Теорема Даффина – Шеффера

Теорема Кукулопулоса -Мейнарда , также известная как гипотеза Даффина-Шеффера, — это теорема математическая , в частности, диофантова аппроксимация, предложенная в качестве гипотезы Р. Дж. Даффином и А. С. Шеффером в 1941 году. ^{[ 1 ]} и доказано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом . ^{[ 2 ]} В нем говорится, что если $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ является вещественной принимающей функцией, положительные значения, то почти для всех $\alpha$ (относительно меры Лебега ) неравенство

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}

имеет бесконечно много решений в взаимно простых целых числах $p,q$ с $q>0$ тогда и только тогда, когда

\sum _{q=1}^{\infty }\varphi (q){\frac {f(q)}{q}}=\infty ,

где $\varphi (q)$ — это полная функция Эйлера .

Многомерный аналог этой гипотезы был решен Воаном и Поллингтоном в 1990 году. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Введение

То, что существование рациональных приближений влечет за собой расходимость ряда , следует из леммы Бореля–Кантелли . ^{[ 6 ]} Обратная импликация составляет суть гипотезы. ^{[ 3 ]} На сегодняшний день получено множество частичных результатов гипотезы Даффина-Шеффера. Пол Эрдеш установил в 1970 году, что гипотеза верна, если существует постоянная $c>0$ такой, что для любого целого числа $n$ у нас есть либо $f(n)=c/n$ или $f(n)=0$ . ^{[ 3 ]}^{[ 7 ]} Это было подкреплено Джеффри Ваалером в 1978 году в деле $f(n)=O(n^{-1})$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Совсем недавно эта гипотеза была подтверждена, когда существует некоторая гипотеза. $\varepsilon >0$ такой, что сериал

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty .

Это сделали Хейнс, Поллингтон и Велани. ^{[ 10 ]}

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что Хаусдорфа аналог гипотезы Даффина – Шеффера о мере эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в Annals of Mathematics . ^{[ 11 ]}

См. также

Теорема Хинчина

Примечания

^ Даффин, Р.Дж.; Шеффер, AC (1941). «Задача Хинчина в метрическом диофантовом приближении». Герцог Мат. Дж . 8 (2): 243–255. дои : 10.1215/S0012-7094-41-00818-9 . ЖФМ 67.0145.03 . Збл 0025.11002 .
^ Кукулопулос, Димитрис; Мейнард, Джеймс (2020). «О гипотезе Даффина-Шеффера» . Анналы математики . 192 (1): 251. arXiv : 1907.04593 . дои : 10.4007/анналы.2020.192.1.5 . JSTOR 10.4007/анналы.2020.192.1.5 . S2CID 195874052 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 204. ИСБН 978-0-8218-0737-8 . Збл 0814.11001 .
^ Поллингтон, AD; Воган, RC (1990). « К -мерная гипотеза Даффина – Шеффера» . Математика . 37 (2): 190–200. дои : 10.1112/s0025579300012900 . ISSN 0025-5793 . S2CID 122789762 . Збл 0715.11036 .
^ Харман (2002) с. 69
^ Харман (2002) с. 68
^ Харман (1998) с. 27
^ «Гипотеза Даффина-Шеффера» (PDF) . Математический факультет Университета штата Огайо . 9 августа 2010 г. Проверено 19 сентября 2019 г.
^ Харман (1998) с. 28
^ А. Хейнс, А. Поллингтон и С. Велани, Гипотеза Даффина-Шеффера с дополнительным расхождением , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
^ Бересневич, Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип массового переноса и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики . Вторая серия. 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . дои : 10.4007/анналы.2006.164.971 . ISSN 0003-486X . S2CID 14475449 . Збл 1148.11033 .

Ссылки

Харман, Глин (1998). Метрическая теория чисел . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 18. Оксфорд: Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-850083-4 . Збл 1081.11057 .
Харман, Глин (2002). «Сто лет нормальных цифр». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Северная Каролина ; Даймонд, ХГ; Хильдебранд, AJ; Филипп, В. (ред.). Обзоры по теории чисел: материалы тысячелетней конференции по теории чисел . Натик, Массачусетс: АК Питерс. стр. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8 . Збл 1062.11052 .

Внешние ссылки

[1] Даффин, Р.Дж.; Шеффер, AC (1941). «Задача Хинчина в метрическом диофантовом приближении». Герцог Мат. Дж . 8 (2): 243–255. дои : 10.1215/S0012-7094-41-00818-9 . ЖФМ 67.0145.03 . Збл 0025.11002 .

[:0-2] Кукулопулос, Димитрис; Мейнард, Джеймс (2020). «О гипотезе Даффина-Шеффера» . Анналы математики . 192 (1): 251. arXiv : 1907.04593 . дои : 10.4007/анналы.2020.192.1.5 . JSTOR 10.4007/анналы.2020.192.1.5 . S2CID 195874052 .

[Mon204-3] Jump up to: ^а ^б ^с Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 204. ИСБН 978-0-8218-0737-8 . Збл 0814.11001 .

[4] Поллингтон, AD; Воган, RC (1990). « К -мерная гипотеза Даффина – Шеффера» . Математика . 37 (2): 190–200. дои : 10.1112/s0025579300012900 . ISSN 0025-5793 . S2CID 122789762 . Збл 0715.11036 .

[Har0269-5] Харман (2002) с. 69

[Har0268-6] Харман (2002) с. 68

[Har27-7] Харман (1998) с. 27

[8] «Гипотеза Даффина-Шеффера» (PDF) . Математический факультет Университета штата Огайо . 9 августа 2010 г. Проверено 19 сентября 2019 г.

[Har28-9] Харман (1998) с. 28

[10] А. Хейнс, А. Поллингтон и С. Велани, Гипотеза Даффина-Шеффера с дополнительным расхождением , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234

[11] Бересневич, Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип массового переноса и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики . Вторая серия. 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . дои : 10.4007/анналы.2006.164.971 . ISSN 0003-486X . S2CID 14475449 . Збл 1148.11033 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]