Гиппарх

Эта статья о греческом астрономе. Чтобы узнать о других значениях, см. Гиппарх (значения) .

Гиппарх
Гравюра XIX века по гравированному аметисту из драгоценных камней Понятовского. коллекции
Рожденный	в. 190 г. до н.э. Никея , Вифинское царство (современный Изник, Бурса , Турция)
Умер	в. 120 г. до н.э. (около 70 лет) Родос , Римская Республика (современная Греция)
Занятия	Астроном Математик Географ

Гиппарх ( / h ɪ ˈ p ɑːr k ə s / ; греч .: Ἵππαρχος , Hipparkhos ; ок. 190 — ок. 120 до н. э.) — греческий астроном , географ и математик . Его считают основоположником тригонометрии . но наиболее известен своим случайным открытием прецессии равноденствий . Гиппарх родился в Никее , Вифиния , и, вероятно, умер на острове Родос , Греция. Известно, что он работал астрономом между 162 и 127 годами до нашей эры.

Гиппарх считается величайшим древним астрономическим наблюдателем и, по мнению некоторых, величайшим астрономом древности . Он был первым, чьи количественные и точные модели движения Солнца и Луны сохранились . Для этого он, конечно же, использовал наблюдения и, возможно, математические методы, накопленные на протяжении веков вавилонянами и Метоном Афинским (пятый век до н.э.), Тимохарисом , Аристиллом , Аристархом Самосским и Эратосфеном , среди других.

Развил тригонометрию, построил тригонометрические таблицы , решил ряд задач сферической тригонометрии . Благодаря своим солнечным и лунным теориям и тригонометрии он, возможно, был первым, кто разработал надежный метод предсказания солнечных затмений .

Другие его известные достижения включают открытие и измерение прецессии Земли, составление первого известного полного звездного каталога западного мира и, возможно, изобретение астролябии , а также армиллярной сферы , которую он, возможно, использовал при создании звездный каталог. Гиппарха иногда называют «отцом астрономии». титул, присвоенный ему Жаном Батистом Жозефом Деламбром в 1817 году.

Жизнь и работа

Гиппарх родился в Никее ( греч . Νίκαια ), в Вифинии . Точные даты его жизни не известны, но Птолемей приписывает ему астрономические наблюдения в период с 147 по 127 год до нашей эры, причем некоторые из них утверждаются как произведенные на Родосе ; более ранние наблюдения, начиная с 162 г. до н. э., также могли быть сделаны им. Дата его рождения ( ок. 190 г. до н.э.) была рассчитана Деламбром на основе подсказок из его работы. Гиппарх, должно быть, жил где-то после 127 г. до н. э., поскольку он проанализировал и опубликовал свои наблюдения того года. Гиппарх получил информацию как из Александрии , так и из Вавилона , но неизвестно, когда и посещал ли он эти места. Считается, что он умер на острове Родос, где, по-видимому, провел большую часть своей дальнейшей жизни.

Во втором и третьем веках в его честь в Вифинии чеканили монеты , на которых было его имя и изображен земной шар .

Относительно небольшая часть прямых работ Гиппарха сохранилась до наших дней. только его комментарий к популярной астрономической поэме Арата Хотя он написал не менее четырнадцати книг, более поздние переписчики сохранили . Большая часть того, что известно о Гиппархе, взята из и » Страбона «Географии « Плиния » Естественной истории первого века; Птолемея II века Альмагест ; и дополнительные ссылки на него в четвертом веке Паппа и Теона Александрийского в их комментариях к Альмагесту .

Единственная сохранившаяся работа Гиппарха — « Комментарий к явлениям Евдокса и Арата» ( греч . Τῶν Ἀράτου καὶ Εὐδόξου φαινομένων ἐξήγησις ). Это весьма критический комментарий в виде двух книг на популярное стихотворение Арата , основанное на произведении Евдокса . Гиппарх также составил список своих основных произведений, в которых, по-видимому, упоминается около четырнадцати книг, но который известен только по ссылкам более поздних авторов. Его знаменитый звездный каталог был включен в каталог Птолемея и может быть почти идеально реконструирован путем вычитания двух и двух третей градусов из долготы звезд Птолемея. Первую тригонометрическую таблицу, по-видимому, составил Гиппарх, которого теперь называют «отцом тригонометрии».

Вавилонские источники

Дополнительная информация: вавилонская астрономия.

Более ранние греческие астрономы и математики в некоторой степени находились под влиянием вавилонской астрономии, например, соотношения периодов цикла Метона и цикла Сароса , возможно, пришли из вавилонских источников (см. « Вавилонские астрономические дневники »). Гиппарх, похоже, был первым, кто систематически использовал вавилонские астрономические знания и методы. Евдокс в 4 веке до нашей эры, а Тимохарис и Аристилл в 3 веке до нашей эры уже разделили эклиптику на 360 частей (наши градусы , греческий: мойра) по 60 угловых минут , и Гиппарх продолжил эту традицию. Лишь во времена Гиппарха (2 век до н.э.) это деление было введено (вероятно, современником Гиппарха Гипсиклом) для всех направлений математики. Эратосфен (3 век до н. э.), напротив, использовал более простую шестидесятеричную систему, делившую круг на 60 частей. Гиппарх также принял вавилонскую астрономическую локтя единицу ( аккадский ammatu , греческий πῆχυς pēchys ), которая была эквивалентна 2° или 2,5° («большой локоть»).

Гиппарх, вероятно, составил список вавилонских астрономических наблюдений; Джеральд Дж. Тумер , историк астрономии, предположил, что знания Птолемея о записях затмений и других вавилонских наблюдениях в Альмагесте произошли из списка, составленного Гиппархом. Использование Гиппархом вавилонских источников всегда было известно в общих чертах благодаря утверждениям Птолемея, но единственный сохранившийся текст Гиппарха не дает достаточной информации, чтобы решить, были ли знания Гиппарха (например, использование им единиц локтя и пальца, градусов) и минуты, или концепция часовых звезд) была основана на вавилонской практике. Однако Франц Ксавер Куглер продемонстрировал, что синодический и аномалистический периоды, которые Птолемей приписывает Гиппарху, уже использовались в вавилонских эфемеридах , в частности в сборнике текстов, ныне называемом «Системой Б» (иногда приписываемом Кидинну ).

лунный период Гиппарха Длинный драконический (5458 месяцев = 5923 лунных узловых периода) также несколько раз упоминается в вавилонских записях . Но единственная такая табличка, датированная явно, относится к периоду после Гиппарха, поэтому направление передачи на табличках не установлено.

