Диофантово приближение

Наилучшие рациональные приближения для π (зеленый круг), e (синий ромб), φ (розовый овал), (√3)/2 (серый шестиугольник), 1/√2 (красный восьмиугольник) и 1/√3 (оранжевый треугольник) рассчитанные на основе их разложений в непрерывные дроби, представленные в виде наклонов y / x с ошибками относительно их истинных значений (черные штрихи)

В теории чисел изучение диофантовой аппроксимации связано с приближением действительных чисел рациональными числами . Назван в честь Диофанта Александрийского .

Первая проблема заключалась в том, чтобы узнать, насколько хорошо действительное число можно аппроксимировать рациональными числами. Для этой задачи рациональное число p / q является «хорошим» приближением действительного числа α, если абсолютное значение разности между p / q и α может не уменьшаться, если p / q заменить другим рациональным числом с меньшим знаменатель. Эта проблема была решена в XVIII веке с помощью цепных дробей .

Зная «наилучшие» приближения данного числа, основная проблема в этой области состоит в том, чтобы найти точные верхние и нижние границы указанной выше разности, выраженной как функция знаменателя . Похоже, что эти границы зависят от природы аппроксимируемых действительных чисел: нижняя граница аппроксимации рационального числа другим рациональным числом больше, чем нижняя граница для алгебраических чисел , которая сама по себе больше, чем нижняя граница для все действительные числа. Таким образом, действительное число, которое можно аппроксимировать лучше, чем оценка для алгебраических чисел, безусловно, является трансцендентным числом .

Эти знания позволили Лиувиллю в 1844 году получить первое явное трансцендентное число. доказательства трансцендентности π и e Позднее аналогичным методом были получены .

Диофантовые приближения и теория трансцендентных чисел — очень близкие области, имеющие много общих теорем и методов. Диофантовые приближения также имеют важные приложения при изучении диофантовых уравнений .

2022 года Медаль Филдса была вручена Джеймсу Мейнарду за работу по диофантовой аппроксимации.

действительного

Основная статья: Цепная дробь § Наилучшие рациональные приближения

Учитывая действительное число α , существует два способа определить наилучшее диофантово приближение α . Для первого определения рациональное число p / q является лучшим диофантовым приближением числа α, если

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,$

для любого рационального числа p' / q', отличного от p / q, такого, что 0 < q ′ ≤ q .

Для второго определения приведенное выше неравенство заменяется на

$\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.$

Наилучшее приближение для второго определения также является лучшим приближением для первого, но обратное, вообще говоря, неверно.

Теория цепных дробей позволяет вычислять наилучшие приближения действительного числа: для второго определения они являются подходящими дробями к его выражению в виде правильной цепной дроби. Для первого определения необходимо рассмотреть также полусходящиеся .

Например, константа e = 2,718281828459045235... имеет (правильное) представление цепной дроби.

$[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].$

Его лучшие приближения для второго определения:

$3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,$

в то время как для первого определения они

$3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.$

Мера точности приближений

Очевидная мера точности диофантовой аппроксимации действительного числа α рациональным числом p / q равна ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$ Однако эту величину всегда можно сделать сколь угодно малой, увеличив абсолютные значения p и q ; таким образом, точность приближения обычно оценивается путем сравнения этой величины с некоторой функцией φ знаменателя q , обычно его отрицательной степени.

Для такого сравнения могут потребоваться верхние или нижние границы точности. Нижняя граница обычно описывается теоремой типа «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел и каждого рационального числа p / q мы имеем ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$ ". В некоторых случаях "всякое рациональное число" может быть заменено "всеми рациональными числами, кроме их конечного числа", что равнозначно умножению φ на некоторую константу, зависящую от α .

Для верхних оценок необходимо учитывать, что не все «лучшие» диофантовы приближения, обеспечиваемые подходящими функциями, могут иметь желаемую точность. Поэтому теоремы принимают вид: «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$ ".

Плохо аппроксимируемые числа

— Плохо аппроксимируемое число это x , для которого существует положительная константа c такая, что для всех рациональных p / q имеем

$\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .$

Плохо аппроксимируемые числа — это именно числа с ограниченными частичными частными .

Эквивалентно, число плохо аппроксимируется тогда и только тогда, когда его константа Маркова ограничена.

