Лю Хуэя $π-$ алгоритм

Метод Лю Хуэя для вычисления площади круга.

Лю Хуэя $π-$ алгоритм был изобретен Лю Хуэем (эт. III век), математиком из штата Цао Вэй . До него в Китае отношение длины окружности к его диаметру часто экспериментально принималось равным трем, а Чжан Хэн (78–139) определял его как 3,1724 (от пропорции небесного круга к диаметру Земли). , $92/29$ ) или как $\pi \approx {\sqrt {10}}\approx 3.162$ . Лю Хуэй не был удовлетворен этой ценностью. Он заметил, что оно слишком велико и превысило отметку. Другой математик Ван Фан (219–257) указал $π \approx 142/45 \approx 3,156$ . ^{[ 1 ]} Все эти эмпирические $значения π$ были с точностью до двух цифр (т.е. до одного десятичного знака). Лю Хуэй был первым китайским математиком, предложившим строгий алгоритм расчета числа $π$ с любой точностью. Собственные расчеты Лю Хуэя с 96-угольником обеспечили точность до пяти цифр, т.е. $π \approx 3,1416$ .

Лю Хуэй заметил в своем комментарии к «Девяти главам математического искусства» : ^{[ 2 ]} что отношение длины вписанного шестиугольника к диаметру круга равно трем, следовательно, $π$ должно быть больше трех. Далее он предоставил подробное пошаговое описание итеративного алгоритма вычисления $π$ с любой необходимой точностью на основе деления многоугольников пополам; он рассчитал $число π$ между 3,141024 и 3,142708 для 96-угольника; он предположил, что 3,14 было достаточно хорошим приближением, и выразил $π$ как 157/50; он признал, что это число немного мало. Позже он изобрел быстрый метод , чтобы улучшить его, и получил $π \approx 3,1416$ только с 96-угольником, уровень точности, сравнимый с уровнем точности для 1536-угольника. Его самым важным вкладом в этой области стал его простой итерационный $π-$ алгоритм.

Площадь круга

Площадь внутри круга равна радиусу, умноженному на половину окружности, или $A$ = $r$ x $C$ /2 = $r$ x $r$ x $π$ .

Лю Хуэй утверждал:

« Умножьте одну сторону шестиугольника на радиус (описанной окружности), затем умножьте это число на три, чтобы получить площадь двенадцатиугольника; если мы разрезаем шестиугольник на двенадцатиугольник, умножьте его сторону на его радиус, а затем снова умножьте на шестой, мы получаем площадь 24-угольника, чем тоньше мы разрезаем, тем меньше потери по отношению к площади круга, таким образом при дальнейшем разрезе за разрезом площадь полученного многоугольника совпадет и станет единой с кругом. ; там потерь не будет ».

Судя по всему, Лю Хуэй уже усвоил концепцию предела. ^{[ 3 ]}

\lim _{N\to \infty }{\text{area of }}N{\text{-gon}}={\text{area of circle}}.\,

Далее Лю Хуэй доказал, что площадь круга равна половине его окружности, умноженной на радиус. Он сказал:

« Между многоугольником и кругом имеется избыточный радиус. Умножьте лишний радиус на сторону многоугольника. Полученная площадь превышает границу круга ».

На диаграмме $d$ = избыточный радиус. Умножение $d$ на одну сторону приводит к получению продолговатого $ABCD$ , который выходит за границу круга. Если сторона многоугольника мала (т.е. у многоугольника очень большое количество сторон), то избыточный радиус будет мал, следовательно, избыточная площадь будет небольшой.

Как на диаграмме, когда $N \to \infty$ , $d \to 0$ и $ABCD \to 0$ .

« Умножьте сторону многоугольника на его радиус, и площадь увеличится вдвое; следовательно, умножьте половину окружности на радиус, чтобы получить площадь круга ».