Геометрия, тригонометрия и другие математические методы

Гиппарх был признан первым известным математиком, обладавшим тригонометрической таблицей , которая понадобилась ему при вычислении эксцентриситета орбит . Луны и Солнца Он свел в таблицу значения функции хорды , которая для центрального угла в круге дает длину отрезка прямой между точками, в которых угол пересекает круг. Возможно, он вычислил это для круга с длиной окружности 21 600 единиц и радиусом (округленным) 3 438 единиц; этот круг имеет единичную длину для каждой угловой минуты по его периметру. (Это было «доказано» Тумером, но позже он «поставил под сомнение» свое прежнее утверждение. Другие авторы утверждали, что вместо этого Гиппарх мог использовать круг радиусом 3600 единиц. ) Он составил таблицу хорд для углов с шагом 7,5°. Говоря современным языком, хорда, образованная центральным углом в круге заданного радиуса R, равна R , умноженному на удвоенный синус половины угла, то есть:

$\operatorname {chord} \theta =2R\cdot \sin {\tfrac {1}{2}}\theta$

Ныне утерянная работа, в которой Гиппарх, как говорят, разработал свою таблицу аккордов, называется Tōn en kuklōi eutheiōn ( «Линии внутри круга ») в комментарии Теона Александрийского четвертого века к разделу I.10 Альмагеста . Некоторые утверждают, что таблица Гиппарха, возможно, сохранилась в астрономических трактатах Индии, таких как « Сурья Сиддханта» . Тригонометрия была значительным нововведением, поскольку она позволяла греческим астрономам решать любой треугольник и делать количественные астрономические модели и прогнозы, используя предпочитаемые ими геометрические методы.

Гиппарх, должно быть, использовал лучшее приближение для числа π, чем то, которое дал Архимед между 3 + 10 ⁄ 71 (≈ 3,1408) и 3 + 1/7 . ) (≈ 3,1429 Возможно, у него было приближение, позднее использованное Птолемеем, шестидесятеричное 3;08,30 (≈ 3,1417) ( Альмагест VI.7).

Гиппарх мог построить свою таблицу аккордов, используя теорему Пифагора и теорему, известную Архимеду. Он также мог использовать соотношение между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника , которое сегодня называется теоремой Птолемея , поскольку ее самым ранним дошедшим до нас источником является доказательство в Альмагесте (I.10).

Стереографическая проекция была неоднозначно приписана Гиппарху Синезием (ок. 400 г. н. э.), и на этом основании Гиппарху часто приписывают ее изобретение или, по крайней мере, знание о ней. Однако некоторые ученые считают этот вывод необоснованным имеющимися доказательствами. Самое старое из сохранившихся описаний стереографической проекции находится в ( Птолемея «Планисфере» 2 век нашей эры).

Помимо геометрии, Гиппарх также использовал арифметические приемы, разработанные халдеями . Он был одним из первых греческих математиков, сделавших это, и таким образом расширил методы, доступные астрономам и географам.

Есть несколько указаний на то, что Гиппарх знал сферическую тригонометрию, но первый сохранившийся текст, обсуждающий ее, принадлежит Менелаю Александрийскому в первом веке, которому сейчас на этом основании обычно приписывают ее открытие. (До открытия доказательств Менелая столетие назад Птолемею приписывали изобретение сферической тригонометрии.) Позже Птолемей использовал сферическую тригонометрию для вычисления таких вещей, как точки восхода и захода эклиптики , или для учета лунный параллакс . Если бы он не использовал сферическую тригонометрию, Гиппарх, возможно, использовал бы для этих задач глобус, считывая значения с нарисованных на нем координатных сеток, или он мог делать приближения из плоской геометрии или, возможно, использовать арифметические приближения, разработанные халдеями.

Теория Луны и Солнца

Геометрическая конструкция, использованная Гиппархом при определении расстояний до Солнца и Луны.

Движение Луны

Дополнительная информация: Лунная теория и орбита Луны.

Гиппарх также изучил движение Луны и подтвердил точные значения двух периодов ее движения, которыми, как многие полагают, халдейские астрономы обладали до него. Традиционное значение (из вавилонской системы Б) среднего синодического месяца составляет 29 дней; 31,50,8,20 (шестидесятеричный) = 29,5305941... дней. Выражается как 29 дней + 12 часов + 793/1080 Это часов . значение позднее было использовано в еврейском календаре . Халдеи также знали, что 251 синодический месяц ≈ 269 аномалистических месяцев . Гиппарх использовал кратность этого периода в 17 раз, поскольку этот интервал также является периодом затмения и также близок к целому числу лет (4267 лун: 4573 аномалистических периода: 4630,53 узловых периода: 4611,98 лунных орбит: 344,996 лет). : 344,982 солнечных орбиты: 126 007,003 дня: 126 351,985 оборотов). Что было таким исключительным и полезным в этом цикле, так это то, что все пары затмений с интервалом в 345 лет происходят с интервалом чуть более 126 007 дней в пределах узкого диапазона всего лишь приблизительно ± 1 ⁄ часа , гарантируя (после деления на 4267) оценку синодического месяца с точностью до одной части порядка 10 миллионов.

Гиппарх мог подтвердить свои расчеты, сравнив затмения своего времени (предположительно 27 января 141 г. до н. э. и 26 ноября 139 г. до н. э., согласно Тумеру). ) с затмениями из вавилонских записей 345 лет назад ( Альмагест IV.2 ).

Позже аль-Бируни ( Канун VII.2.II) и Коперник ( de Revolutionibus IV.4) отметили, что период в 4267 лун примерно на пять минут длиннее значения периода затмения, которое Птолемей приписывает Гиппарху. Однако методы расчета времени вавилонян имели погрешность не менее восьми минут. Современные ученые согласны с тем, что Гиппарх округлил период затмения до ближайшего часа и использовал его для подтверждения обоснованности традиционных ценностей, а не для того, чтобы попытаться получить уточненное значение на основе своих собственных наблюдений. Из современных эфемерид и учитывая изменение длины дня (см. ΔT ), мы оцениваем, что ошибка предполагаемой длины синодического месяца составляла менее 0,2 секунды в четвертом веке до нашей эры и менее 0,1 секунды во времена Гиппарха.

Орбита Луны

Давно было известно, что движение Луны неравномерно: ее скорость различна. Это называется его аномалией и повторяется со своим периодом; аномалистический месяц . Халдеи учли это арифметически и использовали таблицу, показывающую суточное движение Луны по дате в течение длительного периода. Однако греки предпочитали мыслить геометрическими моделями неба. В конце третьего века до нашей эры Аполлоний Пергский предложил две модели движения Луны и планет:

1. В первом случае Луна двигалась бы равномерно по кругу, а Земля находилась бы эксцентрично, т. е. на некотором расстоянии от центра круга. Таким образом, видимая угловая скорость Луны (и расстояние до нее) будет меняться.
2. Луна будет двигаться равномерно (с некоторым средним движением в аномалии) по вторичной круговой орбите, называемой эпициклом , который будет двигаться равномерно (с некоторым средним движением по долготе) по основной круговой орбите вокруг Земли, называемой деферентной ; см. деферент и эпицикл .

