Гипотеза Литтлвуда
В математике гипотеза Литтлвуда является открытой проблемой (по состоянию на апрель 2024 г.). [update]) в диофантовом приближении , предложенном Джоном Иденсором Литтлвудом примерно в 1930 году. В нем говорится, что для любых двух действительных чисел α и β,
где — расстояние до ближайшего целого числа.
Формулировка и пояснение [ править ]
Это означает следующее: возьмем точку ( α , β ) на плоскости, а затем рассмотрим последовательность точек
- (2 а , 2 б ), (3 а , 3 б ), ... .
Для каждого из них умножьте расстояние до ближайшей линии с целочисленной координатой x на расстояние до ближайшей линии с целочисленной координатой y . Это произведение наверняка будет максимум 1/4. Гипотеза не делает никаких заявлений о том, будет ли сходиться эта последовательность значений ; на самом деле обычно это не так. В гипотезе говорится что-то о нижнем пределе и говорится, что существует подпоследовательность, для которой расстояния затухают быстрее, чем обратное, т. е.
- о(1/ п )
Связь с дальнейшими предположениями [ править ]
Известно, что это следует из результата в геометрии чисел о минимуме в ненулевой точке решетки произведения трех линейных форм с тремя действительными переменными: импликация была показана в 1955 году Касселсом и Суиннертоном-Дайером. . [1] Это можно сформулировать и по-другому, в терминах теории групп. Теперь существует еще одна гипотеза, которая, как ожидается, будет верной для n ≥ 3: она сформулирована в терминах G = SL n ( R ), Γ = SL n ( Z ) и подгруппы D диагональных матриц в G .
Гипотеза : для любого g из G /Γ такого, что Dg ( относительно компактен в G /Γ), то Dg замкнут.
Это, в свою очередь, является частным случаем общей гипотезы Маргулиса о группах Ли .
Частичные результаты [ править ]
В 1909 году Борель показал, что исключительное множество вещественных пар (α,β), нарушающее утверждение гипотезы, имеет нулевую меру Лебега . [2] Манфред Эйнзидлер , Анатоль Каток и Илон Линденштраусс показали [3] что он должен иметь хаусдорфову размерность ; нулевую [4] и фактически представляет собой объединение счетного числа компактов ящиков нулевой размерности со счетом . Результат был доказан с использованием теоремы классификации мер для диагонализируемых действий групп более высокого ранга, а также теоремы об изоляции , доказанной Линденштраусом и Бараком Вайсом.
Эти результаты подразумевают, что нетривиальные пары, удовлетворяющие этой гипотезе, существуют: действительно, для данного действительного числа α такого, что , можно построить явный β такой, что (α,β) удовлетворяет гипотезе. [5]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ JWS Кассельс; HPF Суиннертон-Дайер (23 июня 1955 г.). «О произведении трех однородных линейных форм и неопределенных троичных квадратичных форм». Философские труды Королевского общества А. 248 (940): 73–96. Бибкод : 1955RSPTA.248...73C . дои : 10.1098/rsta.1955.0010 . JSTOR 91633 . МР 0070653 . S2CID 122708867 . Збл 0065.27905 .
- ^ Адамчевски и Бюжо (2010) стр.444
- ^ М. Эйнзидлер; А. Каток; Э. Линденштраусс (1 сентября 2006 г.). «Инвариантные меры и набор исключений из гипотезы Литтлвуда». Анналы математики . 164 (2): 513–560. arXiv : math.DS/0612721 . Бибкод : 2006math.....12721E . дои : 10.4007/анналы.2006.164.513 . МР 2247967 . S2CID 613883 . Збл 1109.22004 .
- ^ Адамчевский и Бюжо (2010) стр.445
- ^ Адамчевски и Бюжо (2010) стр.446
- Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2010). «8. Трансцендентность и диофантово приближение». В Берте, Валери ; Риго, Майкл (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 410–451. ISBN 978-0-521-51597-9 . Збл 1271.11073 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Акшай Венкатеш (29 октября 2007 г.). «Работа Эйнзидлера, Катока и Линденштрауса по гипотезе Литтлвуда» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 45 (1): 117–134. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01194-9 . МР 2358379 . Збл 1194.11075 .