Прецессия

Прецессия – это изменение ориентации оси вращения вращающегося тела. В соответствующей системе отсчета его можно определить как изменение первого угла Эйлера , тогда как третий угол Эйлера определяет само вращение . Другими словами, если ось вращения тела сама вращается вокруг второй оси, то говорят, что это тело прецессирует вокруг второй оси. Движение, при котором изменяется второй угол Эйлера, называется нутацией . В физике различают два типа прецессии: безмоментную и индуцированную крутящим моментом.

В астрономии прецессией называют любое из нескольких медленных изменений параметров вращения или орбиты астрономического тела. Важным примером является устойчивое изменение ориентации оси вращения Земли , известное как прецессия равноденствий .

Без крутящего момента или без учета крутящего момента

Прецессия без крутящего момента подразумевает, что к телу не прикладывается внешний момент (крутящий момент). При прецессии без крутящего момента угловой момент постоянен, но вектор угловой скорости меняет ориентацию со временем. Что делает это возможным, так это изменяющийся во времени момент инерции или, точнее, изменяющаяся во времени матрица инерции . Матрица инерции состоит из моментов инерции тела, рассчитанных относительно отдельных осей координат (например, $x$ , $y$ , $z$ ). Если объект асимметричен относительно своей главной оси вращения, момент инерции по отношению к каждому направлению координат будет меняться со временем, сохраняя при этом угловой момент. В результате составляющая угловой скорости тела вокруг каждой оси будет меняться обратно пропорционально моменту инерции каждой оси.

Скорость прецессии без крутящего момента объекта с осью симметрии, такого как диск, вращающегося вокруг оси, не совмещенной с этой осью симметрии, можно рассчитать следующим образом: ^[1] ${\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\alpha }})}}$ где $ω p$ — скорость прецессии, $ω s$ — скорость вращения вокруг оси симметрии, $I s$ — момент инерции относительно оси симметрии, $I p$ — момент инерции относительно любой из двух других равных перпендикулярных главных осей, — $α$ угол между направлением момента инерции и осью симметрии. ^[2]

Когда объект не является абсолютно жестким , неупругая диссипация будет иметь тенденцию демпфировать прецессию без крутящего момента, ^[3] и ось вращения совпадет с одной из осей инерции тела.

Для обычного твердого объекта без какой-либо оси симметрии эволюция ориентации объекта, представленная (например) матрицей вращения $R$ , которая преобразует внутренние координаты во внешние, может быть смоделирована численно. объекта При фиксированном внутреннем моменте тензора инерции $I 0$ и фиксированном внешнем угловом моменте $L$ мгновенная угловая скорость равна ${\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}$ Прецессия происходит за счет многократного пересчета $ω$ и применения небольшого вектора вращения $ω dt$ на короткое время $dt$ ; например: ${\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}$ для кососимметричной матрицы $[ω] \times$ . Ошибки, вызванные конечными шагами по времени, имеют тенденцию увеличивать кинетическую энергию вращения: $E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}$ этой нефизической тенденции можно противодействовать, неоднократно применяя небольшой вектор вращения $v,$ перпендикулярный как $ω,$ так и $L$ , отмечая, что $E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}$

Вызванный крутящим моментом

Прецессия, вызванная крутящим моментом ( гироскопическая прецессия ) — явление, при котором ось вращающегося объекта (например, гироскопа ) описывает в пространстве конус внешний крутящий момент , когда к нему приложен . Это явление обычно наблюдается во вращающемся игрушечном волчке , но прецессии могут подвергаться все вращающиеся объекты. Если скорость вращения и величина внешнего крутящего момента постоянны, ось вращения будет двигаться под прямым углом к направлению , которое интуитивно следует из внешнего крутящего момента. В случае игрушечного волчка его вес действует вниз от центра масс , а нормальная сила (реакция) земли давит на него вверх в точке контакта с опорой. Эти две противоположные силы создают крутящий момент, который заставляет верхнюю часть прецессировать.

Реакция вращающейся системы на приложенный крутящий момент. Когда устройство поворачивается и добавляется некоторый крен, колесо имеет тенденцию к наклону.

Устройство, изображенное справа, установлено на подвесе . Изнутри наружу есть три оси вращения: ступица колеса, ось подвеса и вертикальный шарнир.

Чтобы различать две горизонтальные оси, вращение вокруг ступицы колеса будет называться вращением , а вращение вокруг оси подвеса — качкой . Вращение вокруг вертикальной оси вращения называется вращением .

Во-первых, представьте, что все устройство вращается вокруг (вертикальной) оси вращения. Затем добавляется вращение колеса (вокруг ступицы). Представьте себе, что ось подвеса заблокирована, поэтому колесо не может наклоняться. Ось подвеса оснащена датчиками, которые измеряют наличие крутящего момента вокруг оси подвеса.