Аполлоний продемонстрировал, что эти две модели на самом деле математически эквивалентны. Однако все это было теорией и не было реализовано на практике. Гиппарх — первый известный астроном, попытавшийся определить относительные пропорции и действительные размеры этих орбит. Гиппарх разработал геометрический метод определения параметров по трем положениям Луны в определенные фазы ее аномалии. Фактически, он сделал это отдельно для модели эксцентрика и эпицикла. Подробности Птолемей описывает в « Альмагесте IV.11». Гиппарх использовал две серии по три наблюдения лунных затмений, которые он тщательно отобрал, чтобы удовлетворить требованиям. Эксцентричная модель, которую он подобрал для этих затмений из своего вавилонского списка затмений: 22/23 декабря 383 г. до н.э., 18/19 июня 382 г. до н.э. и 12/13 декабря 382 г. до н.э. Модель эпицикла, которую он приспособил к наблюдениям лунного затмения, сделанным в Александрии 22 сентября 201 г. до н.э., 19 марта 200 г. до н.э. и 11 сентября 200 г. до н.э.

• Для эксцентрической модели Гиппарх нашел соотношение между радиусом эксцентра и расстоянием между центром эксцентра и центром эклиптики (т. е. наблюдателем на Земле): 3144: 327 + 2 ⁄ 3 ;
• а для модели эпицикла – соотношение радиуса деферента и эпицикла: 3122 + 1 ⁄ 2  : 247 + 1 ⁄ 2 .

Эти цифры обусловлены громоздкими единицами измерения, которые он использовал в своей таблице аккордов, и могут частично быть следствием некоторых небрежных ошибок округления и вычислений Гиппарха, за которые Птолемей критиковал его, а также допустил ошибки округления. Более простая альтернативная реконструкция согласен со всеми четырьмя цифрами. Гиппарх нашел противоречивые результаты; позже он использовал соотношение модели эпицикла ( 3122 + 1 ⁄ 2  : 247 + 1/2 ) . ), что слишком мало (60:4;45 шестидесятеричное Птолемей установил соотношение 60: 5 + 1 ⁄ 4 . (Максимальное угловое отклонение, допускаемое этой геометрией, представляет собой арксисин 5 + 1 ⁄ 4, разделенное на 60, или примерно 5 ° 1 ', цифра, которую иногда поэтому цитируют как эквивалент уравнения центра Луны в модели Гиппархана.)

Видимое движение Солнца

До Гиппарха Метон , Евктемон и их ученики в Афинах провели наблюдение солнцестояния (т. е. определили момент летнего солнцестояния ) 27 июня 432 г. до н.э. ( предшествующий юлианскому календарю ). Говорят, что Аристарх Самосский сделал это в 280 г. до н. э., а у Гиппарха также было наблюдение Архимеда . Он наблюдал летнее солнцестояние в 146 и 135 годах до нашей эры с точностью до нескольких часов, но наблюдения момента равноденствия были проще, и за свою жизнь он сделал двадцать таких наблюдений. Птолемей подробно обсуждает работу Гиппарха о продолжительности года в Альмагесте III.1 и цитирует многие наблюдения, которые Гиппарх сделал или использовал, охватывая 162–128 гг. До н.э., включая время равноденствия Гиппарха (24 марта 146 г. рассвет), что отличается на 5 часов от наблюдений, сделанных на Александрии большом общественном экваториальном кольце в тот же день (за 1 час до полудня). Птолемей утверждает, что его наблюдения за Солнцем проводились с помощью транзитного прибора, установленного на меридиане.

В конце своей карьеры Гиппарх написал книгу под названием Peri eniausíou megéthous («О длине года»), посвященную своим результатам. Установленное значение тропического года , введенное Каллиппом примерно в 330 г. до н.э., было 365 + 1 / 4 дня. Предположение о вавилонском происхождении каллиппического года трудно обосновать, поскольку в Вавилоне не наблюдалось солнцестояний, поэтому единственная сохранившаяся продолжительность года в системе B была основана на греческих солнцестояниях (см. Ниже). Наблюдения за равноденствием Гиппарха дали разные результаты, но он указывает (цитируется в Альмагесте III.1(H195)), что ошибки наблюдений, сделанные им и его предшественниками, могли быть столь же велики, как и его предшественники. 1 ⁄ дня . Он использовал старые наблюдения за солнцестоянием и определил разницу примерно в один день примерно за 300 лет. Поэтому он установил продолжительность тропического года 365 + 1 ⁄ 4 − 1 ⁄ 300 суток (= 365,24666... ​​суток = 365 суток 5 часов 55 минут, что отличается от современной оценки величины (с учетом ускорения вращения Земли), при его времени примерно 365,2425 суток, погрешность примерно 6 мин на год, час за десятилетие и десять часов за столетие.

Между наблюдением Метона и его собственным солнцестоянием прошло 297 лет, охватывающих 108 478 дней; это подразумевает тропический год продолжительностью 365,24579... дней = 365 дней; 14,44,51 (шестидесятеричный; = 365 дней + 14 / 60 + 44 / 60 ² + 51 / 60 ³ ), длиной в год, найденной на одной из немногих вавилонских глиняных табличек, на которой явно указан месяц системы B. Вопрос о том, знали ли вавилоняне о работе Гиппарха или наоборот, остается спорным.

Другое значение года, приписываемое Гиппарху (астрологом Веттием Валентом в первом веке), составляет 365+. 1 / 4 + 1/288 дней (= 365,25347 ... дней = 365 дней 6 часов 5 минут), но это может быть искажением другого значения, приписываемого вавилонскому источнику: 365 + 1 / 4 + 1/144 ... дня (= 365,25694 дня = 365 дней 6 часов 10 мин). Неясно, будет ли это значением для сидерического года в его время или современной оценкой примерно 365,2565 дней, но разница со значением Гиппарха для тропического года согласуется с его скоростью прецессии (см. Ниже).