Нижние оценки диофантовых приближений

Приближение одного рационального числа другими рациональными числами

Рациональное число ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ может быть очевидно и полностью аппроксимировано выражением ${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$ для каждого положительного целого числа i .

Если ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$ у нас есть

$\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},$

потому что $|aq-bp|$ является положительным целым числом и, следовательно, не ниже 1. Таким образом, точность аппроксимации плохая по сравнению с иррациональными числами (см. следующие разделы).

Можно заметить, что в предыдущем доказательстве используется вариант принципа «ящика» : неотрицательное целое число, отличное от 0, не меньше 1. Это, казалось бы, тривиальное замечание используется почти в каждом доказательстве нижних оценок диофантовых приближений, даже в самые изысканные.

Таким образом, рациональное число прекрасно аппроксимируется само по себе, но плохо аппроксимируется любым другим рациональным числом.

Лиувилля

Основная статья: число Лиувилля

В 1840-х годах Жозеф Лиувилл получил первую нижнюю оценку аппроксимации алгебраических чисел : если x — иррациональное алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существует константа c ( x ) > 0 такая, что

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}$

справедливо для всех целых чисел p и q, где q > 0 .

Этот результат позволил ему создать первый доказанный пример трансцендентного числа — константу Лиувилля.

$\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,$

что не удовлетворяет теореме Лиувилля, какая бы степень n ни была выбрана.

Эта связь между диофантовыми приближениями и теорией трансцендентных чисел сохраняется и по сей день. Многие методы доказательства являются общими для этих двух областей.

Приближение алгебраических чисел, теорема Туэ –

Основная статья: Теорема Туэ – Зигеля – Рота

За более чем столетие предпринималось множество попыток улучшить теорему Лиувилля: каждое улучшение оценки позволяет нам доказать, что все больше чисел являются трансцендентными. Основные улучшения принадлежат Акселю Туэ ( 1909 ), Сигелу ( 1921 ), Фримену Дайсону ( 1947 ) и Клаусу Роту ( 1955 ), что в конечном итоге привело к теореме Туэ-Зигеля-Рота: если x - иррациональное алгебраическое число и ε (маленькое) положительное действительное число, то существует положительная константа c ( x , ε ) такая, что

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}$

выполняется для любого целого числа p и q такого, что q > 0 .

= 0 теорема была бы неверной. В некотором смысле этот результат является оптимальным, поскольку при ε Это непосредственное следствие верхних оценок, описанных ниже.

Одновременные приближения алгебраических чисел

Основная статья: Теорема о подпространстве

Впоследствии Вольфганг М. Шмидт обобщил это на случай одновременных приближений, доказав, что: Если x ₁ , ..., x _n — алгебраические числа такие, что 1, x ₁ , ..., x _n над линейно независимы рациональными числами. чисел и ε — любое данное положительное действительное число, то существует только конечное число рациональных n -кортежей ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) таких, что

$\left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.$

нельзя убрать ε Опять же, этот результат оптимален в том смысле, что из показателя степени .

Эффективные границы

Все предыдущие нижние оценки неэффективны в том смысле, что доказательства не дают никакого способа вычислить константу, подразумеваемую в утверждениях. Это означает, что нельзя использовать результаты или их доказательства для получения оценок размера решений родственных диофантовых уравнений. Однако эти методы и результаты часто можно использовать для ограничения количества решений таких уравнений.

Тем не менее, уточнение теоремы Бейкера Фельдманом дает эффективную оценку: если x — алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существуют эффективно вычислимые константы c ( x ) > 0 и 0 < d ( x ) < n такие, что что

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}$

справедливо для всех целых рациональных чисел.

Однако, как и в любой эффективной версии теоремы Бейкера, константы d и 1/ c настолько велики, что этот эффективный результат невозможно использовать на практике.

границы

Общая верхняя граница

Основная статья: теорема Гурвица (теория чисел)

Первым важным результатом о верхних границах диофантовых приближений является аппроксимационная теорема Дирихле , из которой следует, что для каждого иррационального числа α существует бесконечно много дробей. ${\tfrac {p}{q}}\;$ такой, что

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.$

Отсюда сразу следует, что нельзя подавить ε в формулировке теоремы Туэ-Зигеля-Рота.