На рисунке участок колеса назван $dm 1$ . В изображенный момент времени сечение $dm 1$ находится на периметре вращательного движения вокруг (вертикальной) оси поворота. Таким образом, секция $dm 1$ имеет большую угловую скорость вращения по отношению к вращению вокруг оси поворота, и поскольку $dm 1$ вынужден приближаться к оси поворота вращения (из-за дальнейшего вращения колеса) из-за эффекта Кориолиса . По отношению к вертикальной оси поворота $dm 1$ стремится двигаться в направлении верхней левой стрелки на диаграмме (показанной под углом 45°) в направлении вращения вокруг оси поворота. ^[4] Участок $dm 2$ колеса удаляется от оси поворота, поэтому сила (опять же сила Кориолиса) действует в том же направлении, что и в случае $dm 1$ . Обратите внимание, что обе стрелки указывают в одном направлении.

Те же рассуждения применимы и к нижней половине колеса, но там стрелки указывают в направлении, противоположном направлению верхних стрелок. В совокупности по всему колесу вокруг оси подвеса возникает крутящий момент, когда к вращению вокруг вертикальной оси добавляется некоторое вращение.

Важно отметить, что крутящий момент вокруг оси подвеса возникает без каких-либо задержек; ответ мгновенный.

В приведенном выше обсуждении установка осталась неизменной за счет предотвращения раскачивания вокруг оси подвеса. В случае с вращающимся игрушечным волчком, когда волчок начинает наклоняться, под действием силы тяжести создается крутящий момент. Однако вместо того, чтобы перевернуться, волчок просто немного качнулся. Это качательное движение переориентирует волчок относительно приложенного крутящего момента. В результате крутящий момент, создаваемый силой тяжести (через движение тангажа), вызывает гироскопическую прецессию (которая, в свою очередь, создает противодействующий крутящий момент гравитационному моменту), а не заставляет волчок падать в сторону.

Прецессия или гироскопические соображения влияют на характеристики велосипеда на высокой скорости. Прецессия также является механизмом гирокомпасов .

Классический (ньютоновский)

вызванный Крутящий момент, нормальной силой – $F g$ и весом волчка, вызывает изменение углового момента $L$ в направлении этого крутящего момента. Это приводит к прецессии вершины.

Прецессия — это изменение угловой скорости и углового момента, вызванное крутящим моментом. Общее уравнение, связывающее крутящий момент со скоростью изменения углового момента: ${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$ где ${\boldsymbol {\tau }}$ и $\mathbf {L}$ – векторы крутящего момента и углового момента соответственно.

Из-за способа определения векторов крутящего момента это вектор, перпендикулярный плоскости сил, которые его создают. Таким образом, можно видеть, что вектор углового момента изменится перпендикулярно этим силам. В зависимости от того, как создаются силы, они часто вращаются вместе с вектором углового момента, и тогда создается круговая прецессия.

В этих обстоятельствах угловая скорость прецессии определяется выражением: ^[5]

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}

где $I s$ - момент инерции , $ω s$ - угловая скорость вращения вокруг оси вращения, $m$ - масса, $g$ - ускорение свободного падения, $θ$ - угол между осью вращения и осью прецессии и $r$ это расстояние между центром масс и шарниром. Вектор крутящего момента берет свое начало в центре масс. Используя $ω = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 2π / T ⁠$ , мы находим, что период прецессии определяется выражением: ^[6] $T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}$

Где $I s$ — момент инерции , $T s$ — период вращения вокруг оси вращения, а $τ$ — крутящий момент . Однако в целом проблема гораздо сложнее.

Релятивистский (эйнштейновский)

Специальная и общая теории относительности дают три типа поправок к ньютоновской прецессии гироскопа вблизи такой большой массы, как Земля, описанной выше. Они есть:

Прецессия Томаса — специальная релятивистская поправка, учитывающая ускорение объекта (например, гироскопа) по изогнутой траектории.
Прецессия де Ситтера — общерелятивистская поправка, учитывающая метрику Шварцшильда искривленного пространства вблизи большой невращающейся массы.
Прецессия Лензе – Тирринга , общерелятивистская поправка, учитывающая увлечение системы отсчета метрикой Керра искривленного пространства вблизи большой вращающейся массы.

Геодезические Шварцшильда (иногда прецессия Шварцшильда) используются для предсказания аномальной прецессии перигелия планет, особенно для точного предсказания апсидальной прецессии Меркурия.