Орбита Солнца

До Гиппарха астрономы знали, что продолжительность времен года не одинакова. Гиппарх проводил наблюдения за равноденствием и солнцестоянием и, согласно Птолемею ( Альмагест III.4), определил, что весна (от весеннего равноденствия до летнего солнцестояния) длилась 94 года. 1 ⁄ дня и лето (от летнего солнцестояния до осеннего равноденствия) 92 + 1 / 2 дня. Это несовместимо с предпосылкой о том, что Солнце движется вокруг Земли по кругу с одинаковой скоростью. Решение Гиппарха заключалось в том, чтобы поместить Землю не в центр движения Солнца, а на некотором расстоянии от центра. Эта модель довольно хорошо описывала видимое движение Солнца. Сегодня известно, что планеты , включая Землю, движутся по приблизительным эллипсам вокруг Солнца , но это не было обнаружено до тех пор, пока Иоганн Кеплер не опубликовал свои первые два закона движения планет в 1609 году. Значение эксцентриситета, приписываемого Гиппарху Птолемеем, составляет что смещение 1/24 будет 65,5 радиуса орбиты (что немного велико), а направление апогея на ° долготы от точки весеннего равноденствия . Гиппарх, возможно, также использовал другие наборы наблюдений, которые привели бы к другим значениям. Солнечная долгота одного из двух его трех затмений соответствует тому, что он первоначально принял неточные значения длины весны и лета затмений. 95 + 3 ⁄ 4 и 91 + 1 / 4 дня. Другая его тройка солнечных позиций согласуется с 94 + 1 ⁄ 4 и 92 + 1 ⁄ дня , улучшение результатов( 94 + 1 ⁄ 2 и 92 + 1 ⁄ дня) , приписываемый Птолемеем Гиппарху. Птолемей не внес никаких изменений три столетия спустя и выразил продолжительность осеннего и зимнего сезонов, которые уже были подразумеваемы (как показано, например, А. Аабоэ ).

Расстояние, параллакс, размер Луны и Солнца

Основная статья: О размерах и расстояниях (Гиппарх)

Схема, использованная при реконструкции одного из методов Гиппарха определения расстояния до Луны. Это представляет систему Земля-Луна во время частичного солнечного затмения в точке A ( Александрия ) и полного солнечного затмения в точке H ( Геллеспонт ).

Гиппарх также предпринял попытку найти расстояния и размеры Солнца и Луны в ныне утерянной работе « О размерах и расстояниях» ( греч . Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων Peri megethon kai apostematon ). Его работа упоминается в Альмагесте Птолемея V.11 и в комментарии к нему Паппа ; Теон Смирнский (II век) также упоминает эту работу под названием « О размерах и расстояниях Солнца и Луны» .

Гиппарх измерил видимые диаметры Солнца и Луны с помощью своей диоптрии . Как и другие ученые до и после него, он обнаружил, что размер Луны меняется по мере ее движения по своей (эксцентрической) орбите, но не обнаружил заметных изменений в видимом диаметре Солнца. Он обнаружил, что на среднем расстоянии от Луны Солнце и Луна имеют одинаковый видимый диаметр; на этом расстоянии диаметр Луны укладывается в круг 650 раз, т. е. средние видимые диаметры равны 360 ⁄ 650 = 0°33′14″.

Как и другие до и после него, он также заметил, что Луна имеет заметный параллакс , т. е. кажется, что она смещена от своего расчетного положения (по сравнению с Солнцем или звездами ), и эта разница тем больше, чем ближе к горизонту. Он знал, что это происходит потому, что в существовавших на тот момент моделях Луна вращается вокруг центра Земли, а наблюдатель находится на поверхности — Луна, Земля и наблюдатель образуют треугольник с острым углом, который все время меняется. По размеру этого параллакса расстояние до Луны, измеренное в радиусах можно определить Земли. Однако для Солнца не было наблюдаемого параллакса (теперь мы знаем, что он примерно в 8,8 дюйма, в несколько раз меньше разрешения невооруженного глаза).

В первой книге Гиппарх предполагает, что параллакс Солнца равен 0, как будто оно находится на бесконечном расстоянии. Затем он проанализировал солнечное затмение, которое, по мнению Тумера, было затмением 14 марта 190 г. до н.э. Всего оно было в районе Геллеспонта ( и в месте его рождения, Никее); в то время, когда Тумер предполагает, что римляне готовились к войне с Антиохом III в этом районе, и затмение упоминается Ливием в его Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Это также наблюдалось в Александрии, где, как сообщалось, Солнце было закрыто Луной на 4/5. Александрия и Никея находятся на одном меридиане. Александрия находится примерно на 31° северной широты, а область Геллеспонта — примерно на 40° северной широты. (Утверждалось, что такие авторы, как Страбон и Птолемей, имели довольно приличные значения для этих географических положений, поэтому Гиппарх, должно быть, тоже знал их. Однако широты Страбона, зависящие от Гиппарха, для этого региона по крайней мере на 1 ° выше, и Птолемей, похоже, копирует Гиппарх мог нарисовать треугольник, образованный двумя местами и Луной, и на основе простой геометрии смог установить расстояние до Луны, выраженное в радиусах Земли. Поскольку затмение произошло утром, Луны не было в меридиан , и было высказано предположение, что, как следствие, расстояние, найденное Гиппархом, было нижним пределом. Во всяком случае, по словам Паппа, Гиппарх нашел, что наименьшее расстояние составляет 71 (от этого затмения), а наибольшее 83 земных радиуса.

Во второй книге Гиппарх исходит из противоположного крайнего предположения: он приписывает (минимальное) расстояние до Солнца в 490 земных радиусов. Это соответствовало бы параллаксу 7', который, по-видимому, является самым большим параллаксом, который, как думал Гиппарх, не был бы замечен (для сравнения: типичное разрешение человеческого глаза составляет около 2'; Тихо Браге проводил наблюдения невооруженным глазом с точностью до 1'). В этом случае тень Земли представляет собой конус, а не цилиндр , как в первом предположении. Гиппарх заметил (при лунных затмениях), что на среднем расстоянии от Луны диаметр теневого конуса равен 2 + 1 ⁄ 2 лунных диаметра. Этот видимый диаметр, как он заметил, составляет 360/650 ​ градусов . Используя эти значения и простую геометрию, Гиппарх мог определить среднее расстояние; поскольку оно было рассчитано для минимального расстояния до Солнца, это максимально возможное среднее расстояние до Луны. С его значением эксцентриситета орбиты он мог также вычислить наименьшее и наибольшее расстояния до Луны. По словам Паппа, он нашел наименьшее расстояние, равное 62, то есть среднее значение 67 + 1 ⁄ 3 и, следовательно, наибольшее расстояние 72 + 2/3 Земли радиуса . При использовании этого метода, когда параллакс Солнца уменьшается (т. е. увеличивается расстояние до него), минимальный предел среднего расстояния составляет 59 радиусов Земли — именно то среднее расстояние, которое позже получил Птолемей.

Таким образом, Гиппарх получил проблематичный результат: его минимальное расстояние (из книги 1) было больше, чем его максимальное среднее расстояние (из книги 2). Он был интеллектуально честен в отношении этого несоответствия и, вероятно, понимал, что особенно первый метод очень чувствителен к точности наблюдений и параметров. (На самом деле, современные расчеты показывают, что размер солнечного затмения 189 г. до н.э. в Александрии, должно быть, был ближе к 9 ⁄ 10 тыс. и не заявлено 4 ⁄ 5 тыс., доля, более точно соответствующая степени полноты затмений в Александрии, произошедших в 310 и 129 гг. вычисления.)