Когда $N \to \infty$ , половина окружности $N$ -угольника приближается к полукругу, таким образом, половина окружности, умноженная на ее радиус, равна площади круга. Лю Хуэй не объяснил подробно этот вывод. Однако это становится самоочевидным, если использовать «принцип дополнения внутрь-наружу» Лю Хуэя, который он изложил в другом месте в « Девяти главах математического искусства» : разрежьте геометрическую фигуру на части, переставьте части, чтобы сформировать другую форму, площадь две формы будут идентичны.

Таким образом, перестановка шести зеленых треугольников, трех синих треугольников и трех красных треугольников в прямоугольник шириной = 3 $L$ и высотой $R$ показывает, что площадь двенадцатиугольника = 3 $RL$ .

В общем, умножение половины окружности $N$ -угольника на его радиус дает площадь 2 $N$ -угольника. Лю Хуэй неоднократно использовал этот результат в своем $π-$ алгоритме.

Лю Хуэя $π-$ неравенство

Лю Хуэй доказал неравенство с участием $π,$ рассмотрев площади вписанных многоугольников с $N$ и 2 $N$ сторонами.

На диаграмме желтая область представляет собой площадь $N$ -угольника, обозначенную $A_{N}$ , а желтая область плюс зеленая область представляют собой площадь 2 $N$ -угольника, обозначаемую $A_{2N}$ . Следовательно, зеленая область представляет собой разницу между площадями 2 $N$ -угольника и N -угольника:

D_{2N}=A_{2N}-A_{N}.

Красная площадь равна зеленой площади, как и $D_{2N}$ . Так

Желтая область + зеленая область + красная область =

A_{2N}+D_{2N}.

Позволять $A_{C}$ обозначают площадь круга. Затем

A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.

Если принять радиус круга равным 1, то мы имеем $π-$ неравенство Лю Хуэя:

A_{2N}<\pi <A_{2N}+D_{2N}.

Итерационный алгоритм

Лю Хуэй начал с вписанного шестиугольника. Пусть $M$ — длина одной стороны $AB$ шестиугольника $, r$ — радиус окружности.

Разделив $AB$ пополам линией $OPC$ , $AC$ становится одной стороной додекагона (12-угольника), пусть его длина равна $m$ . Пусть длина $PC$ равна $j$ а длина $OP$ равна $G.$ ,

$APO$ , $APC$ — два прямоугольных треугольника. Лю Хуэй неоднократно использовал теорему Пифагора :

{}G^{2}=r^{2}-\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}

{}G={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}

{}j=r-G=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}

{}m^{2}=\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}

{}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}}

{}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-G\right)^{2}}}

{}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}\right)^{2}}}

Отсюда теперь появился метод определения $m$ по $M$ , который дает длину стороны многоугольника с удвоенным количеством ребер. Начав с шестиугольника , Лю Хуэй смог определить длину стороны додекагона по этой формуле. Затем продолжайте повторять действия, чтобы определить длину стороны икоситетрагона , зная длину стороны додекагона. Он мог делать это рекурсивно столько раз, сколько необходимо. Зная, как определить площадь этих многоугольников, Лю Хуэй смог приблизительно определить $число π$ .

С $r=10$ единиц, он получил

площадь 96 угольников

{}A_{96}=313{584 \over 625}

площадь 192 угольника

{}A_{192}=314{64 \over 625}

Разница 96-угольника и 48-угольника:

{}D_{192}=314{\frac {64}{625}}-313{\frac {584}{625}}={\frac {105}{625}}

неравенства Лю Хуэя

из π-

:

A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.

Поскольку

г

= 10,

A_{C}=100\times \pi

поэтому:

{}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {64}{625}}+{\frac {105}{625}}

{}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {169}{625}}

{}3.141024<\pi <3.142704.

Он никогда не принимал $π$ как среднее от нижнего предела 3,141024 и верхнего предела 3,142704. Вместо этого он предположил, что 3,14 является достаточно хорошим приближением для $π$ , и выразил его в виде дроби. ${\tfrac {157}{50}}$ ; он отметил, что это число немного меньше фактического значения $π$ .