Астрономия

В астрономии прецессия относится к любому из нескольких вызванных гравитацией медленных и непрерывных изменений оси вращения или орбитального пути астрономического тела. Прецессия равноденствий, прецессия перигелия, изменения наклона оси Земли к ее орбите и эксцентриситет ее орбиты на протяжении десятков тысяч лет — все это важные части астрономической теории ледниковых периодов . (См. циклы Миланковича .)

Осевая прецессия (прецессия равноденствий)

Осевая прецессия — это движение оси вращения астрономического тела, при котором ось медленно очерчивает конус. В случае Земли этот тип прецессии также известен как прецессия равноденствий , лунно-солнечная прецессия или прецессия экватора . Земля проходит один такой полный цикл прецессии в период примерно 26 000 лет или 1° каждые 72 года, в течение которого положения звезд будут медленно меняться как по экваториальным координатам, так и по эклиптической долготе . В течение этого цикла северный осевой полюс Земли перемещается от того места, где он находится сейчас, в пределах 1 ° от Полярной звезды , по кругу вокруг полюса эклиптики с угловым радиусом около 23,5 °.

Древнегреческий астроном Гиппарх (ок. 190–120 до н. э.) обычно считается самым ранним известным астрономом, распознавшим и оценившим прецессию равноденствий примерно на 1 ° в столетие (что недалеко от фактического значения для древности, 1,38). °), ^[7] хотя есть небольшой спор о том, был ли он таковым. ^[8] В древнем Китае учёный династии Цзинь -чиновник Юй Си ( ок. 307–345 гг. н. э.) сделал аналогичное открытие столетия спустя, отметив, что положение Солнца во время зимнего солнцестояния сместилось примерно на один градус в течение пятидесяти лет. относительно положения звезд. ^[9] Прецессия земной оси позже была объяснена ньютоновской физикой . Будучи сплюснутым сфероидом , Земля имеет несферическую форму, выпуклую наружу на экваторе. Гравитационные приливные силы Луны Солнца и но вместо этого заставляя ее прикладывают крутящий момент к экватору, пытаясь втянуть экваториальную выпуклость в плоскость эклиптики , прецессировать. Крутящий момент, оказываемый планетами, особенно Юпитером , также играет роль. ^[10]

Прецессионное движение оси (слева), прецессия равноденствия относительно далеких звезд (в центре) и путь северного полюса мира среди звезд вследствие прецессии. Вега — яркая звезда внизу (справа).

Апсидальная прецессия

Орбиты форме планет вокруг Солнца на самом деле каждый раз не следуют одному и тому же эллипсу, а на самом деле очерчивают форму цветочного лепестка, потому что большая ось эллиптической орбиты каждой планеты также прецессирует в ее орбитальной плоскости, отчасти в ответ на возмущения в об изменении гравитационных сил, действующих на другие планеты. Это называется прецессией перигелия или апсидальной прецессией .

На дополнительном изображении показана апсидальная прецессия Земли. Когда Земля движется вокруг Солнца, ее эллиптическая орбита постепенно вращается с течением времени. Эксцентриситет его эллипса и скорость прецессии его орбиты преувеличены для наглядности. Большинство орбит в Солнечной системе имеют гораздо меньший эксцентриситет и прецессируют с гораздо меньшей скоростью, что делает их почти круглыми и почти стационарными.

Расхождения между наблюдаемой скоростью прецессии перигелия планеты Меркурий и скоростью, предсказанной классической механикой, были заметными среди форм экспериментальных данных, приведших к принятию Эйнштейна теории относительности (в частности, его общей теории относительности ), которая точно предсказала аномалии. ^[11]^[12] В отличие от закона Ньютона теория гравитации Эйнштейна предсказывает дополнительный член $⁠ А / р 4 ⁠$ , что точно дает наблюдаемую избыточную скорость вращения в 43 угловых секунды каждые 100 лет.

Узловая прецессия

Орбитальные узлы также прецессируют со временем.

