Лемма Бореля – Кантелли.

В вероятностей Бореля -Кантелли лемма представляет собой теорему о последовательностях событий теории . В общем, это результат теории меры . Она названа в честь Эмиля Бореля и Франческо Паоло Кантелли , которые сформулировали лемму в первые десятилетия 20 века. ^[1]^[2] Связанный результат, иногда называемый второй леммой Бореля-Кантелли , является частичным обращением первой леммы Бореля-Кантелли. Лемма утверждает, что при определенных условиях вероятность события будет равна нулю или единице. Соответственно, это самая известная из класса подобных теорем, известных как законы нуля или единицы. Другие примеры включают закон нуля-единицы Колмогорова и закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа .

Формулировка леммы для вероятностных пространств

Пусть E ₁ , E ₂ ,... — последовательность событий в некотором вероятностном пространстве .Лемма Бореля – Кантелли гласит: ^[3]^[4]

Лемма Бореля – Кантелли — Если сумма вероятностей событий { En _n } конечна $\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,$ то вероятность того, что их произойдет бесконечно много, равна 0, т. е. $\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.$

Здесь «lim sup» обозначает предельную верхнюю границу последовательности событий, а каждое событие представляет собой набор результатов. То есть lim sup En _— это набор результатов, которые происходят бесконечно много раз в бесконечной последовательности событий ( ) _En . Явно, $\limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.$

Множество lim sup иногда _En обозначается { En _{io} ,} где «io» означает «бесконечно часто». что если сумма вероятностей событий En _{Таким образом, теорема утверждает ,} конечна, то множество всех исходов, «повторяющихся» бесконечное число раз, должно происходить с нулевой вероятностью. Обратите внимание, что никаких предположений о независимости не требуется.

Пример

Предположим, ( X _n ) — последовательность случайных величин с Pr( X _n = 0) = 1/ n ² для каждого н . Вероятность того, что X _n = 0 произойдет для бесконечного числа n, эквивалентна вероятности пересечения бесконечного числа [ X _n = 0] событий. Пересечение бесконечного числа таких событий представляет собой совокупность общих для всех них исходов. Однако сумма ΣPr( X _n = 0) сходится к $π$ ²/6 ≈ 1,645 < ∞, и поэтому лемма Бореля – Кантелли утверждает, что набор результатов, которые являются общими для бесконечного числа таких событий, происходит с нулевой вероятностью. Следовательно, вероятность того, что X _n = 0 произойдет для бесконечного числа n, равна 0. Почти наверняка (т. е. с вероятностью 1), X _n отличен от нуля для всех, кроме конечного числа n .

Доказательство

Пусть ( En _{вероятностном} ) — последовательность событий в некотором пространстве .

Последовательность событий ${\textstyle \left\{\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right\}_{N=1}^{\infty }}$ не увеличивается: $\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=2}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=N+1}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}.$

По непрерывности свыше, $\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right).$

По субаддитивности $\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}).$

По первоначальному предположению, ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty .}$ Как сериал ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})}$ сходится, $\lim _{N\to \infty }\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})=0,$ по мере необходимости. ^[5]

Пространства общего измерения

Для общих пространств с мерой лемма Бореля–Кантелли принимает следующий вид:

Лемма Бореля – Кантелли для пространств с мерой . Пусть µ (положительная) мера на множестве X с σ-алгеброй F , и пусть ( An ₎ — последовательность в F. — Если $\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,$ затем $\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.$

Обратный результат

Связанный результат, иногда называемый второй леммой Бореля-Кантелли , является частичным обращением первой леммы Бореля-Кантелли. Лемма гласит: Если события En _То независимы : и сумма вероятностей En _есть стремится к бесконечности, то вероятность того, что произойдет бесконечное число из них, равна 1. ^[4]

Вторая лемма Бореля – Кантелли — Если $\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty$ и события $(E_{n})_{n=1}^{\infty }$ независимы, то $\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=1.$

Предположение о независимости можно ослабить до попарной независимости , но в этом случае доказательство усложняется.

Теорема о бесконечной обезьяне следует из второй леммы.

Пример

Лемму можно применить для получения теоремы о покрытии в R ^н. В частности ( Stein 1993 , лемма X.2.1), если E _j представляет собой набор измеримых по Лебегу подмножеств компактного множества в R ^н такой, что $\sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,$ тогда существует Fj _{трансляций} последовательность $F_{j}=E_{j}+x_{j}$ такой, что $\lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}$ кроме набора нулевой меры.