Адольф Гурвиц (1891) усилил этот результат, доказав, что для каждого иррационального числа α существует бесконечно много дробей ${\tfrac {p}{q}}\;$ такой, что

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.$

Поэтому, ${\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}$ является верхней границей диофантовых приближений любого иррационального числа.Константу в этом результате нельзя улучшить без исключения некоторых иррациональных чисел (см. ниже).

Эмиль Борель (1903) показал, что фактически для любого иррационального числа α и трех последовательных подходящих чисел α по крайней мере одно должно удовлетворять неравенству, данному в теореме Гурвица.

Эквивалентные действительные числа

Определение : Два действительных числа. $x,y$ называются эквивалентными если есть целые числа $a,b,c,d\;$ с $ad-bc=\pm 1\;$ такой, что:

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.$

Таким образом, эквивалентность определяется целочисленным преобразованием Мёбиуса действительных чисел или членом модульной группы. ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$, набор обратимых матриц 2 × 2 над целыми числами. Каждое рациональное число эквивалентно 0; таким образом, рациональные числа являются классом эквивалентности для этого отношения.

Эквивалентность можно прочитать в представлении правильной цепной дроби, как показывает следующая теорема Серре :

Теорема : Два иррациональных числа x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют два натуральных числа h и k такие, что правильных цепных дробей представления для x и y

${\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}$

удовлетворить

$u_{h+i}=v_{k+i}$

для каждого неотрицательного целого числа i .

Таким образом, за исключением конечной начальной последовательности, эквивалентные числа имеют одинаковое представление цепной дроби.

Эквивалентные числа аппроксимируются в одинаковой степени, в том смысле, что они имеют одну и ту же константу Маркова .

Спектр Лагранжа

Основная статья: Марковский спектр

Как было сказано выше, константу в теореме Бореля нельзя улучшить, как показал Адольф Гурвиц в 1891 году. Позволять $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ быть золотым сечением .Тогда для любой действительной константы c с $c>{\sqrt {5}}\;$ существует только конечное число рациональных чисел p / q таких, что

$\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.$

Следовательно, улучшение может быть достигнуто только в том случае, если числа, эквивалентные $\phi$ исключены. Точнее: Для каждого иррационального числа $\alpha$, что не эквивалентно $\phi$, существует бесконечно много дробей ${\tfrac {p}{q}}\;$ такой, что

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.$

Путем последовательных исключений — следующим необходимо исключить числа, эквивалентные ${\sqrt {2}}$ — для все большего числа классов эквивалентности нижняя граница может быть дополнительно расширена.Значения, которые могут быть сгенерированы таким способом, представляют собой числа Лагранжа , которые являются частью спектра Лагранжа . Они сходятся к числу 3 и относятся к числам Маркова .

Хинчина о метрической диофантовой аппроксимации

Позволять $\psi$ быть положительной действительной функцией натуральных чисел (т. е. положительной последовательностью) такой, что $q\psi (q)$ является невозрастающим. Действительное число x (не обязательно алгебраическое) называется $\psi$- аппроксимируем , если существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.$

Александр Хинчин доказал в 1926 году, что если ряд ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$ расходится, то почти каждое действительное число (в смысле меры Лебега ) есть $\psi$-приближаемо, а если ряд сходится, то почти каждое действительное число не является $\psi$-приблизительный. Круг идей, окружающих эту теорему и ее родственников, известен как метрическая диофантова аппроксимация или метрическая теория диофантова аппроксимация (не путать с «метрикой» высоты в диофантовой геометрии ) или метрическая теория чисел .

Даффин и Шеффер (1941) доказали обобщение результата Хинчина и сформулировали то, что сейчас известно как гипотеза Даффина-Шеффера об аналоге дихотомии Хинчина для общих, не обязательно убывающих последовательностей. $\psi$ . Бересневич и Велани (2006) доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера о мере Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее.В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили о доказательстве гипотезы.

