло Руффини в квинтику» . Архив истории точных наук . 23 (3): 253–277. дои : 10.1007/BF00357046 . ISSN 1432-0657 . S2CID 123447349 .
^ Коллингвуд, EF (1966). «Век Лондонского математического общества» . Журнал Лондонского математического общества . с1-41(1): 577–594. дои : 10.1112/jlms/s1-41.1.577 .
^ «О нас | Математическое общество Франции» . smf.emath.fr . Проверено 28 января 2024 г.
^ «Математический кружок Палермо» . История математики . Проверено 28 января 2024 г.
^ Граттан-Гиннесс, Айвор; Граттан-Гиннесс, И. (2000). Радуга математики: история математических наук . WW Нортон и компания. ISBN 978-0-393-32030-5 .
^ Рэнкин, Р.А. (июнь 1986 г.). «Первые сто лет (1883–1983)» (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . 26 (2): 135–150. дои : 10.1017/S0013091500016849 . ISSN 1464-3839 .
^ Арчибальд, Раймонд Клэр (январь 1939 г.). «История Американского математического общества, 1888–1938» . Бюллетень Американского математического общества . 45 (1): 31–46. дои : 10.1090/S0002-9904-1939-06908-5 . ISSN 0002-9904 .
^ Моленбрук, П.; Кимура, Сюнкичи (3 октября 1895 г.). «Друзьям и коллегам по кватернионам» (PDF) . Природа . 52 (1353): 545–546. Бибкод : 1895Natur..52..545M . дои : 10.1038/052545a0 . ISSN 1476-4687 . S2CID 4008586 .
^ Мурти, М. Рам (9 февраля 2009 г.). Введение в $p$-адическую аналитическую теорию чисел . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-4774-9 .
^ Лори Тергуд; Мэри Дж. Голладей; Сьюзан Т. Хилл (июнь 2006 г.). «Докторантура США в ХХ веке» (PDF) . nih.gov . Проверено 5 апреля 2023 г.
^ Питчер, AD (1922). «Энциклопедия математических наук» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 28 : 474. doi : 10.1090/s0002-9904-1922-03635-x .
^ Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи» . Бюллетень Американского математического общества . 8 (10): 437–479. дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . ISSN 0002-9904 .
^ Гонтье, Жорж (декабрь 2008 г.). «Формальное доказательство — теорема о четырех цветах» (PDF) . Уведомления АМС . 55 (11): 1382.
^ Кастельвекки, Давиде (01 марта 2016 г.). «Последняя теорема Ферма принесла Эндрю Уайлсу премию Абеля» . Природа . 531 (7594): 287. Бибкод : 2016Natur.531..287C . дои : 10.1038/nature.2016.19552 . ISSN 1476-4687 . ПМИД 26983518 .
^ Коэн, Пол (1 декабря 2002 г.). «Открытие принуждения» . Математический журнал Роки Маунтин . 32 (4). дои : 10.1216/rmjm/1181070010 . ISSN 0035-7596 .
^ Волчовер, Натали (22 февраля 2013 г.). «Компьютерам, которым мы доверяем?» . Журнал Кванта . Проверено 28 января 2024 г.
^ «Огромная теорема: классификация конечных простых групп» . Плюс математика . Проверено 28 января 2024 г.
^ Морис Машаал, 2006. Бурбаки: Тайное общество математиков . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3967-5 , 978-0-8218-3967-6 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Оно, Кен (2006). «Почитание дара Кумбаконама» (PDF) . Уведомления АМС . 53 (6): 640–651.
^ Алаоглу, Л. ; Эрдеш, Пол (14 февраля 1944 г.). «О весьма составных и подобных числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 : 448–469. дои : 10.1090/S0002-9947-1944-0011087-2 .
^ Мурти, М. Рам (2013). «Ещё раз о функции разделения» . Наследие Шриниваса Рамануджана, серия конспектов лекций RMS . 20 : 261–279.
^ Брэдли, Дэвид М. (07 мая 2005 г.), формула Рамануджана для логарифмической производной гамма-функции , arXiv : math/0505125 , Bibcode : 2005math......5125B
^ Аски, Ричард (1980). «Расширения Рамануджана гамма- и бета-функций» . Американский математический ежемесячник . 87 (5): 346–359. дои : 10.2307/2321202 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2321202 .
^ «Гроссман - Проект числа Эрдеша» .
^ Гоффман, Каспер (1969). «А какой у тебя номер Эрдоша?» . Американский математический ежемесячник . 76 (7): 791. дои : 10.2307/2317868 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2317868 .
^ «Гроссман - Проект числа Эрдеша» . сайты.google.com . Проверено 28 января 2024 г.
^ Александров, Павел С. (1981), «Памяти Эмми Нётер», Брюэр, Джеймс В.; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 99–111, ISBN. 978-0-8247-1550-2 .
^ Энджер, Натали (26 марта 2012 г.). «Могущественный математик, о котором вы никогда не слышали» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 20 апреля 2024 г.
^ «Классификация предметов математики 2000» (PDF) . Проверено 5 апреля 2023 г.
^ Диксон, Дэвид (01 мая 2000 г.). «Математики гонятся за доказательствами стоимостью семь миллионов долларов» . Природа . 405 (6785): 383. дои : 10.1038/35013216 . ISSN 1476-4687 . ПМИД 10839504 .
^ «Математический гений отказывается от главного приза» . Новости Би-би-си . 22 августа 2006 г. Проверено 28 января 2024 г.
^ Наций, ООН. «Большие данные для устойчивого развития» . Объединенные Нации . Проверено 28 ноября 2023 г.
^ Райли, Майкл. «Большие данные открывают возможности в карьере математика: За пределами цифр: Бюро статистики труда США» . www.bls.gov . Проверено 28 ноября 2023 г.

