Теоретико-множественный предел

В математике предел ​ последовательности ​ множеств ​ $A_{1},A_{2},\ldots$ ( подмножества общего множества $X$) — множество, элементы которого определяются последовательностью любым из двух эквивалентных способов: (1) верхними и нижними границами последовательности, монотонно сходящимися к одному и тому же множеству (аналогично сходимости вещественнозначных последовательностей ) и (2) путем сходимости последовательности индикаторных функций , которые сами являются вещественными . Как и в случае с последовательностями других объектов, конвергенция не является обязательной или даже обычной.

В более общем смысле, снова аналогично последовательностям с действительными значениями, менее ограничительный предел нижней нижней границы и предел верхней границы заданной последовательности всегда существует и может использоваться для определения сходимости: предел существует, если предел нижней нижней границы и предел верхней границы идентичны. (См. ниже). Такие установленные пределы важны в теории меры и вероятности .

Распространенным заблуждением является то, что описанные здесь пределы нижней и верхней границы включают в себя наборы точек накопления, то есть наборы $x=\lim _{k\to \infty }x_{k},$ где каждый $x_{k}$ есть в каком-то $A_{n_{k}}.$ Это верно только в том случае, если сходимость определяется дискретной метрикой (т. е. $x_{n}\to x$ если есть $N$ такой, что $x_{n}=x$ для всех $n\geq N$). Эта статья ограничена этой ситуацией, поскольку она единственная, имеющая отношение к теории меры и вероятности. См. примеры ниже. (С другой стороны, существуют более общие топологические понятия сходимости множеств , которые включают точки накопления при различных метриках или топологиях .)

Определения

Два определения

Предположим, что $\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность множеств. Два эквивалентных определения заключаются в следующем.

• Использование объединения и пересечения : определите $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}$$ и $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}$$ Если эти два множества равны, то теоретико-множественный предел последовательности $A_{n}$ существует и равен этому общему множеству. Для получения лимита можно использовать любой из описанных выше наборов, но могут быть и другие способы достижения лимита.
• Использование индикаторных функций : пусть $\mathbb {1} _{A_{n}}(x)$ равный $1$ если $x\in A_{n},$ и $0$ в противном случае. Определять $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}}$$ и $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}},$$ где выражения внутри скобок справа представляют собой соответственно предельную нижнюю и предельную верхнюю грань действительнозначной последовательности $\mathbb {1} _{A_{n}}(x).$ Опять же, если эти два множества равны, то теоретико-множественный предел последовательности $A_{n}$ существует и равен этому общему набору, и любой набор, как описано выше, может использоваться для получения предела.

Чтобы убедиться в эквивалентности определений, рассмотрим предел нижней границы. Использование приведенного ниже закона Де Моргана объясняет, почему этого достаточно для супремума предела. Поскольку индикаторные функции принимают только значения $0$ и $1,$ $\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {1} _{A_{n}}(x)$ принимает значение $0$ только конечное число раз. Эквивалентно, ${\textstyle x\in \bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$ тогда и только тогда, когда существует $n$ так, что элемент находится в $A_{m}$ для каждого $m\geq n,$ то есть тогда и только тогда, когда $x\not \in A_{n}$ только для конечного числа $n.$ Поэтому, $x$ находится в $\liminf _{n\to \infty }A_{n}$ тогда и только тогда, когда $x$ есть во всем, кроме конечного числа $A_{n}.$ По этой причине сокращенная фраза для обозначения предельного инфимума звучит так: « $x$ находится в $A_{n}$ все, кроме конечной частоты», обычно выражается записью « $A_{n}$ абфо".

Аналогично, элемент $x$ находится в супремуме, если, независимо от того, насколько велика $n$ есть, существует $m\geq n$ так, что элемент находится в $A_{m}.$ То есть, $x$ находится в супремуме тогда и только тогда, когда $x$ находится в бесконечно многих $A_{n}.$ По этой причине сокращенная фраза для обозначения супремума предела звучит так: « $x$ находится в $A_{n}$ бесконечно часто», обычно выражается записью « $A_{n}$ ио».

Другими словами, предельная нижняя грань состоит из элементов, которые «в конечном итоге остаются навсегда» (появляются в каждом множестве через некоторое время). $n$), а предельная супремума состоит из элементов, которые «никогда не уходят навсегда» (находятся в некотором множестве после каждого $n$). Или более формально:

${\textstyle \lim _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=L\quad \Longleftrightarrow }$	для каждого $x\in L$ есть $n_{0}\in \mathbb {N}$ с $x\in A_{n}$ для всех $n\geq n_{0}$ и
	для каждого $y\in X\!\setminus \!L$ есть $p_{0}\in \mathbb {N}$ с $y\not \in A_{p}$ для всех $p\geq p_{0}$.

Монотонные последовательности

Последовательность $\left(A_{n}\right)$ называется невозрастающим, если $A_{n+1}\subseteq A_{n}$ для каждого $n,$ и неубывающая , если $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ для каждого $n.$ В каждом из этих случаев установленный предел существует. Рассмотрим, например, невозрастающую последовательность $\left(A_{n}\right).$ Затем $$\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}{\text{ and }}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=A_{n}.$$Из них следует, что $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.$$Аналогично, если $\left(A_{n}\right)$ не убывает тогда $$\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{j\geq 1}A_{j}.$$

Множество Кантора определяется таким образом.

