число Лиувилля

В теории чисел число Лиувилля является действительным числом. $x$ со свойством, что для каждого положительного целого числа $n$, существует пара целых чисел $(p,q)$ с $q>1$ такой, что

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$

Числа Лиувилля «почти рациональны » и поэтому могут быть «довольно близко» аппроксимированы последовательностями рациональных чисел. Точнее, это трансцендентные числа , которые могут быть более близко приближены рациональными числами, чем любое алгебраическое иррациональное число . В 1844 году Жозеф Лиувилль показал, что все числа Лиувилля трансцендентны. таким образом впервые доказано существование трансцендентных чисел. Известно, что π и e не являются числами Лиувилля.

Существование чисел Лиувилля (постоянная Лиувилля)

Существование чисел Лиувилля можно показать с помощью явной конструкции.

Для любого целого числа $b\geq 2$ и любая последовательность целых чисел $(a_{1},a_{2},\ldots )$ такой, что $a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}$ для всех $k$ и $a_{k}\neq 0$ для бесконечно многих $k$, определите число

$x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}$

В частном случае, когда $b=10$, и $a_{k}=1$ для всех $k$, полученное число $x$ называется постоянной Лиувилля:

$L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots$

Это следует из определения $x$ что его основа - $b$ представительство

$x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}$

где $n$этот термин находится в $n!$е место.

Поскольку эта база- $b$ представление неповторяющееся, то отсюда следует, что $x$ не является рациональным числом. Следовательно, для любого рационального числа $p/q$, $|x-p/q|>0$.

Теперь для любого целого числа $n\geq 1$, $p_{n}$ и $q_{n}$ можно определить следующим образом:

$q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}$

Затем,

$${\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}$$

Поэтому любой такой $x$ является числом Лиувилля.

Примечания к доказательству

1. Неравенство $\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}$ следует, поскольку a _k ∈ {0, 1, 2, ..., b −1} для всех k , поэтому не более a _k = b −1. Наибольшая возможная сумма была бы получена, если бы последовательность целых чисел ( a ₁ , a ₂ , ...) была ( b −1, b −1, ...), т. е. a _k = b −1, для всех k . $\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}$ таким образом, будет меньше или равна этой наибольшей возможной сумме.
2. Сильное неравенство ${\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}$ следует из мотивации исключения ряда путем сведения его к ряду, для которого известна формула. В доказательстве цель введения неравенства в № 1 исходит из интуитивного понимания того, что $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}$ ( формула геометрической прогрессии ); следовательно, если неравенство можно найти из $\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}$ который вводит ряд с ( b −1) в числителе, и если член знаменателя можно дополнительно уменьшить из $b^{k!}$к $b^{k}$, а также сдвиг индексов рядов от 0 до $\infty$, то члены ряда и ( b −1) будут исключены, приближаясь к дроби формы ${\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}$, что и является конечной целью доказательства. Здесь эта мотивация усиливается за счет выбора сейчас из суммы $\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}$ частичная сумма. Заметим, что для любого члена $\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}$, поскольку b ≥ 2, то ${\frac {b-1}{b^{k!}}}<{\frac {b-1}{b^{k}}}$, для всех k (за исключением случая, когда n =1). Поэтому, ${\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}$ (поскольку даже если n = 1, все последующие члены будут меньше). Чтобы манипулировать индексами так, чтобы k начиналось с 0, частичная сумма будет выбрана изнутри. $\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}$ (также меньше общего значения, поскольку это частичная сумма ряда, все члены которого положительны). Выберите частичную сумму, начиная с k = ( n +1)! что следует из мотивации написания новой серии с k =0, а именно из замечания, что $b^{(n+1)!}=b^{(n+1)!}b^{0}$.
3. Для окончательного неравенства ${\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}$, это конкретное неравенство было выбрано (верно, потому что b ≥ 2, где равенство следует тогда и только тогда, когда n = 1) из-за желания манипулировать ${\frac {b}{b^{(n+1)!}}}$ во что-то вроде формы ${\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}$. Это конкретное неравенство позволяет исключить ( n +1)! и числитель, используя свойство ( n +1)! – н ! = ( n !) n , тем самым приведя знаменатель в идеальную форму для замены $q_{n}=b^{n!}$.

Иррациональность

Здесь доказательство покажет, что число $~x=c/d~,$ где c и d — целые числа и $~d>0~,$ не может удовлетворять неравенствам, определяющим число Лиувилля. Поскольку любое рациональное число можно представить как таковое $~c/d~,$ доказательство покажет, что ни одно число Лиувилля не может быть рациональным .