Лю Хуэй провел свои расчеты с помощью стержневого исчисления и выразил результаты дробями. алгоритма Лю Хуэя $Однако итеративный характер π-$ совершенно очевиден:

2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}\,,

в котором $m$ — длина одной стороны многоугольника следующего порядка, разделенного пополам от $M$ . Один и тот же расчет выполняется неоднократно, каждый шаг требует только одного сложения и одного извлечения квадратного корня.

Быстрый метод

Вычисление квадратных корней иррациональных чисел было непростой задачей в третьем веке. счетные палочки . Лю Хуэй нашел короткий путь, сравнив разницу площадей многоугольников, и обнаружил, что доля разницы в площади многоугольников последовательного порядка составляет примерно 1/4. ^{[ 4 ]}

Обозначим через $D$ _$N$ разность площадей $N-$ угольника и ( $N$ /2)-угольника.

D_{N}=A_{N}-A_{N/2}\,

Он нашел:

D_{96}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{48}

D_{192}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{96}

¹

Следовательно:

{\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}

Площадь круга единичного радиуса =

{}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.\,

В котором

F={\tfrac {1}{4}}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.

То есть все последующие лишние площади в сумме составляют треть площади. $D_{192}$

площадь единичного круга

{}=\pi \approx A_{192}+\left({\tfrac {1}{3}}\right)D_{192}\approx {3927 \over 1250}\approx 3.1416.\,

²

Лю Хуэй был вполне доволен этим результатом, потому что он получил тот же результат при расчете для 1536 угольников, получив площадь 3072 угольника. Это объясняет четыре вопроса:

Почему он остановился на $А$ ₁₉₂ в презентации своего алгоритма. Потому что он открыл быстрый метод повышения точности $π$ , достигнув того же результата в 1536 угольников, используя только 96 угольников. В конце концов, вычисление квадратных корней было непростой задачей при стержневом исчислении . Используя быстрый метод, ему нужно было выполнить еще одно вычитание, еще одно деление (на 3) и еще одно сложение вместо еще четырех извлечений квадратного корня.
Почему он предпочитал вычислять $π$ путем расчета площадей, а не окружностей последовательных многоугольников, потому что быстрый метод требовал информации о разнице площадей последовательных многоугольников.
Кто был истинным автором абзаца, содержащего расчет $\pi ={3927 \over 1250}.$
Этот знаменитый абзац начинался словами «Бронзовый контейнер династии Хань на военном складе династии Цзинь …». Многие ученые, в том числе Ёсио Миками и Джозеф Нидэм , считали, что параграф «Бронзовый контейнер династии Хань» был работой Лю Хуэя, а не Цзу Чунчжи, как считали другие, из-за сильной корреляции двух методов при расчете площади, а также потому, что не было ни одного слова, упоминающего результат Зу 3,1415926 < $π$ < 3,1415927, полученный с помощью 12288-угольника.

Более поздние события

Лю Хуэй разработал надежный алгоритм расчета числа $π$ с любой точностью.

Цзу Чунчжи был знаком с работой Лю Хуэя и добился большей точности, применив свой алгоритм к 12288-угольникам.

Из формулы Лю Хуэя для 2

N

-угольника:

A_{2N}=m_{N}\times r

Для 12288-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса:

A_{24576}=3.14159261864<\pi

.

неравенства Лю Хуэя

Из π-

:

A_{24576}<\pi <A_{24576}+D_{24576}

В котором

D_{24576}=A_{24576}-A_{12288}=0.0000001021

A_{24576}=3.14159261864<\pi <3.14159261864+0.0000001021

.

Поэтому

3.14159261864<\pi <3.141592706934

Усечено до восьми значащих цифр:

3.1415926<\pi <3.1415927

.

Это было знаменитое $π-$ неравенство Цзу Чунчжи.