Ссылки

де Креспиньи, Рэйф (2007), Биографический словарь от поздней Хань до Трех Королевств (23–220 гг. Н.э.) , Лейден: Koninklijke Brill, ISBN 978-90-04-15605-0 .
Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (2004), Pi: Справочник , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7
Бойер, CB (1991) [1989], История математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
Куомо, Серафина (2001), Древняя математика , Лондон: Routledge, ISBN 978-0-415-16495-5
Гудман, Майкл, К.Дж. (2016), Введение в раннее развитие математики , Хобокен: Wiley, ISBN 978-1-119-10497-1 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Галлберг, январь (1997), Математика: от рождения чисел , Нью-Йорк: WW Norton and Company, ISBN 978-0-393-04002-9
Джойс, Хетти (июль 1979 г.), «Форма, функция и техника тротуаров Делоса и Помпеи», Американский журнал археологии , 83 (3): 253–63, doi : 10.2307/505056 , JSTOR 505056 , S2CID 191394716 .
Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: введение (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-321-01618-8
Кац, Виктор Дж. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
Нидэм, Джозеф ; Ван, Лин (1995) [1959], Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и Земле , том. 3, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-05801-8
Нидэм, Джозеф; Ван, Лин (2000) [1965], Наука и цивилизация в Китае: физика и физические технологии: машиностроение , том. 4 (переиздание), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-05803-2
Слисвик, Андре (октябрь 1981 г.), «Одометр Витрувия», Scientific American , 252 (4): 188–200, Бибкод : 1981SciAm.245d.188S , doi : 10.1038/scientificamerican1081-188 .
Страффин, Филип Д. (1998), «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики», Mathematics Magazine , 71 (3): 163–81, doi : 10.1080/0025570X.1998.11996627
Тан, Биргит (2005), Делос, Карфаген, Ампуриас: жилье трех средиземноморских торговых центров , Рим: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN 978-88-8265-305-7 .
Волков, Алексей (2009), «Математика и математическое образование в традиционном Вьетнаме», Робсон, Элеонора; Стедалл, Жаклин (ред.), Оксфордский справочник по истории математики , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 153–76, ISBN 978-0-19-921312-2

Дальнейшее чтение

Общий

Аабо, Асгер (1964). Эпизоды из ранней истории математики . Нью-Йорк: Рэндом Хаус.
Белл, ET (1937). Мужчины математики . Саймон и Шустер.
Бертон, Дэвид М. (1997). История математики: Введение . МакГроу Хилл.
Граттан-Гиннесс, Айвор (2003). Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-7397-3 .
Клайн, Моррис . Математическая мысль от древности до современности .
Струик, диджей (1987). Краткая история математики , четвертое исправленное издание. Dover Publications, Нью-Йорк.