Более конкретно, это доказательство показывает, что для любого положительного целого числа n, достаточно большого, что $~2^{n-1}>d>0~$ [эквивалентно, для любого положительного целого числа $~n>1+\log _{2}(d)~$)], нет пары целых чисел $~(\,p,\,q\,)~$ существует такое, что одновременно удовлетворяет паре скобочных неравенств

$0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.$

Если утверждение верно, то отсюда следует желаемый вывод.

Пусть p и q — любые целые числа с $~q>1~.$ Затем,

$\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}$

Если $\left|c\,q-d\,p\right|=0~,$ затем

$\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,$

означает, что такая пара целых чисел $~(\,p,\,q\,)~$ нарушило бы первое неравенство в определении числа Лиувилля независимо от любого выбора n .

Если, с другой стороны, поскольку $~\left|c\,q-d\,p\right|>0~,$ тогда, поскольку $c\,q-d\,p$ является целым числом, мы можем утверждать более точное неравенство $\left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.$ Отсюда следует, что

$\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}$

Теперь для любого целого числа $~n>1+\log _{2}(d)~,$ из последнего неравенства выше следует

$\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.$

Следовательно, в случае $~\left|c\,q-d\,p\right|>0~$ такая пара целых чисел $~(\,p,\,q\,)~$ нарушило бы второе неравенство в определении числа Лиувилля для некоторого положительного целого числа n .

Следовательно, в заключение, не существует пары целых чисел $~(\,p,\,q\,)~,$ с $~q>1~,$ это квалифицировало бы такое $~x=c/d~,$ как число Лиувилля.

Следовательно, число Лиувилля не может быть рациональным.

Несчетность

Рассмотрим число

3.1400010000000000000000050000....

3,14(3 нуля)1(17 нулей)5(95 нулей)9(599 нулей)2(4319 нулей)6...

где цифры равны нулю, за исключением позиций n ! где цифра равна n- й цифре после запятой в десятичном разложении числа π .

Как показано в разделе о существовании чисел Лиувилля , это число, а также любое другое бесконечное десятичное число с ненулевыми цифрами, расположенными аналогичным образом, удовлетворяет определению числа Лиувилля. Поскольку набор всех последовательностей ненулевых цифр имеет мощность континуума , то же самое верно и для набора всех чисел Лиувилля.

Более того, числа Лиувилля образуют плотное подмножество множества действительных чисел.

Числа Лиувилля и меры

С точки зрения теории меры множество всех чисел Лиувилля $L$ мал. Точнее, его мера Лебега , $\lambda (L)$, равен нулю. Приведенное доказательство следует некоторым идеям Джона К. Окстоби .

Для положительных целых чисел $n>2$ и $q\geq 2$ набор:

$V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)$

затем

$L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.$

Обратите внимание, что для каждого положительного целого числа $n\geq 2$ и $m\geq 1$, затем

$L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).$

С

$\left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}$

и $n>2$ затем

${\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}$

Сейчас

$\lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0$

и отсюда следует, что для каждого натурального числа $m$, $L\cap (-m,m)$ имеет нулевую меру Лебега. Следовательно, то же самое произошло $L$.

Напротив, мера Лебега множества всех действительных трансцендентных чисел бесконечна (поскольку множество алгебраических чисел представляет собой нулевое множество ).

Можно было бы показать даже больше: множество чисел Лиувилля имеет хаусдорфову размерность 0 (свойство, строго более сильное, чем наличие меры Лебега, равной 0).

Структура множества чисел Лиувилля

Для каждого положительного целого числа n установите

$~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~$

Таким образом, набор всех чисел Лиувилля можно записать как

$~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.$

Каждый $~U_{n}~$ является открытым множеством ; поскольку его замыкание содержит все рациональные числа ( $~p/q~$ из каждого проколотого интервала), это также плотное подмножество реальной линии. Поскольку это пересечение счетного числа таких открытых плотных множеств, L является совокупным , то есть плотным Gδ _- множеством.