размерность

Важный пример функции $\psi$ к которой можно применить теорему Хинчина, является функция $\psi _{c}(q)=q^{-c}$, где c > 1 — действительное число. Для этой функции соответствующий ряд сходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждая точка не является $\psi _{c}$-приблизительный. Таким образом, набор чисел, $\psi _{c}$-аппроксимируемый образует подмножество вещественной прямой нулевой меры Лебега. Теорема Ярника-Безиковича, принадлежащая В. Ярнику и А.С. Безиковичу , утверждает, что размерность Хаусдорфа этого множества равна $1/c$. В частности, набор чисел, $\psi _{c}$-приблизительно для некоторых $c>1$ (известный как набор очень хорошо аппроксимируемых чисел ) имеет размерность Хаусдорфа единицу, а набор чисел, которые $\psi _{c}$-приблизительно для всех $c>1$ (известное как множество чисел Лиувилля ) имеет нулевую размерность Хаусдорфа.

Другим важным примером является функция $\psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}$, где $\varepsilon >0$ это действительное число. Для этой функции соответствующий ряд расходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждое число равно $\psi _{\varepsilon }$-приблизительный. Это то же самое, что сказать, что каждое такое число хорошо приближается , причем число называется хорошо приближаемым, если оно не плохо приближается. Таким образом, подходящий аналог теоремы Ярника-Безиковича должен касаться размерности Хаусдорфа множества плохо аппроксимируемых чисел. И действительно, В. Ярник доказал, что хаусдорфова размерность этого множества равна единице. Этот результат был улучшен В.М. Шмидтом , который показал, что множество плохо аппроксимируемых чисел несжимаемо , т.е. если $f_{1},f_{2},\ldots$ есть последовательность билипшицевых отображений, то множество чисел x , для которых $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$ все они плохо аппроксимируются, имеют размерность Хаусдорфа один. Шмидт также обобщил теорему Ярника на более высокие размерности, что является значительным достижением, поскольку аргумент Ярника по сути одномерен и зависит от аппарата цепных дробей.

распределение

Другая тема, получившая тщательное развитие, — это теория равномерного распределения mod 1 . Возьмем последовательность a ₁ , a ₂ действительных чисел ... и рассмотрим их дробные части . То есть, более абстрактно, посмотрим на последовательность в $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, который представляет собой круг. Для любого интервала I на окружности мы смотрим на долю элементов последовательности, которые лежат в нем, с точностью до некоторого целого числа N , и сравниваем ее с долей окружности, I. занимаемой Равномерное распределение означает, что в пределе по мере роста N доля попаданий на интервал стремится к «ожидаемому» значению. Герман Вейль доказал основной результат , показав, что он эквивалентен оценкам экспоненциальных сумм, образованных из последовательности. Это показало, что результаты диофантовой аппроксимации тесно связаны с общей проблемой сокращения в экспоненциальных суммах, которая возникает во всей аналитической теории чисел при оценке членов ошибок.

С равномерным распределением связана тема неравномерностей распределения , имеющая комбинаторный характер.

Алгоритмы

Гротчел, Ловас и Шрейвер описывают алгоритмы поиска примерно наилучших диофантовых приближений как для отдельных действительных чисел, так и для набора действительных чисел. Последняя задача называется одновременной диофантовой аппроксимацией .

Нерешенные проблемы

В диофантовом приближении все еще остаются просто сформулированные нерешенные проблемы, например гипотеза Литтлвуда и гипотеза одинокого бегуна .Также неизвестно, существуют ли алгебраические числа с неограниченными коэффициентами в разложении их цепной дроби.

Последние события

В своем пленарном выступлении на Международном математическом конгрессе в Киото (1990) Григорий Маргулис изложил широкую программу, основанную на эргодической теории , позволяющую доказывать теоретико-числовые результаты, используя динамические и эргодические свойства действий подгрупп полупростых групп Ли . Работы Д. Клейнбока, Г. Маргулиса и их сотрудников продемонстрировали силу этого нового подхода к классическим проблемам в диофантовом приближении. Среди его заметных успехов - доказательство Маргулисом гипотезы Оппенгейма , существовавшей десятилетиями , с более поздними расширениями Дани и Маргулиса и Эскина-Маргулиса-Мозеса, а также доказательство гипотез Бейкера и Спринджука в диофантовых приближениях на многообразиях Клейнбоком и Маргулисом. различные обобщения приведенных выше результатов Александра Хинчина В рамках этой концепции были также получены в метрическом диофантовом приближении.