Книги определенного периода

Жиллингс, Ричард Дж. (1972). Математика во времена фараонов . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
Хит, Томас Литтл (1921). История греческой математики . Оксфорд, Кларедон Пресс.
ван дер Варден, БЛ (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Спрингер, ISBN 0-387-12159-5 .

Книги по конкретной теме

Корри, Лео (2015), Краткая история чисел , Oxford University Press, ISBN 978-0198702597
Хоффман, Пол (1998). Человек, который любил только цифры: история Пола Эрдеша и поисков математической истины . Гиперион. ISBN 0-7868-6362-5 .
Меннингер, Карл В. (1969). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-13040-0 .
Стиглер, Стивен М. (1990). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Белнап Пресс. ISBN 978-0-674-40341-3 .

Внешние ссылки

Документальные фильмы

Би-би-си (2008). История математики .
Математика эпохи Возрождения , дискуссия на BBC Radio 4 с Робертом Капланом, Джимом Беннеттом и Джеки Стедаллом ( В наше время , 2 июня 2005 г.)

Учебный материал

Архив MacTutor History of Mathematics (Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон; Университет Сент-Эндрюс, Шотландия). Отмеченный наградами веб-сайт, содержащий подробные биографии многих исторических и современных математиков, а также информацию о выдающихся кривых и различных темах из истории математики.
Домашняя страница истории математики (Дэвид Э. Джойс; Университет Кларка). Статьи по различным темам истории математики с обширной библиографией.
История математики (Дэвид Р. Уилкинс; Тринити-колледж, Дублин). Сборники материалов по математике 17-19 веков.
Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (Джефф Миллер). Содержит информацию о самых ранних известных использованиях терминов, используемых в математике.
Самое раннее использование различных математических символов (Джефф Миллер). Содержит информацию по истории математических обозначений.
Математические слова: происхождение и источники (Джон Олдрич, Университет Саутгемптона) Обсуждает происхождение современного математического словаря.
Биографии женщин-математиков (Ларри Риддл; Колледж Агнес Скотт).
Математики африканской диаспоры (Скотт В. Уильямс; Университет Буффало).
Конспекты к мини-курсу МАА: преподавание курса истории математики. (2009) ( В. Фредерик Рики и Виктор Дж. Кац ).
Древний Рим: Одометр Витрува . Иллюстрированная (движущаяся) реконструкция римского одометра Витусия.

v т и Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject

v т и История науки
Background	Theories and sociology Historiography Pseudoscience History and philosophy of science
By era	Ancient world Classical Antiquity Medieval European Renaissance Scientific Revolution Age of Enlightenment Romanticism
By culture	African Argentine Brazilian Byzantine French Chinese Indian Medieval Islamic Japanese Korean Mexican Russian Spanish
Natural sciences	Astronomy Biology Chemistry Earth science Physics
Mathematics	Algebra Calculus Combinatorics Geometry Logic Probability Statistics Trigonometry
Social sciences	Anthropology Archaeology Economics History Political science Psychology Sociology
Technology	Agricultural science Computer science Materials science Engineering
Medicine	Human medicine Veterinary medicine Anatomy Neuroscience Neurology and neurosurgery Nutrition Pathology Pharmacy
Timelines Portal Category

v т и История математики ( хронология )
By topic	Algebra timeline Algorithms timeline Arithmetic timeline Calculus timeline Grandi's series Category theory timeline Topos theory Combinatorics Functions Logarithms Geometry Trigonometry timeline Group theory Information theory timeline Logic timeline Math notation Number theory timeline Statistics timeline Probability Topology Manifolds timeline Separation axioms
Numeral systems	Prehistoric Ancient Hindu-Arabic
By ancient cultures	Mesopotamia Ancient Egypt Ancient Greece China India Medieval Islamic world
Controversies	Brouwer–Hilbert Over Cantor's theory Leibniz–Newton Hobbes–Wallis
Other	Women in mathematics timeline Approximations of π timeline Future of mathematics
Category