Мера иррациональности

Мера иррациональности Лиувилля -Рота ( показатель иррациональности, показатель аппроксимации или константа Лиувилля-Рота ) действительного числа. $x$ является мерой того, насколько «точно» оно может быть аппроксимировано рациональными числами. Обобщая определение чисел Лиувилля, вместо того, чтобы допускать какие-либо $n$ во власти $q$, мы находим максимально возможное значение для $\mu$ такой, что $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ удовлетворяется бесконечным числом пар взаимно простых целых чисел $(p,q)$ с $q>0$. Это максимальное значение $\mu$ определяется как мера иррациональности $x$. На любую стоимость $\mu$ меньше этой верхней границы, бесконечное множество всех рациональных чисел $p/q$ удовлетворяющие приведенному выше неравенству, дают аппроксимацию $x$. И наоборот, если $\mu$ больше верхней границы, то существует не более конечного числа $(p,q)$ с $q>0$ которые удовлетворяют неравенству; таким образом, противоположное неравенство справедливо для всех больших значений $q$. Другими словами, учитывая меру иррациональности $\mu$ действительного числа $x$, всякий раз, когда рациональное приближение $x\approx p/q$, $p,q\in \mathbb {N}$ урожайность $n+1$ точные десятичные цифры, то

${\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}$

для любого $\varepsilon >0$, за исключением не более чем конечного числа «счастливых» пар $(p,q)$.

Как следствие аппроксимационной теоремы Дирихле, каждое иррациональное число имеет меру иррациональности не менее 2. С другой стороны, применение леммы Бореля-Кантелли показывает, что почти все числа имеют меру иррациональности, равную 2.

Ниже представлена ​​таблица известных верхних и нижних границ мер иррациональности некоторых чисел.