См. также

• Теорема Давенпорта – Шмидта
• Теорема Даффина – Шеффера
• Хайльброннский набор
• Последовательность с низким расхождением

Ссылки

• Бересневич, Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип массового переноса и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики . 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . дои : 10.4007/анналы.2006.164.971 . S2CID   14475449 . Збл   1148.11033 .
• Берник, В.; Бересневич В.; Гетце, Ф.; Куксо, О. (2013). «Распределение алгебраических чисел и метрическая теория диофантова приближения». В Эйхельсбахере, Питер; Эльснер, Гвидо; Кестерс, Хольгер; Лёве, Матиас; Меркль, Франц; Роллес, Силке (ред.). Предельные теоремы в теории вероятностей, статистике и теории чисел: в честь Фридриха Гетце . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 42. Гейдельберг: Шпрингер. стр. 23–48. дои : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 . МР   3079136 . S2CID   55652124 .
• Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю единицы и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. Том. 193. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-11169-0 . Збл   1260.11001 .
• Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета .
• Даффин, Р.Дж.; Шеффер, AC (1941). «Задача Хинчина в метрическом диофантовом приближении». Математический журнал Дьюка . 8 (2): 243–255. дои : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 . ISSN   0012-7094 . Збл   0025.11002 .
• Дайсон, Фриман Дж. (1947). «Приближение алгебраических чисел рациональными числами» . Акта Математика . 79 : 225–240. дои : 10.1007/BF02404697 . ISSN   0001-5962 . МР   0023854 . Збл   0030.02101 .
• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853170-8 . МР   0568909 .
• Гурвиц, А. (1891). «О приближенном представлении иррациональных чисел рациональными дробями». Математические анналы (на немецком языке). 39 (2): 279–284. дои : 10.1007/BF01206656 . МР1510702   . S2CID   119535189 .
• Хинчин, А.Я. (1997) [1964]. Продолжительные дроби . Дувр. ISBN  0-486-69630-8 .
• Кляйнбок, ДЮ; Маргулис, Джорджия (1998). «Потоки в однородных пространствах и диофантова аппроксимация на многообразиях». Энн. Математика . 148 (1): 339–360. arXiv : math/9810036 . Бибкод : 1998math.....10036K . дои : 10.2307/120997 . JSTOR   120997 . МР   1652916 . S2CID   8471125 . Збл   0922.11061 .
• Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовые приближения (новое расширенное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94456-7 . Збл   0826.11030 .
• Маргулис, Джорджия (2002). «Диофантово приближение, решетки и потоки на однородных пространствах». В Вюстхольце, Гисберт (ред.). Панорама теории чисел или вид из сада Бейкера . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 280–310. ISBN  0-521-80799-9 . МР   1975458 .
• Перрон, Оскар (1913). ( на немецком языке Теория цепных дробей ). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Перрон, Оскар (1929). ( на Теория непрерывных дробей немецком языке) (2-е изд.). Челси. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Рот, Клаус Фридрих (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика . 2 : 1–20, 168. doi : 10.1112/S0025579300000644 . ISSN   0025-5793 . МР   0072182 . Збл   0064.28501 .
• Шмидт, Вольфганг М. (1980). Диофантово приближение . Конспект лекций по математике. Том. 785 (изд. 1996 г.). Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  3-540-09762-7 . Збл   0421.10019 .
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том. 1467 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-54058-Х . Збл   0754.11020 .
• Сигель, Карл Людвиг (1921). «Приближение алгебраических чисел» . Математический журнал . 10 (3): 173–213. дои : 10.1007/BF01211608 . ISSN   0025-5874 . S2CID   119577458 .
• Спринджук, Владимир Григорьевич (1979). Метрическая теория диофантовых приближений . Серия Scripta по математике. Перевод с русского и изд. Ричард А. Сильверман. С предисловием Дональда Дж. Ньюмана. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-470-26706-2 . МР   0548467 . Збл   0482.10047 .
• Туэ, А. (1909). «О приближениях алгебраических чисел» . Журнал чистой и прикладной математики . 1909 (135): 284–305. дои : 10.1515/crll.1909.135.284 . ISSN   0075-4102 . S2CID   125903243 .

Внешние ссылки

• Диофантово приближение: исторический обзор. Архивировано 14 февраля 2012 г. в Wayback Machine . Из «Введение в диофантовые методы» курса Мишеля Вальдшмидта .
• «Диофантовые приближения» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]