Позже Птолемей непосредственно измерил лунный параллакс ( Альмагест V.13) и использовал второй метод Гиппарха с лунными затмениями для вычисления расстояния до Солнца ( Альмагест V.15). Он критикует Гиппарха за противоречивые предположения и получение противоречивых результатов ( Альмагест V.11): но, по-видимому, он не смог понять стратегию Гиппарха по установлению пределов, соответствующих наблюдениям, а не единственному значению расстояния. Его результаты на данный момент были лучшими: фактическое среднее расстояние до Луны составляет 60,3 земного радиуса, что находится в пределах, установленных во второй книге Гиппарха.

Теон Смирнский писал, что, по мнению Гиппарха, Солнце в 1880 раз больше Земли, а Земля в двадцать семь раз больше Луны; видимо речь идет об объемах , а не о диаметрах . Из геометрии книги 2 следует, что Солнце находится на расстоянии 2550 радиусов Земли, а среднее расстояние до Луны равно 60 + 1 ⁄ 2 радиуса. Точно так же Клеомед цитирует Гиппарха о размерах Солнца и Земли как 1050:1; это приводит к тому, что среднее расстояние до Луны составляет 61 радиус. Очевидно, Гиппарх позже усовершенствовал свои вычисления и получил точные отдельные значения, которые он мог использовать для предсказаний солнечных затмений.

См. Toomer (1974) для более подробного обсуждения.

Затмения

Плиний ( Naturalis Historia II.X) сообщает нам, что Гиппарх продемонстрировал, что лунные затмения могут происходить с интервалом в пять месяцев, а солнечные затмения — через семь месяцев (вместо обычных шести месяцев); а Солнце может скрываться дважды за тридцать дней, но так, как его видят разные народы. Птолемей подробно обсудил это столетие спустя в «Альмагесте VI.6». Геометрия и пределы положений Солнца и Луны, когда возможно солнечное или лунное затмение, объяснены в Альмагесте VI.5. Гиппарх, по-видимому, произвел аналогичные расчеты. Результат, что два солнечных затмения могут произойти с интервалом в месяц, важен, потому что это не может быть основано на наблюдениях: одно видно в северном, а другое в южном полушарии - как указывает Плиний - и последнее было недоступно греку.

Предсказание солнечного затмения, т. е. того, когда и где оно будет видно, требует основательной теории Луны и правильного подхода к лунному параллаксу. Гиппарх, должно быть, был первым, кто смог это сделать. Строгое рассмотрение требует сферической тригонометрии , поэтому те, кто уверен, что у Гиппарха ее не было, должны предположить, что он, возможно, обходился плоскими приближениями. Возможно, он обсуждал эти вещи в Perí tēs katá platos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs («О ежемесячном движении Луны по широте»), работе, упомянутой в Суде .

Плиний также отмечает, что «он также обнаружил, по какой именно причине, хотя тень, вызывающая затмение, должна начиная с восхода солнца находиться под землей, однажды в прошлом случилось так, что Луна затмилась на западе, в то время как оба светила были видны над землей». (перевод Х. Рэкхема (1938), Loeb Classical Library 330 стр. 207). Тумер утверждал, что это должно относиться к большому полному лунному затмению 26 ноября 139 г. до н.э., когда над чистым морским горизонтом, видимым с Родоса, Луна затмилась на северо-западе сразу после того, как Солнце взошло на юго-востоке. Это будет второе затмение из 345-летнего интервала, который Гиппарх использовал для проверки традиционных вавилонских периодов: это указывает на позднюю дату развития лунной теории Гиппарха. Мы не знаем, какую «точную причину» нашел Гиппарх, увидев затмение Луны, хотя она, очевидно, не находилась в точной оппозиции к Солнцу. Параллакс снижает высоту светил; рефракция их поднимает, а с высокой точки зрения горизонт опускается.

Астрономические инструменты и астрометрия

Гиппарх и его предшественники использовали для астрономических расчетов и наблюдений различные инструменты, такие как гномон , астролябия и армиллярная сфера .

Гиппарху приписывают изобретение или усовершенствование нескольких астрономических инструментов, которые долгое время использовались для наблюдений невооруженным глазом. Согласно Синезию Птолемаиду (4 век), он сделал первую астролябию : это могла быть армиллярная сфера (которую, однако, Птолемей, по словам Птолемея, построил в Альмагесте V.1); или предшественник планарного инструмента, называемого астролябией (также упоминается Теоном Александрийским ). С помощью астролябии Гиппарх первым смог измерить географическую широту и время, наблюдая за неподвижными звездами. Раньше это делалось днем, измеряя тень, отбрасываемую гномоном, записывая продолжительность самого длинного дня в году или с помощью портативного прибора, известного как скаф .

Экваториальное кольцо времен Гиппарха.

Птолемей упоминает ( Альмагест V.14), что он использовал аналогичный Гиппарху инструмент, называемый диоптрой , для измерения видимого диаметра Солнца и Луны. Его описал Папп Александрийский (в своем комментарии к « Альмагесту» этой главы), как и Прокл ( «Гипотипоз IV»). Это был четырехфутовый стержень со шкалой, смотровым отверстием на одном конце и клином, который можно было перемещать по стержню, чтобы точно закрыть диск Солнца или Луны.

Гиппарх также наблюдал солнечные равноденствия , что можно сделать с помощью экваториального кольца : его тень падает на себя, когда Солнце находится на экваторе (т. е. в одной из точек равноденствия на эклиптике ), но тень падает выше или ниже противоположной сторону кольца, когда Солнце находится к югу или северу от экватора. Птолемей цитирует (в Альмагесте III.1 (H195)) описание Гиппархом экваториального кольца в Александрии; чуть дальше он описывает два таких инструмента, существовавших в Александрии в его время.

Гиппарх применил свои знания о сферических углах к проблеме обозначения мест на поверхности Земли. До него сетку использовал Дикеарх из Мессаны , но Гиппарх был первым, кто применил математическую строгость для определения широты и долготы мест на Земле. Гиппарх в трех книгах написал критику творчества географа Эратосфена Киренского (3 век до н.э.), названную Pròs tèn Eratosthénous geographían («Против географии Эратосфена»). Оно известно нам от Страбона Амасейского, который, в свою очередь, критиковал Гиппарха в своей «Географии» . Гиппарх, по-видимому, внес множество подробных исправлений в места и расстояния, упомянутые Эратосфеном. Кажется, он не внес много усовершенствований в методы, но предложил способ определения географической долготы различных городов во время лунных затмений (Strabo Geographia , 1 января 2012 г.). Лунное затмение видно одновременно на половине Земли, а разницу в долготе между местами можно вычислить по разнице местного времени, когда наблюдается затмение. Его подход дал бы точные результаты, если бы он был правильно реализован, но ограничения точности хронометража в его эпоху сделали этот метод непрактичным.

