Хайльброннский набор

В математике множество Хейльбронна — это бесконечное множество S натуральных чисел, для которого каждое действительное число можно сколь угодно точно аппроксимировать дробью, знаменатель которой находится S. в Для любого заданного действительного числа $\theta$ и натуральное число $h$, легко найти целое число $g$ такой, что $g/h$ ближе всего к $\theta$. Например, для действительного числа $\pi$ и $h=100$ у нас есть $g=314$. Если мы назовем близость $\theta$ к $g/h$ разница между $h\theta$ и $g$, близость всегда меньше 1/2 (в нашем примере это 0,15926...). Совокупность чисел является множеством Гейльбронна, если для любого $\theta$ мы всегда можем найти последовательность значений для $h$ в множестве, где близость стремится к нулю.

Более математически пусть $\|\alpha \|$ обозначаем расстояние от $\alpha$ до ближайшего целого числа, тогда ${\mathcal {H}}$ является множеством Гейльбронна тогда и только тогда, когда для любого действительного числа $\theta$ и каждый $\varepsilon >0$ существует $h\in {\mathcal {H}}$ такой, что $\|h\theta \|<\varepsilon$.

Примеры

Натуральные числа представляют собой множество Гейльбронна, поскольку аппроксимационная теорема Дирихле показывает, что существуют $q<[1/\varepsilon ]$ с $\|q\theta \|<\varepsilon$.

The $k$степени целых чисел являются множеством Хейльбронна. Это следует из результата И. М. Виноградова, показавшего, что для всякого $N$ и $k$ существует показатель степени $\eta _{k}>0$ и $q<N$ такой, что $\|q^{k}\theta \|\ll N^{-\eta _{k}}$. В случае $k=2$ Ганс Хейльбронн смог показать, что $\eta _{2}$ можно принять сколь угодно близкой к 1/2. Александру Захареску улучшил результат Хайльбронна, показав, что $\eta _{2}$ можно принять сколь угодно близким к 4/7.

Любой набор Ван дер Корпута также является набором Хайльбронна.

Пример набора, отличного от Хайльбронна

Степени 10 не являются набором Хайльбронна. Брать $\varepsilon =0.001$ тогда утверждение, что $\|10^{k}\theta \|<\varepsilon$ для некоторых $k$ эквивалентно утверждению, что десятичное разложение числа $\theta$ где-то набежало три нуля или три девятки. Это справедливо не для всех действительных чисел.