Характеристики

• Если предел $\mathbb {1} _{A_{n}}(x),$ как $n$ уходит в бесконечность, существует для всех $x$ затем $$\lim _{n\to \infty }A_{n}=\left\{x\in X:\lim _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1\right\}.$$ В противном случае предел для $\left(A_{n}\right)$ не существует.
• Можно показать, что предельная нижняя грань содержится в верхней границе предела: $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n},$$ например, просто наблюдая за этим $x\in A_{n}$ все, кроме конечного, часто подразумевает $x\in A_{n}$ бесконечно часто.
• Используя монотонность ​ ${\textstyle B_{n}=\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$ и из ${\textstyle C_{n}=\bigcup _{j\geq n}A_{j},}$ $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}\quad {\text{ and }}\quad \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j}.$$
• Дважды используя закон Де Моргана с множеством дополнений $A^{c}:=X\setminus A,$ $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\left(\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}^{c}\right)^{c}.$$ То есть, $x\in A_{n}$ все, кроме конечной частоты, то же самое, что и $x\not \in A_{n}$ конечно часто.
• Из второго определения выше и определений предела нижней и верхней границы действительнозначной последовательности: $$\mathbb {1} _{\liminf _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\sup _{n\geq 1}\inf _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x)$$ и $$\mathbb {1} _{\limsup _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\inf _{n\geq 1}\sup _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x).$$
• Предполагать ${\mathcal {F}}$ является 𝜎-алгеброй подмножеств $X.$ То есть, ${\mathcal {F}}$ непусто счетного и замкнуто относительно дополнения, а также объединений и пересечений числа множеств. Тогда согласно первому определению, приведенному выше, если каждый $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ тогда оба $\liminf _{n\to \infty }A_{n}$ и $\limsup _{n\to \infty }A_{n}$ являются элементами ${\mathcal {F}}.$

Примеры

• Позволять $A_{n}=\left(-{\tfrac {1}{n}},1-{\tfrac {1}{n}}\right].$ Затем

$$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left[0,1-{\tfrac {1}{n}}\right]=[0,1)$$и $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{n}},1\right)=[0,1)$$так $\lim _{n\to \infty }A_{n}=[0,1)$ существует.

• Измените предыдущий пример на $A_{n}=\left({\tfrac {(-1)^{n}}{n}},1-{\tfrac {(-1)^{n}}{n}}\right].$ Затем

$$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left({\tfrac {1}{2n}},1-{\tfrac {1}{2n}}\right]=(0,1)$$и $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{2n-1}},1+{\tfrac {1}{2n-1}}\right]=[0,1],$$так $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ не существует, несмотря на то, что левый и правый концы интервалов сходятся к 0 и 1 соответственно.

• Позволять $A_{n}=\left\{0,{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {2}{n}},\ldots ,{\tfrac {n-1}{n}},1\right\}.$ Затем

$$\bigcup _{j\geq n}A_{j}=\mathbb {Q} \cap [0,1]$$— множество всех рациональных чисел от 0 до 1 (включительно), поскольку даже для $j<n$ и $0\leq k\leq j,$ ${\tfrac {k}{j}}={\tfrac {nk}{nj}}$ является элементом вышеперечисленного. Поэтому, $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\mathbb {Q} \cap [0,1].$$С другой стороны, $$\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\{0,1\},$$ что подразумевает $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\{0,1\}.$$В этом случае последовательность $A_{1},A_{2},\ldots$ не имеет предела. Обратите внимание, что $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ не является набором точек накопления, которым был бы весь интервал $[0,1]$ (по обычной евклидовой метрике ).

Вероятность использует

Установленные пределы, особенно нижний предел и верхний предел, важны для теории вероятностей и меры . Такие пределы используются для расчета (или доказательства) вероятностей и мер других, более целенаправленных множеств. Для следующего: $(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ это вероятностное пространство , что означает ${\mathcal {F}}$ является σ-алгеброй подмножеств $X$ и $\mathbb {P}$ — вероятностная мера , определенная на этой σ-алгебре. Множества в σ-алгебре известны как события .

Если $A_{1},A_{2},\ldots$ представляет собой монотонную последовательность событий в ${\mathcal {F}}$ затем $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ существует и $$\mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right).$$

Леммы Бореля – Кантелли.

Основная статья: лемма Бореля – Кантелли

В области вероятности две леммы Бореля – Кантелли могут быть полезны для демонстрации того, что последовательность событий имеет вероятность, равную 1 или 0. Утверждение первой (исходной) леммы Бореля – Кантелли имеет вид

Первая лемма Бореля – Кантелли — Если $$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)<\infty$$ затем $$\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.$$

Вторая лемма Бореля – Кантелли является частичным обращением:

Вторая лемма Бореля – Кантелли — Если $$A_{1},A_{2},\ldots$$ являются независимыми событиями и $$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)=\infty$$ затем $$\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.$$

Почти уверенная конвергенция

Одним из наиболее важных приложений вероятности является демонстрация почти наверняка сходимости последовательности случайных величин . Событие, когда последовательность случайных величин $Y_{1},Y_{2},\ldots$ сходится к другой случайной величине $Y$ формально выражается как ${\textstyle \left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}.}$ Однако было бы ошибкой писать об этом просто как о кратком обзоре событий. То есть это не то событие ${\textstyle \limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}}$! Вместо этого дополнением события является $${\begin{aligned}\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}&=\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|>{\frac {1}{k}}{\text{ for some }}k\right\}\\&=\bigcup _{k\geq 1}\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}\left\{\left|Y_{j}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\\&=\lim _{k\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}.\end{aligned}}$$Поэтому, $$\mathbb {P} \left(\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\right).$$

См. также

• Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
• Теория множеств - раздел математики, изучающий множества.