Число $x$	Мера иррациональности $\mu (x)$		Простая цепная дробь $[a_{0};a_{1},a_{2},...]$	Примечания
	Нижняя граница	Верхняя граница
Рациональное число ${\frac {p}{q}}$ где $p,q\in \mathbb {Z}$ и $q\neq 0$	1		Конечная цепная дробь .	Каждое рациональное число ${\frac {p}{q}}$ имеет меру иррациональности ровно 1. Примеры включают 1, 2 и 0,5.
Иррациональное алгебраическое число $a$	2		Бесконечная цепная дробь. Периодическое, если квадратично иррациональное .	По теореме Туэ-Зигеля-Рота мера иррациональности любого иррационального алгебраического числа равна точно 2. Примеры включают квадратные корни , такие как ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}}$ и ${\sqrt {5}}$ и золотое сечение $\varphi$.
$e^{2/k},k\in \mathbb {Z} ^{+}$	2		Бесконечная цепная дробь.	Если элементы $a_{n}$ разложение иррационального числа в непрерывную дробь $x$ удовлетворить $a_{n}<cn+d$ для позитива $c$ и $d$, мера иррациональности $\mu (x)=2$. Примеры включают в себя $e$ или $I_{0}(1)/I_{1}(1)$ где цепные дроби ведут себя предсказуемо: $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]$ и $I_{0}(1)/I_{1}(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]$
$\tanh \left({\frac {1}{k}}\right),k\in \mathbb {Z} ^{+}$	2
$\tan \left({\frac {1}{k}}\right),k\in \mathbb {Z} ^{+}$	2
$h_{q}(1)$	2	2.49846...	Бесконечная цепная дробь.	$q\in \{\pm 2,\pm 3,\pm 4,...\}$, $h_{q}(1)$ это $q$-гармонический ряд.
${\text{ln}}_{q}(2)$	2	2.93832...		$q\in \left\{\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {1}{4}},...\right\}$, $\ln _{q}(x)$ это $q$-логарифм.
$\ln _{q}(1-z)$	2	3.76338...		$q\in \left\{\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {1}{4}},...\right\}$, $0<|z|\leq 1$
$\ln(2)$	2	3.57455...	$[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,...]$
$\ln(3)$	2	5.11620...	$[1;10,7,9,2,2,1,3,1,1,32,...]$
$\zeta (3)$	2	5.51389...	$[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,...]$
$\pi ^{2}$ и $\zeta (2)$	2	5.09541...	$[9;1,6,1,2,47,1,8,1,1,2,...]$ и $[1;1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,...]$	$\pi ^{2}$ и $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ линейно зависят от $\mathbb {Q}$.
$\pi$	2	7.10320...	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]$	Доказано, что если сериал «Флинт-Хиллз» $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}$ (где n в радианах) сходится, то $\pi$мера иррациональности не превосходит 2,5; и что если оно расходится, то мера иррациональности будет не менее 2,5.
$\arctan(1/3)$	2	6.09675...	$[0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,...]$	По форме $\arctan(1/k)$
$\arctan(1/5)$	2	4.788...	$[0;5,15,6,3,5,3,4,2,65,1,...]$
$\arctan(1/6)$	2	6.24...	$[0;6,18,7,1,1,4,5,62,2,1,...]$
$\arctan(1/7)$	2	4.076...	$[0;7,21,8,1,3,1,8,2,6,1,...]$
$\arctan(1/10)$	2	4.595...	$[0;10,30,12,1,1,7,3,2,1,3,...]$
$\arctan(1/4)$	2	5.793...	$[0;4,12,5,12,1,1,1,3,2,1,...]$	По форме $\arctan(1/2^{k})$
$\arctan(1/8)$	2	3.673...	$[0;8,24,10,24,1,77,1,1,5,1,...]$
$\arctan(1/16)$	2	3.068...	$[0;16,48,20,49,1,4,1,3,1,1,...]$
$\pi /{\sqrt {3}}$	2	4.60105...	$[1;1,4,2,1,2,3,7,3,3,30,...]$	По форме ${\sqrt {2k-1}}\arctan \left({\frac {\sqrt {2k-1}}{k-1}}\right)$
${\sqrt {7}}\arctan({{\sqrt {7}}/3})$	2	3.94704...	$[1;1,10,2,1,1,2,3,6,1,3,...]$
${\sqrt {11}}\arctan({{\sqrt {11}}/5})$	2	3.76069...	$[1;1,16,2,1,1,3,1,6,1,24,...]$
${\sqrt {15}}\arctan({{\sqrt {15}}/7})$	2	3.66666...	$[1;1,22,2,1,1,5,2,3,10,2,...]$
${\sqrt {19}}\arctan({{\sqrt {19}}/9})$	2	3.60809...	$[1;1,28,2,1,1,6,1,72,2,1,...]$
${\sqrt {23}}\arctan({{\sqrt {23}}/11})$	2	3.56730...	$[1;1,34,2,1,1,8,1,1,5,2,...]$
${\sqrt {7}}\ln \left({\frac {4+{\sqrt {7}}}{3}}\right)$	2	6.64610...	$[2;9,1,1,2,2,8,2,1,3,2,...]$	По форме ${\sqrt {2k+1}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2k+1}}+1}{{\sqrt {2k+1}}-1}}\right)$
${\sqrt {11}}\ln \left({\frac {6+{\sqrt {11}}}{5}}\right)$	2	5.82337...	$[2;15,1,1,2,3,1,2,10,1,4,...]$
${\sqrt {13}}\ln \left({\frac {7+{\sqrt {13}}}{6}}\right)$	2	3.51433...	$[2;18,1,1,2,4,2,5,33,6,2,...]$
${\sqrt {15}}\ln \left({\frac {8+{\sqrt {15}}}{7}}\right)$	2	5.45248...	$[2;21,1,1,2,5,4,3,2,1,1,...]$
${\sqrt {17}}\ln \left({\frac {9+{\sqrt {17}}}{8}}\right)$	2	3.47834...	$[2;24,1,1,2,6,92,3,3,1,16,...]$
${\sqrt {19}}\ln \left({\frac {10+{\sqrt {19}}}{9}}\right)$	2	5.23162...	$[2;27,1,1,2,6,1,3,1,2,1,...]$
${\sqrt {21}}\ln \left({\frac {11+{\sqrt {21}}}{10}}\right)$	2	3.45356...	$[2;30,1,1,2,7,1,1,3,4,63,...]$
${\sqrt {23}}\ln \left({\frac {12+{\sqrt {23}}}{11}}\right)$	2	5.08120...	$[2;33,1,1,2,8,2,2,1,9,4,...]$
$5\ln(3/2)$	2	3.43506...	$[2;36,1,1,2,9,8,5,1,38,1,...]$
${\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\pm \ln(3)$	2	4.5586...	$[2;1,10,2,2,1,1,17,1,4,1,...]$ и $[0;1,2,1,1,22,14,3,1,1,1,...]$
${\sqrt {3}}\ln(2+{\sqrt {3}})\pm {\frac {\pi }{\sqrt {3}}}$	2	6.1382...	$[4;10,1,1,5,7,2,2,1,31,2,...]$ и $[0;2,7,7,1,1,1,3,9,9,1,...]$
$\ln(5)+{\frac {\pi }{2}}$	2	59.976...	$[3;5,1,1,4,1,2,19,1,3,...]$
$T_{2}(1/b),b\geq 2$	2	4	Бесконечная цепная дробь.	$T_{2}(1/b):=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}b^{n-1}$ где $t_{n}$ это $n$-й член последовательности Туэ–Морса .
Константы Чамперноуна $C_{b}$ в базе $b\geq 2$	$b$		Бесконечная цепная дробь.	Примеры включают в себя $C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]$
Числа Лиувилля $L$	$\infty$		Бесконечная цепная дробь, ведущая себя непредсказуемо.	Числа Лиувилля — это именно те числа, которые имеют бесконечную меру иррациональности.