См. также

Ссылки

^ Шауб, Ханспетер (2003), Аналитическая механика космических систем , AIAA, стр. 149–150, ISBN 9781600860270
^ Боал, Дэвид (2001). «Лекция 26 – Вращение без крутящего момента – оси с неподвижным корпусом» (PDF) . Проверено 17 сентября 2008 г.
^ Шарма, Ишан; Бернс, Джозеф А.; Хуэй, К.-Х. (2005). «Нутационные времена затухания в телах вращения» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 359 (1): 79. Бибкод : 2005MNRAS.359...79S . дои : 10.1111/j.1365-2966.2005.08864.x .
^ Теодореску, Петре П. (2002). Механические системы, классические модели: Том II: Механика дискретных и непрерывных систем . Springer Science & Business Media. п. 420. ИСБН 978-1-4020-8988-6 .
^ Моебс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Санни, Джефф (19 сентября 2016 г.). 11.4 Прецессия гироскопа - Университетская физика, Том 1 | ОпенСтакс . Хьюстон, Техас . Проверено 23 октября 2020 г. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Моебс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Санни, Джефф (19 сентября 2016 г.). 11.4 Прецессия гироскопа - Университетская физика, Том 1 | ОпенСтакс . Хьюстон, Техас . Проверено 23 октября 2020 г. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Барбьери, Чезаре (2007). Основы астрономии . Нью-Йорк: Группа Тейлора и Фрэнсиса. п. 71. ИСБН 978-0-7503-0886-1 .
^ Свердлов, Ноэль (1991). О космических тайнах Митры . Классическая филология, 86, (1991), 48–63. п. 59.
^ Сан, Квок. (2017). Наше место во Вселенной: понимание фундаментальной астрономии на основе древних открытий , второе издание. Чам, Швейцария: Springer. ISBN 978-3-319-54171-6 , с. 120; см. также Нидэм, Джозеф; Ван, Линг. (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Математика и науки о небе и Земле , том. 3, репринтное издание. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05801-5 , с. 220.
^ Брэдт, Хейл (2007). Астрономические методы . Издательство Кембриджского университета . п. 66. ИСБН 978-0-521-53551-9 .
^ Макс Борн (1924), Теория относительности Эйнштейна (Дуврское издание 1962 года, стр. 348 содержит таблицу, документирующую наблюдаемые и рассчитанные значения прецессии перигелия Меркурия, Венеры и Земли.)
^ «Обнаружено еще большее значение прецессии для черной дыры, вращающейся вокруг гораздо более массивной черной дыры, составляющей 39 градусов на каждой орбите» . Архивировано из оригинала 07 августа 2018 г. Проверено 15 ноября 2023 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

Внешние ссылки

СМИ, связанные с прецессией, на Викискладе?
Объяснение и вывод формулы прецессии волчка
Прецессия и теория Миланковича От звездочетов до звездолетов

[1] Шауб, Ханспетер (2003), Аналитическая механика космических систем , AIAA, стр. 149–150, ISBN 9781600860270

[2] Боал, Дэвид (2001). «Лекция 26 – Вращение без крутящего момента – оси с неподвижным корпусом» (PDF) . Проверено 17 сентября 2008 г.

[3] Шарма, Ишан; Бернс, Джозеф А.; Хуэй, К.-Х. (2005). «Нутационные времена затухания в телах вращения» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 359 (1): 79. Бибкод : 2005MNRAS.359...79S . дои : 10.1111/j.1365-2966.2005.08864.x .

[Teodorescu-4] Теодореску, Петре П. (2002). Механические системы, классические модели: Том II: Механика дискретных и непрерывных систем . Springer Science & Business Media. п. 420. ИСБН 978-1-4020-8988-6 .

[5] Моебс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Санни, Джефф (19 сентября 2016 г.). 11.4 Прецессия гироскопа - Университетская физика, Том 1 | ОпенСтакс . Хьюстон, Техас . Проверено 23 октября 2020 г. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[6] Моебс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Санни, Джефф (19 сентября 2016 г.). 11.4 Прецессия гироскопа - Университетская физика, Том 1 | ОпенСтакс . Хьюстон, Техас . Проверено 23 октября 2020 г. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[7] Барбьери, Чезаре (2007). Основы астрономии . Нью-Йорк: Группа Тейлора и Фрэнсиса. п. 71. ИСБН 978-0-7503-0886-1 .

[8] Свердлов, Ноэль (1991). О космических тайнах Митры . Классическая филология, 86, (1991), 48–63. п. 59.

[9] Сан, Квок. (2017). Наше место во Вселенной: понимание фундаментальной астрономии на основе древних открытий , второе издание. Чам, Швейцария: Springer. ISBN 978-3-319-54171-6 , с. 120; см. также Нидэм, Джозеф; Ван, Линг. (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Математика и науки о небе и Земле , том. 3, репринтное издание. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05801-5 , с. 220.

[Bradt-10] Брэдт, Хейл (2007). Астрономические методы . Издательство Кембриджского университета . п. 66. ИСБН 978-0-521-53551-9 .

[11] Макс Борн (1924), Теория относительности Эйнштейна (Дуврское издание 1962 года, стр. 348 содержит таблицу, документирующую наблюдаемые и рассчитанные значения прецессии перигелия Меркурия, Венеры и Земли.)

[12] «Обнаружено еще большее значение прецессии для черной дыры, вращающейся вокруг гораздо более массивной черной дыры, составляющей 39 градусов на каждой орбите» . Архивировано из оригинала 07 августа 2018 г. Проверено 15 ноября 2023 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]