Звездный каталог

В конце своей карьеры (вероятно, около 135 г. до н. э.) Гиппарх составил свой звездный каталог. Ученые искали его на протяжении веков. В 2022 году было объявлено, что часть его была обнаружена в средневековом пергаментном манускрипте Codex Climaci Rescriptus из монастыря Святой Екатерины на Синайском полуострове в Египте как скрытый текст ( палимпсест ).

Фигура слева может быть Гиппархом с « фрески Рафаэля Афинская школа».

Гиппарх также построил небесный глобус с изображением созвездий на основе своих наблюдений. Его интерес к неподвижным звездам мог быть вызван наблюдением сверхновой ( согласно Плинию) или открытием прецессии, согласно Птолемею, который говорит, что Гиппарх не мог согласовать свои данные с более ранними наблюдениями, сделанными Тимохарисом и Аристиллом. . Дополнительную информацию см. в разделе «Открытие прецессии» . На « картине Рафаэля Афинская школа » Гиппарх может быть изображен держащим свой небесный глобус как представитель астрономии. Не факт, что эта фигура предназначена для его изображения.

Ранее Евдокс Книдский в четвертом веке до нашей эры описал звезды и созвездия в двух книгах под названием «Феномены» и «Энтропон» . Арат написал стихотворение под названием «Феномены» или «Аратея», основанное на произведении Евдокса. Гиппарх написал комментарий к « Аратее» — его единственному сохранившемуся труду — который содержит множество положений звезд и времени восхода, кульминации и захода созвездий, и они, вероятно, были основаны на его собственных измерениях.

Впечатление художника XIX века о Гиппархе.

Согласно римским источникам, Гиппарх провел измерения с помощью научного инструмента и получил положения примерно 850 звезд. Плиний Старший пишет в книге II, 24–26 своей «Естественной истории»:

Тот самый Гиппарх, который никогда не заслуживает достаточной похвалы,... открыл новую звезду, родившуюся в его эпоху, и, наблюдая за ее движением в тот день, когда она сияла, он усомнился, не часто ли она появляется случается, что эти звезды имеют движение, которое мы считаем постоянным. И тот же человек предпринял попытку того, что могло показаться самонадеянным даже для божества, а именно. нумеровать звезды для потомков и выражать их отношения соответствующими именами; заранее изобрел инструменты, с помощью которых он мог бы отмечать места и величины каждой отдельной звезды. Таким путем можно было бы легко обнаружить не только то, были ли они уничтожены или произведены, но изменили ли они свое относительное положение, а также, увеличились или уменьшились; Таким образом, небеса остались в наследство любому, кто оказался компетентным завершить его план.

Этот отрывок сообщает, что

• Гиппарха вдохновила недавно появившаяся звезда.
• он сомневается в стабильности звездного блеска
• он наблюдал с помощью соответствующих инструментов (множественное число - не сказано, что он наблюдал все с помощью одного и того же инструмента)
• он составил каталог звезд

Неизвестно, какой инструмент он использовал. Армиллярная сфера , вероятно, была изобретена позже — возможно, Птолемеем, через 265 лет после Гиппарха. Историк науки С. Гофман нашел признаки того, что Гиппарх, возможно, наблюдал долготу и широту в разных системах координат и, следовательно, с помощью разных приборов. Например, прямое восхождение можно было наблюдать с помощью часов, а угловые расстояния можно было измерить с помощью другого прибора.

Звездная величина

Предполагается, что Гиппарх ранжировал видимую величину звезд по числовой шкале от 1, самой яркой, до 6, самой слабой. Эта гипотеза основана на расплывчатом утверждении Плиния Старшего, но не может быть подтверждена данными комментария Гиппарха к поэме Арата. В этой единственной работе своей руки, дошедшей до наших дней, он не использует шкалу звездных величин, а оценивает блеск бессистемно. Однако это ничего не доказывает и не опровергает, поскольку комментарий может быть ранней работой, а шкала величин могла быть введена позже.

Тем не менее, эта система определенно предшествует Птолемею , который широко использовал ее около 150 г. н.э. Эта система была уточнена и расширена Н. Р. Погсоном в 1856 году, который поместил звездные величины в логарифмическую шкалу, в результате чего звезды 1-й величины в 100 раз ярче звезд 6-й величины, таким образом, каждая звездная величина равна ⁵ √ в 100 или 2,512 раз ярче следующей самой слабой звездной величины.

Система координат

Спорный вопрос, какую систему координат он использовал. Каталог Птолемея в « Альмагесте» , который является производным от каталога Гиппарха, дан в эклиптических координатах . Хотя Гиппарх строго различает «знаки» (30° отрезка зодиака) и «созвездия» в зодиаке, весьма сомнительно, имелся ли у него инструмент для непосредственного наблюдения/измерения единиц на эклиптике. Вероятно, он отметил их как единое целое на своем небесном глобусе, но приборы для его наблюдений неизвестны.

Области созвездий Птолемея (синие многоугольники) и «знаки» зодиака имели разные размеры и протяженность; весьма вероятно, что Гиппарх считал эти единицы одинаковыми. Реконструкция из Альмагеста

Деламбр в своей «Истории древней астрономии» (1817 г.) пришел к выводу, что Гиппарх знал и использовал экваториальную систему координат , и этот вывод оспаривается Отто Нойгебауэром в его «Истории древней математической астрономии» (1975 г.). Гиппарх, по-видимому, использовал смесь эклиптических и экваториальных координат : в своем комментарии к Евдоксу он указывает полярное расстояние звезд (эквивалентное склонению в экваториальной системе), прямое восхождение (экваториальное), долготу (эклиптическое), полярную долготу ( гибрид), но не небесной широты. Это мнение было подтверждено тщательным расследованием Гофмана. который самостоятельно изучил материал, потенциальные источники, методы и результаты Гиппарха и реконструировал его небесный глобус и его изготовление.

Как и большинство его работ, звездный каталог Гиппарха был принят и, возможно, расширен Птолемеем, которого (начиная с Браге в 1598 г.) обвиняли некоторые мошенничества за утверждение ( « Синтаксис » , книга 7, глава 4), что он наблюдал все 1025 звезд - критики утверждают, что почти для каждой звезды он использовал данные Гиппарха и прецессировал их до своей эпохи. 2 + 2 ⁄ 3 столетия спустя, добавив к долготе 2 ° 40 ', используя ошибочно маленькую константу прецессии, равную 1 ° за столетие. Это утверждение сильно преувеличено, поскольку оно применяет современные стандарты цитирования к древнему автору. Правда лишь то, что «древний звездный каталог», начатый Гиппархом во втором веке до нашей эры, за 265 лет неоднократно перерабатывался и улучшался до Альмагеста (что является хорошей научной практикой даже сегодня). Хотя звездный каталог Альмагеста основан на каталоге Гиппарха, он является не только слепой копией, но и обогащенным, дополненным и, таким образом (по крайней мере частично) повторно наблюдаемым.

