Чжао Юциня π- алгоритм

Чжао Юциня π- алгоритм

Страница из книги Чжао Юциня Гэ Сян Синь Шу, том 5

Чжао Юциня π Алгоритм — это алгоритм, разработанный из династии Юань китайским астрономом и математиком Чжао Юцинем ( 赵友钦 , ? – 1330) для вычисления значения π в его книге Гэ Сян Синь Шу ( 革象新书 ).

Алгоритм

Чжао Юцинь начал с вписанного квадрата в круг радиуса r .

Если $\ell$ обозначает длину стороны квадрата, проведите d перпендикуляр из центра круга к стороне l . Пусть e обозначает r − d . Тогда из схемы:

$d={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}$

$e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}.$

Продлите перпендикуляр d, чтобы разделить круг на восьмиугольник ; $\ell _{2}$ обозначает длину одной стороны восьмиугольника.

$\ell _{2}={\sqrt {\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}+e^{2}}}$

$\ell _{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell ^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell ^{2}}}\right)^{2}}}$

Позволять $l_{3}$ обозначает длину стороны шестиугольника

$\ell _{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{2}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{2}^{2}}}\right)^{2}}}$

сходным образом

$\ell _{n+1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{n}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{n}^{2}}}\right)^{2}}}$

Продолжая таким образом, он наконец вычислил сторону 16384-угольника, умножив ее на 16384 и получив 3141,592 для круга диаметром = 1000 единиц, или

$\pi =3.141592.\,$

Он умножил это число на 113 и получил 355. Из этого он вывел традиционные значения π , то есть 3, 3,14, ⁠ 22/7 ​ ⁠ и ​ ⁠ 355/113 , ⁠ . последний самый точный

См. также

• Лю Хуэя π- алгоритм