Затем Цзу Чунчжи использовал интерполяционную формулу Хэ Чэнтяня ( 何承天 , 370–447) и получил аппроксимирующую дробь: $\pi \approx {355 \over 113}$ .

Однако это $значение π$ исчезло из китайской истории на длительный период времени (например, математик династии Сун Цинь Цзюшао использовал $π$ = ${22 \over 7}$ и $\pi ={\sqrt {10}})$ ), пока династии Юань математик Чжао Юйцинь не работал над вариацией $π-$ алгоритма Лю Хуэя, разделив пополам вписанный квадрат и снова получив $\pi \approx {355 \over 113}.$ ^{[ 5 ]}

Значение алгоритма Лю Хуэя

алгоритм Лю Хуэя $π-$ был одним из его самых важных вкладов в древнекитайскую математику. Он был основан на вычислении $площади N$ -угольника, в отличие от алгоритма Архимеда, основанного на окружности многоугольника. С помощью этого метода Цзу Чунчжи получил восьмизначный результат: 3,1415926 < $π$ < 3,1415927, который на протяжении веков удерживал мировой рекорд по наиболее точному значению $π$ . ^{[ 6 ]} до тех пор, пока Мадхава из Сангамаграмы не вычислил 11 цифр в 14 веке или Джамшид аль-Каши не вычислил 16 цифр в 1424 году; лучшие приближения числа $π,$ известные в Европе, имели точность всего до 7 цифр, пока Людольф ван Цейлен не вычислил 20 цифр в 1596 году.

См. также

Метод истощения (V век до н.э.)
π-алгоритм Чжао Юциня (13-14 века)
Доказательство формулы Ньютона для числа Пи (17 век)

Примечания

^ 1 Правильное значение: 0,2502009052.

^2 Правильные значения:

A_{192}=3.1410319509

D_{192}=0.0016817478

\pi \approx A_{192}+{\frac {1}{3}}D_{192}\approxeq 3.1410319509+0.0016817478/3

\pi \approx 3.1410319509+0.0005605826

\pi \approx 3.1415925335.

Быстрый метод Лю Хуэя потенциально мог дать почти тот же результат - 12288 гонов (3,141592516588) всего лишь с 96 гонами.

Ссылки

^ Шеплер, Герман К. (1950), «Хронология числа Пи», журнал Mathematics Magazine 23 (3): 165–170, ISSN 0025-570X .
^ Нидхэм, Том 3, 66.
↑ Впервые отмечено японским математиком Ёсио Миками .
^ Ёсио Миками: доктор философии. Диссертация 1932 г.
^ Ёсио Миками сказал о работе Чжао Ю Синя: «Стороны и, следовательно, периметры этих многоугольников последовательно вычисляются таким образом, как это делал Лю Хуэй в старину», стр. 136, Развитие математики в Китае и Японии.
^ Роберт Темпл, Гений Китая, уточненное значение числа Пи, стр. 144–145, ISBN 1-85375-292-4

Дальнейшее чтение

Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае : Том 3, Математика и науки о небе и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
Изд. У Вэньцзюня, История китайской математики, том III (на китайском языке) ISBN 7-303-04557-0

[1] Шеплер, Герман К. (1950), «Хронология числа Пи», журнал Mathematics Magazine 23 (3): 165–170, ISSN 0025-570X .

[2] Нидхэм, Том 3, 66.

[3] Впервые отмечено японским математиком Ёсио Миками .

[4] Ёсио Миками: доктор философии. Диссертация 1932 г.

[5] Ёсио Миками сказал о работе Чжао Ю Синя: «Стороны и, следовательно, периметры этих многоугольников последовательно вычисляются таким образом, как это делал Лю Хуэй в старину», стр. 136, Развитие математики в Китае и Японии.

[6] Роберт Темпл, Гений Китая, уточненное значение числа Пи, стр. 144–145, ISBN 1-85375-292-4

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]