Небесный глобус

Реконструкция небесного глобуса Гиппарха по древним описаниям и данным рукописей его руки (кластер совершенства TOPOI, Берлин, 2015 г. - опубликовано в Hoffmann (2017) ).

Небесный глобус Гиппарха представлял собой инструмент, похожий на современные электронные компьютеры. Он использовал его для определения восходов, заходов и кульминаций (ср. также Альмагест, книга VIII, глава 3). Поэтому его глобус был установлен в горизонтальной плоскости и имел меридиональное кольцо со шкалой. В сочетании с сеткой, разделявшей небесный экватор на 24-часовые линии (долготы, равные часам нашего прямого восхождения), этот прибор позволил ему определить часы. Эклиптика была отмечена и разделена на 12 участков равной длины («знаки», которые он назвал зодионом или додекатеморией, чтобы отличить их от созвездий ( астрон ). Земной шар был практически реконструирован историком науки.

звездного каталога Гиппарха в

Для:

• распространенные ошибки в реконструированном гиппарховом звездном каталоге и Альмагесте предполагают прямой переход без повторных наблюдений в течение 265 лет. Есть 18 звезд с общими ошибками - для остальных ~800 звезд ошибки отсутствуют или находятся в пределах эллипса ошибок. Это означает, что никаких дальнейших заявлений об этих сотнях звезд не допускается.
• дальнейшие статистические аргументы

Против:

• В отличие от Птолемея, Гиппарх не использовал эклиптические координаты для описания положения звезд.
• Сообщается, что в римские времена в каталоге Гиппарха было включено около 850 звезд, а в каталоге Птолемея - 1025 звезд. Таким образом, кто-то добавил дополнительные записи.
• В Альмагесте Гиппарха указаны звезды, которых нет в звездном каталоге Альмагеста. Таким образом, несмотря на все изменения в рамках научного прогресса за 265 лет, не все звезды Гиппарха попали в версию звездного каталога Альмагеста.

Вывод: Звездный каталог Гиппарха является одним из источников звездного каталога Альмагеста, но не единственным источником.

равноденствий (146–127 гг. до н. э

Смотрите также: Прецессия (астрономия)

Гиппарх общепризнан как первооткрыватель прецессии равноденствий в 127 г. до н.э. Две его книги о прецессии, «О смещении точек солнцестояния и равноденствия» и «О длине года» , обе упоминаются в « Альмагесте» Клавдия Птолемея . По мнению Птолемея, Гиппарх измерил долготу Спики , Регула и других ярких звезд. Сравнивая свои измерения с данными своих предшественников, Тимохариса и Аристилла , он пришел к выводу, что Спика сместилась на 2° относительно точки осеннего равноденствия . Он также сравнил продолжительность тропического года (время, необходимое Солнцу для возвращения к равноденствию) и сидерического года (время, необходимое Солнцу для возвращения к неподвижной звезде) и обнаружил небольшое несоответствие. Гиппарх пришел к выводу, что точки равноденствия перемещаются («прецессируют») по зодиаку и что скорость прецессии составляет не менее 1 ° в столетие.

География

Трактат Гиппарха « Против географии Эратосфена» в трёх книгах не сохранился. Большая часть наших знаний о нем исходит от Страбона , согласно которому Гиппарх обстоятельно и часто несправедливо критиковал Эратосфена , главным образом, за внутренние противоречия и неточность в определении положения географических местностей. Гиппарх настаивает на том, что географическая карта должна основываться только на астрономических измерениях широты и долготы и триангуляции для определения неизвестных расстояний. В географическую теорию и методы Гиппарх ввел три основных новшества.

Он был первым, кто использовал шкалу оценок , чтобы определить географическую широту по наблюдениям за звездами, а не только по высоте Солнца (метод, известный задолго до него), и предположил, что географическую долготу можно определить посредством одновременных наблюдений лунных затмений. в отдаленных местах. В практической части своего труда, так называемой «таблице климатов » , Гиппарх перечислил широты для нескольких десятков местностей. В частности, он улучшил значения Эратосфена для широт Афин , Сицилии и южной оконечности Индии . При расчете широт климатов (широты коррелировали с длиной самого длинного дня солнцестояния) Гиппарх использовал неожиданно точное значение наклона эклиптики — 23°40’ (фактическое значение во второй половине II в. до н. э. составляло примерно 23°43'), тогда как все остальные античные авторы знали лишь грубо округленное значение 24°, и даже Птолемей пользовался менее точным значением - 23°51'.

Гиппарх выступал против общепринятого в эллинистический период взгляда , согласно которому Атлантический и Индийский океаны и Каспийское море являются частями единого океана. В то же время он расширяет пределы ойкумены , т. е. обитаемой части суши, до экватора и Полярного круга . Идеи Гиппарха нашли свое отражение в « Географии Птолемея » . По сути, работа Птолемея представляет собой расширенную попытку реализовать видение Гиппарха о том, какой должна быть география.

Современные

Гиппарх был в международных новостях в 2005 году, когда снова было высказано предположение (как и в 1898 году), что данные о небесном глобусе Гиппарха или в его звездном каталоге, возможно, сохранились на единственном сохранившемся большом древнем небесном глобусе, на котором изображены созвездия с средняя точность, глобус на Фарнезе Атласе . Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что на глобусе Фарнезе могут быть изображены созвездия Аратской традиции и отклоняться от созвездий, используемых Гиппархом.

Плутарха В одной из строк «Застольной беседы» говорится, что Гиппарх насчитал 103 049 сложных предложений, которые можно образовать из десяти простых предложений. 103 049 — десятое число Шредера–Гиппарха , которое подсчитывает количество способов добавления одной или нескольких пар круглых скобок вокруг последовательных подпоследовательностей из двух или более элементов в любой последовательности из десяти символов. Это привело к предположению, что Гиппарх знал о перечислительной комбинаторике , области математики, которая развивалась независимо в современной математике.

В статье 2013 года было высказано предположение, что Гиппарх случайно наблюдал планету Уран в 128 году до нашей эры и занес ее в каталог как звезду более чем за полтора тысячелетия до ее официального открытия в 1781 году.

Наследие

Спутник Hipparcos в Большом солнечном симуляторе, ESTEC, февраль 1988 г.

Гиппарх может быть изображен напротив Птолемея на Рафаэля картине «Афинская школа» 1509–1511 годов , хотя эту фигуру обычно идентифицируют как Зороастра .