Доказательство

Предположим, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }$ и события $(E_{n})_{n=1}^{\infty }$ независимы. Достаточно показать, что событие, что не _En произошло для бесконечного числа значений n, имеет вероятность 0. Это просто означает, что достаточно показать, что $1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=0.$

Отмечая, что: ${\begin{aligned}1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})&=1-\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}\right)=\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)^{c}\right)=\Pr \left(\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\liminf _{n\to \infty }E_{n}^{c}\right)=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right),\end{aligned}}$ достаточно показать: ${\textstyle \Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)=0}$ . Поскольку $(E_{n})_{n=1}^{\infty }$ независимы: ${\begin{aligned}\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)&=\prod _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}^{c})\\&=\prod _{n=N}^{\infty }(1-\Pr(E_{n})).\end{aligned}}$ Тест сходимости для бесконечных произведений гарантирует, что указанное выше произведение равно 0, если ${\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})}$ расходится. Это завершает доказательство.

Аналог

Другой родственный результат — это так называемый аналог леммы Бореля–Кантелли . Это аналогЛемма в том смысле, что она дает необходимое и достаточное условие того, что limsup равен 1, путем замены предположения о независимости совершенно другим предположением, что $(A_{n})$ монотонно возрастает для достаточно больших индексов. Эта лемма говорит:

Позволять $(A_{n})$ быть таким, что $A_{k}\subseteq A_{k+1}$ ,и пусть ${\bar {A}}$ обозначаем дополнение $A$ . Тогда вероятность бесконечно многих $A_{k}$ произойти (то есть хотя бы один $A_{k}$ встречается) единица тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел $(t_{k})$ такой, что $\sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .$

Этот простой результат может быть полезен в таких задачах, как, например, связанные с вероятностью совпадения случайного процесса с выбором последовательности. $(t_{k})$ обычно это суть.

Кулинария–Камень

Позволять $(A_{n})$ быть последовательностью событий с ${\textstyle \sum \Pr(A_{n})=\infty }$ и ${\textstyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {\sum _{1\leq m,n\leq k}\Pr(A_{m}\cap A_{n})}{\left(\sum _{n=1}^{k}\Pr(A_{n})\right)^{2}}}<\infty .}$ Тогда существует положительная вероятность того, что $A_{n}$ происходят бесконечно часто.

См. также

Ссылки

^ Э. Борель, «Счетные вероятности и их арифметические приложения» Ренд. Цирк. Мачта. Палермо (2) 27 (1909) стр. 247–271.
^ Ф. П. Кантелли, «О вероятности как пределе частоты», Atti Accad. Нат. Линсеянам 26:1 (1917), стр. 39–45.
^ Кленке, Ахим (2006). Теория вероятностей . Издательство Спрингер. ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ширяев, Альберт Н. (2016). Вероятность-1: Том 1 . Тексты для аспирантов по математике. Том. 95. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-0-387-72206-1 . ISBN 978-0-387-72205-4 .
^ «Ромик, Дэн. Конспект лекций по теории вероятностей, осень 2009 г., Калифорнийский университет в Дэвисе» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 июня 2010 г.

Прохоров, А.В. (2001) [1994], «Лемма Бореля – Кантелли» , Энциклопедия математики , EMS Press
Феллер, Уильям (1961), Введение в теорию вероятностей и ее применение , John Wiley & Sons .
Штейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton University Press .
Брюсс, Ф. Томас (1980), «Аналог леммы Бореля Кантелли», J. Appl. Вероятно. , 17 : 1094–1101, номер doi : 10.2307/3213220 , JSTOR 3213220 , S2CID 250344204 .
Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Расширенная серия Даксбери, третье издание, Thomson Brooks/Cole, 2005.

Внешние ссылки

Планетное математическое доказательство. См. простое доказательство леммы Бореля Кантелли.

[1] Э. Борель, «Счетные вероятности и их арифметические приложения» Ренд. Цирк. Мачта. Палермо (2) 27 (1909) стр. 247–271.

[2] Ф. П. Кантелли, «О вероятности как пределе частоты», Atti Accad. Нат. Линсеянам 26:1 (1917), стр. 39–45.

[3] Кленке, Ахим (2006). Теория вероятностей . Издательство Спрингер. ISBN 978-1-84800-047-6 .

[:0-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ширяев, Альберт Н. (2016). Вероятность-1: Том 1 . Тексты для аспирантов по математике. Том. 95. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-0-387-72206-1 . ISBN 978-0-387-72205-4 .

[math.ucdavis.edu-5] «Ромик, Дэн. Конспект лекций по теории вероятностей, осень 2009 г., Калифорнийский университет в Дэвисе» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 июня 2010 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]