База иррациональности

База иррациональности — мера иррациональности, введенная Дж. Сондоу. как мера иррациональности чисел Лиувилля. Оно определяется следующим образом:

Позволять $\alpha$ быть иррациональным числом. Если существует действительное число $\beta \geq 1$ со свойством, что для любого $\varepsilon >0$, существует целое положительное число $q(\varepsilon )$ такой, что

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}{\text{ for all integers }}p,q{\text{ with }}q\geq q(\varepsilon )$,

затем $\beta$ называется основой иррациональности $\alpha$ и представляется как $\beta (\alpha )$

Если нет такого $\beta$ существует, то $\alpha$ называется суперчислом Лиувилля .

Пример : сериал $\varepsilon _{2e}=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots$ является суперчислом Лиувилля , а ряд $\tau _{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{^{n}2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2^{2}}}}+{\frac {1}{2^{2^{2^{2}}}}}+{\frac {1}{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}+\ldots$ — число Лиувилля с основанием иррациональности 2. ( ${^{b}a}$ представляет собой тетрацию .)

Числа Лиувилля и трансцендентность

Установление того, что данное число является числом Лиувилля, дает полезный инструмент для доказательства трансцендентности данного числа. Однако не каждое трансцендентное число является числом Лиувилля. Члены разложения в непрерывную дробь каждого числа Лиувилля неограничены; используя счетный аргумент, можно затем показать, что должно существовать несчетное количество трансцендентных чисел, не являющихся числами Лиувилля. Используя явное разложение e в цепную дробь , можно показать, что e является примером трансцендентного числа, которое не является числом Лиувилля. Малер доказал в 1953 году, что π — еще один такой пример.

Доказательство начинается с установления свойства иррациональных алгебраических чисел . По сути, это свойство говорит о том, что иррациональные алгебраические числа не могут быть хорошо аппроксимированы рациональными числами, при этом условие «хорошего аппроксимации» становится более строгим для больших знаменателей. Число Лиувилля иррационально, но не обладает этим свойством, поэтому оно не может быть алгебраическим и должно быть трансцендентным. Следующая лемма обычно известна как теорема Лиувилля (о диофантовой аппроксимации) . Существует несколько результатов, известных как теорема Лиувилля .

Ниже доказательство покажет, что ни одно число Лиувилля не может быть алгебраическим.

Лемма: Если $\alpha$ является иррациональным корнем неприводимого многочлена степени $n>1$ с целыми коэффициентами, то существует действительное число $A>0$ такой, что для всех целых чисел $p,q$ с $q>0$,

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}$

Доказательство леммы: пусть $f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}$ — минимальный полином с целыми коэффициентами, такой, что $f(\alpha )=0$.

По основной теореме алгебры , $f$ имеет не более $n$ отдельные корни.
Следовательно, существует $\delta _{1}>0$ такой, что для всех $0<|x-\alpha |<\delta _{1}$ мы получаем $f(x)\neq 0$.

С $f$ представляет собой минимальный полином от $\alpha$ мы получаем $f'\!(\alpha )\neq 0$, а также $f'$ является непрерывным .
Следовательно, по теореме о крайних значениях существует $\delta _{2}>0$ и $M>0$ такой, что для всех $|x-\alpha |<\delta _{2}$ мы получаем $0<|f'\!(x)|\leq M$.

Оба условия выполняются для $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$.

Теперь позвольте ${\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )$ быть рациональным числом. Без ограничения общности можно считать, что ${\tfrac {p}{q}}<\alpha$. По теореме о среднем значении существует $x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)$ такой, что

$f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}$

С $f(\alpha )=0$ и $f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0$, обе части этого равенства отличны от нуля. В частности $|f'\!(x_{0})|>0$ и мы можем переставить:

${\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}$

Доказательство утверждения. Как следствие этой леммы, пусть x — число Лиувилля; как отмечено в тексте статьи, x тогда иррационально. Если x алгебраический, то по лемме существуют некоторое целое число n и некоторое положительное вещественное число A такие, что для всех p , q

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}$

Пусть r — целое положительное число такое, что 1/(2 ^р ) ≤ A и определим m = r + n . Поскольку x — число Лиувилля, существуют целые числа a , b с b > 1 такие, что

$\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}},$

что противоречит лемме. Следовательно, число Лиувилля не может быть алгебраическим и, следовательно, должно быть трансцендентным.

См. также

• Номер Брюно
• постоянная Маркова
• Диофантово приближение

Внешние ссылки

• Начало трансцендентных чисел