Эквант

Чтобы узнать о телекоммуникационной компании Equant, см. Equant (France Télécom) .

Основные элементы астрономии Птолемея , показывающие планету на эпицикле (меньший пунктирный круг), деференте (большой пунктирный круг), эксцентрике (×) и экванте (•).

Equant (или punctum aequans ) — математическая концепция, разработанная Клавдием Птолемеем во 2 веке нашей эры для объяснения наблюдаемого движения планет. Эквант используется для объяснения наблюдаемого изменения скорости на разных этапах планетарной орбиты. Эта планетарная концепция позволила Птолемею сохранить теорию равномерного кругового движения, заявив, что путь небесных тел был равномерным вокруг одной точки и круговым вокруг другой точки.

У Птолемея нет слова для обозначения экванта – он использовал такие выражения, как «эксцентр, производящий среднее движение».

Размещение

Точка экванты (показана на диаграмме большим символом * ) расположена так, что она находится прямо напротив Земли от центра деферента , известного как эксцентрик (обозначенный × ). или планета центр эпицикла ( Предполагалось, что меньшего круга, на котором находится планета) движется с постоянной угловой скоростью относительно экванты. Для гипотетического наблюдателя, помещенного в точку экванты, центр эпицикла (обозначенный маленьким · ) может показаться движущимся с постоянной угловой скоростью. Однако центр эпицикла не будет двигаться с постоянной скоростью вдоль его дуги.

Мотивация

Причиной внедрения экванта было сохранение подобия постоянного кругового движения небесных тел , давнего догмата, созданного Аристотелем по философским соображениям, а также позволяющего обеспечить наилучшее соответствие вычислений наблюдаемых движений небесных тел. тел, особенно в размере кажущегося ретроградного движения всех тел Солнечной системы, кроме Солнца и Луны .

В эквантной модели тело движется по круговой траектории без центра на Земле. Скорость движущегося объекта будет меняться во время его обращения вокруг внешнего круга (пунктирная линия): быстрее в нижней половине и медленнее в верхней половине, но движение считается равномерным, поскольку планета проходит равные углы за равное время с точки зрения равнозначная точка. Угловая скорость объекта неравномерна, если смотреть из любой другой точки орбиты.

Применение экванты без эпицикла (как и для Солнца) позволяет получить правильную угловую скорость в перигее и апогее с соотношением $(1+e)^{2}/(1-e)^{2}$ (где $e$ – эксцентриситет орбиты ). Но по сравнению с кеплеровской орбитой эквантный метод заставляет тело проводить слишком мало времени вдали от Земли и слишком близко к Земле. Например, когда эксцентрическая аномалия равна π/2, кеплеровская модель говорит, что количество времени $\pi /2-e$ пройдет с момента перигея (где период равен $2\pi$, см. уравнение Кеплера ), тогда как эквантная модель дает $\pi /2-\arctan(e),$ что немного больше. При этом истинная аномалия в этой точке, согласно эквантной модели, будет составлять всего лишь $\pi /2+\arctan(e),$ тогда как в модели Кеплера это $\pi /2+\arcsin(e),$ что больше. Однако при малом эксцентриситете ошибка очень мала и является асимптотической эксцентриситету в третьей степени.

Уравнение

Угол α, вершина которого находится в центре деферента, а стороны которого пересекают планету и эквант соответственно, является функцией времени t следующим образом:

$\alpha =\Omega t-\arcsin \left({\frac {E}{\ R\ }}\ \sin(\Omega t)\right)$

где Ω — постоянная угловая скорость, наблюдаемая со стороны экванта, находящегося на расстоянии E когда радиус деферента равен R. ,

Открытие и использование

Птолемей ввел экванта в « Альмагест ». Доказательства того, что эквант был необходимым дополнением к аристотелевской физике, основывались на наблюдениях, сделанных им самим и неким «Теоном» (возможно, Теоном из Смирны ).

Гиппарх

В моделях движения планет, предшествовавших Птолемею и обычно приписываемых Гиппарху , эксцентрик и эпициклы уже были характерной чертой. Римский писатель Плиний в I веке нашей эры, который, очевидно, имел доступ к трудам поздних греческих астрономов и сам не был астрономом, все же правильно определил линии апсид пяти известных планет и то, куда они указывали на зодиаке. Такие данные требуют представления об эксцентрических центрах движения.

Примерно до 430 года до нашей эры Метон и Евктемон из Афин заметили разницу в продолжительности времен года . Это можно наблюдать в продолжительности сезонов, определяемой равноденствиями и солнцестояниями, которые указывают, когда Солнце проходило по своему пути на 90 градусов. Хотя другие пытались, Гиппарх рассчитал и представил наиболее точную продолжительность сезонов около 130 г. до н.э.

Согласно этим расчетам, весна длилась около ⁠94 + 1/2 дня ⁠ Лето , около ⁠92 + 1/2 , ⁠ Падение около ⁠88 + 1/8 , ⁠ а Зима около ⁠90 + 1/8 , показывая , ⁠ что времена года действительно имеют разную продолжительность. Позже это было использовано в качестве доказательства зодиакального неравенства или появления Солнца, движущегося с непостоянной скоростью, при этом некоторые части его орбиты, в том числе и оно, двигались быстрее или медленнее. Годовое движение Солнца, как его понимала греческая астрономия до этого момента, не учитывало этого, поскольку предполагалось, что Солнце имеет идеально круглую орбиту с центром вокруг Земли, по которой оно движется с постоянной скоростью. По мнению астронома Гиппарха, перемещение центра траектории Солнца немного дальше от Земли удовлетворило бы наблюдаемое движение Солнца довольно безболезненно, тем самым сделав орбиту Солнца эксцентричной.