Официальное название — ЕКА миссии космической астрометрии Hipparcos высокоточный спутник для сбора параллакса, что дает бэкроним HiPParCoS, который перекликается и увековечивает имя Гиппарха.

лунный кратер Гиппарх , марсианский кратер Гиппарх и астероид 4000 Гиппарх Его именем названы .

В 2004 году он был занесен в Международный зал космической славы .

Жан Батист Жозеф Деламбр , историк астрономии, математический астроном и директор Парижской обсерватории , в своей истории астрономии XVIII века (1821 г.) считал Гиппарха наряду с Иоганном Кеплером и Джеймсом Брэдли величайшими астрономами всех времен.

Памятник астрономам в обсерватории Гриффита в Лос-Анджелесе, Калифорния, США, представляет собой рельеф Гиппарха как одного из шести величайших астрономов всех времен и единственного из античных времен.

Иоганн Кеплер очень уважал методы Тихо Браге и точность его наблюдений и считал его новым Гиппархом, который заложит основу для восстановления астрономической науки.

Переводы

• Бергер, Эрнст Гюго , изд. фрагменты Гиппарха ( Географические на немецком языке). Лейпциг: Тойбнер. ОСЛК   981902787 .
• Дикс, Д.Р., изд. (1960). Географические фрагменты Гиппарха . Классические исследования Лондонского университета. Лондон: Атлон Пресс. OCLC   490381 .
• Манитиус, Карл , изд. (1894). Hipparchou Tōn Aratou kai Eudoxou Phainomenōn exēgēseōs vivlia tria = Hipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena commentariorum libri tres [ Комментарии Гиппарха к явлениям Арата и Евдокса в трех книгах ] (на древнегреческом и латинском языках). Лейпциг: Тойбнер. OCLC   1127047584 .
• Кузинато, Бруна; Ванин, Габриэле, ред. (2022) [2013]. Commentari di Ipparco ai Fenomeni di Arato ed Eudosso [ Комментарии Гиппарха к явлениям Арата и Евдокса ] (на итальянском языке). Перевод Бруны Кузинато; Введение и астрономические комментарии Габриэле Ванин (3-е изд.). arXiv : 2206.08243 . Первоначально опубликовано в Ванин, Габриэле (2013). Катастеризмы . Фельтре: Ретикус-DBS Занетти. стр. 85–166.

См. также

• Аристарх Самосский ( ок. 310 — ок. 230 до н. э. ), греческий математик, вычисливший расстояние от Земли до Солнца.
• Эратосфен ( ок. 276 — ок. 194/195 до н.э. ), греческий математик, вычисливший окружность Земли, а также расстояние от Земли до Солнца.
• Греческая математика
• О размерах и расстояниях (Аристарх)
• О размерах и расстояниях (Гиппарх)
• Посидоний ( ок. 135 — ок. 51 до н. э. ), греческий астроном и математик, вычисливший окружность Земли.

Цитируемые работы

• Бергер, Эрнст Гюго , изд. фрагменты Гиппарха ( Географические на немецком языке). Лейпциг: Тойбнер. ОСЛК   981902787 .
• Кузинато, Бруна; Ванин, Габриэле, ред. (2022) [2013]. Commentari di Ipparco ai Fenomeni di Arato ed Eudosso [ Комментарии Гиппарха к явлениям Арата и Евдокса ] (на итальянском языке). Перевод Бруны Кузинато; Введение и астрономические комментарии Габриэле Ванин (3-е изд.). arXiv : 2206.08243 .
• Дикс, Д.Р., изд. (1960). Географические фрагменты Гиппарха . Классические исследования Лондонского университета. Лондон: Атлон Пресс. OCLC   490381 .
• Хоффманн, Сюзанна М. (2017). Небесный глобус Гиппарха: связь в вавилонско-греческой астрометрии? [ Небесный глобус Гиппарха: связь в вавилонско-греческой астрометрии? ] (на немецком языке). Висбаден: Спрингер. дои : 10.1007/978-3-658-18683-8 . ISBN  978-3-658-18683-8 .
• Джонс, Александр (2001). «Гиппарх» . В Мёрдине, Пол (ред.). Энциклопедия астрономии и астрофизики . Бристоль: Паб Института физики. ISBN  978-0-333-75088-9 . OCLC   1193410336 .
• Манитиус, Карл , изд. (1894). Hipparchou Tōn Aratou kai Eudoxou Phainomenōn exēgēseōs vivlia tria = Hipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena commentariorum libri tres [ Комментарии Гиппарха к явлениям Арата и Евдокса в трех книгах ] (на древнегреческом и латинском языках). Лейпциг: Тойбнер. OCLC   1127047584 .
• Нойгебауэр, Отто Э. (1975). История древней математической астрономии . Берлин: Шпрингер. Часть 1 , Часть 2 , Часть 3 .
• Птолемей (1984). Тумер, Джеральд Дж. (ред.). Альмагест Птолемея . Лондон: Дакворт. ISBN  9780387912202 .
• Щеглов, Дмитрий А. (2007). «Таблица климата Гиппарха и география Птолемея». Орбис Террарум . 9 : 159–192. ISSN   1385-285X . OCLC   34941672 . Академия : 214134 214134 .
• Терстон, Хью (2002). «Пересмотр греческой математической астрономии». Исида . 93 (1): 58–69. дои : 10.1086/343242 . ISSN   0021-1753 . JSTOR   10.1086/343242 . OCLC   907786460 . S2CID   145527182 .
• Тумер, Джеральд Дж. (1978). «Гиппарх» . В Гиллиспи, CC (ред.). Словарь научной биографии . Том. 15 (Приложение I, Адамс-Сейснер). Скрибнер. стр. 207–224.

Дальнейшее чтение

• Клерк, Агнес Мэри (1911). «Гиппарх» . Британская энциклопедия . Том. 13 (11-е изд.). п. 516.
• Дрейер, Джон Л.Е. (1953). История астрономии от Фалеса до Кеплера . Нью-Йорк: Дувр.
• Хит, Томас (1921). История греческой математики . Оксфорд: Кларендон. Том. 1 , Том. 2 .
• Ллойд, Германия (1973). Греческая наука после Аристотеля . Нью-Йорк: Нортон. ISBN  978-0-393-04371-6 .
• Нойгебауэр, Отто Э. (1956). «Заметки о Гиппархе». В Вайнберге, Сол С. (ред.). Эгейское море и Ближний Восток: исследования, представленные Хетти Голдман . Долина Саранчи, Нью-Йорк: Джей Джей Огюстин.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гиппарх» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Томсон, Дж. Оливер (1948). История древней географии . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• Дэвид Уланси о понимании прецессии Гиппархом
• Краткий обзор Кармен Раш звездного каталога Гиппарха.