Большая часть того, что мы знаем о Гиппархе, дошла до нас благодаря цитатам Птолемея из его произведений. Особенности моделей Гиппарха объяснили различия в продолжительности сезонов на Земле (известные как «первая аномалия») и появление ретроградного движения планет (известное как «вторая аномалия»). Но Гиппарху не удалось привести предсказания о месте и продолжительности ретроградных движений планет в соответствие с наблюдениями; он мог сопоставить местоположение или продолжительность, но не то и другое одновременно.

Птолемей

Между моделью Гиппарха и моделью Птолемея существовала промежуточная модель, которая была предложена для объяснения движения планет в целом на основе наблюдаемого движения Марса. В этой модели у деферента был центр, который также был эквантом, который можно было перемещать вдоль линии симметрии деферента, чтобы соответствовать ретроградному движению планеты. Однако эта модель все еще не соответствовала реальному движению планет, как отметил Гиппарх. Это было верно, в частности, в отношении фактического расстояния и ширины ретроградных дуг, которые можно было увидеть позже по модели Птолемея и сравнить.

Сам Птолемей исправил это противоречие, введя в своем сочинении эквант. когда он отделил его от центра деферента, сделав и его, и центр деферента своими отдельными частями модели и сделав центр деферента неподвижным во время движения планеты. Местоположение определялось деферентом и эпициклом, а продолжительность определялась равномерным движением вокруг экванта. Он сделал это без особых объяснений и обоснований того, как пришел к ее созданию, решив лишь изложить ее формально и кратко с доказательствами, как и всякую научную публикацию. Даже в своих более поздних работах, где он осознавал отсутствие объяснений, он не пытался объяснить дальше.

Астрономическая модель Птолемея использовалась в качестве технического метода, который мог ответить на вопросы астрологии и предсказать положения планет в течение почти 1500 лет, хотя экванта и эксцентрика рассматривались многими более поздними астрономами как нарушение чистой аристотелевской физики , которая предполагала, что все движение центрировано. на Земле. Сообщалось, что модель космоса Птолемея была настолько популярной и революционной, что обычно очень трудно найти какие-либо подробности ранее использовавшихся моделей, кроме как в трудах самого Птолемея.

От Коперника до Кеплера

На протяжении многих веков исправление этих нарушений было заботой ученых, кульминацией которой стали решения Ибн аль-Шатира и Коперника . Предсказания Птолемея, которые на протяжении веков требовали постоянного пересмотра и исправлений со стороны заинтересованных ученых, достигли кульминации в наблюдениях Тихо Браге в Ураниборге .

Только после того, как Иоганн Кеплер опубликовал свою «Новую астрономию» , основанную на данных, которые он и Тихо собрали в Ураниборге, модель неба Птолемея была полностью вытеснена новой геометрической моделью.

Критики

Эквант решил последнюю серьезную проблему объяснения аномального движения планет, но некоторые считали, что он ставит под угрозу принципы древнегреческих философов, а именно равномерное круговое движение вокруг Земли. Обычно предполагалось, что однородность наблюдается из центра деферента, а поскольку это происходит только в одной точке, из любой другой точки наблюдается только неравномерное движение. Птолемей переместил точку наблюдения из центра деферентной точки в экванту. Это можно рассматривать как нарушение аксиомы равномерного кругового движения.

Среди известных критиков экванта - персидский астроном Насир ад-Дин Туси , который разработал пару Туси в качестве альтернативного объяснения. и Николай Коперник , альтернативой которого была новая пара маленьких эпициклов для каждого деферента. Неприязнь к экванту была основной мотивацией Коперника построить свою гелиоцентрическую систему.

Нарушение равномерного кругового движения вокруг центра деферента беспокоило многих мыслителей, особенно Коперника, который упоминает экванта как «чудовищную конструкцию» в « De Revolutionibus» . Смещение Коперником Земли из центра космоса устранило первостепенную необходимость в эпициклах Птолемея: оно объясняло ретроградное движение как эффект перспективы, обусловленный относительным движением Земли и планет. Однако это не объяснило неравномерное движение Солнца и Луны, относительное движение которых Коперник не изменил (даже несмотря на то, что он действительно превратил Солнце, вращающееся вокруг Земли, в Землю, вращающуюся вокруг Солнца, эти два геометрически эквивалентны). Перемещение центра движения планет с Земли на Солнце не устранило необходимости в чем-то объяснять неравномерное движение Солнца, для чего Коперник заменил экванту двумя (или несколькими) меньшими эпициклами.

См. также

• Равномерный : это синоним слова «эквант» , когда оно используется как прилагательное.

Внешние ссылки

• Система Птолемея - в проекте Галилео Университета Райса
• Java-моделирование системы Птолемея - в анимированном виртуальном планетарии Пола Стоддарда, Университет Северного Иллинойса.