Срок исправления Мадхавы

Поправочный член Мадхавы — это математическое выражение, приписываемое Мадхаве из Сангамаграмы (ок. 1340 — ок. 1425), основателю школы астрономии и математики Кералы , которое можно использовать для лучшего приближения к значению математической константы $π.$ ( pi ), чем аппроксимация частичной суммы, полученная путем усечения бесконечного ряда Мадхавы – Лейбница для $π$ . Бесконечный ряд Мадхавы – Лейбница для $π$ равен

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots

Взяв частичную сумму первого $n$ мы имеем следующее приближение к $π$ :

{\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}

Обозначая поправочный член Мадхавы через $F(n)$ , мы имеем следующее лучшее приближение к $π$ :

{\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F(n)

Мадхаве приписывают три различных выражения как возможные значения $F(n)$ , а именно,

F_{1}(n)={\frac {1}{4n}}

F_{2}(n)={\frac {n}{4n^{2}+1}}

F_{3}(n)={\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}

В дошедших до нас трудах математиков керальской школы есть некоторые указания на то, как корректируются условия. $F_{1}(n)$ и $F_{2}(n)$ были получены, но нет указаний на то, как выражение $F_{3}(n)$ было получено. Это привело к большому количеству спекулятивных исследований о том, как могли быть получены эти формулы.

Условия исправления, указанные в текстах штата Керала.

Выражения для $F_{2}(n)$ и $F_{3}(n)$ подробно описаны в «Юктибхаше» , важном трактате по математике и астрономии, написанном индийским астрономом Джьестадевой из математической школы Кералы около 1530 года, но это для $F_{1}(n)$ появляется здесь лишь как шаг в рассуждении, ведущем к выводу $F_{2}(n)$ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Комментарий Юктидипика -Лагхувиврити к Тантрасанграхе , трактату, написанному Нилакантхой Сомаяджи , астрономом и математиком, принадлежащим к школе астрономии и математики Кералы и завершенному в 1501 году, представляет второй корректирующий термин в следующих стихах (Глава 2: Стихи 271–274). : ^{[ 3 ]}^{[ 1 ]}

Английский перевод стихов: ^{[ 3 ]}

«К диаметру, умноженному на 4, поочередно прибавляйте и вычитайте диаметр, умноженный на 4 и разделенный отдельно на нечетные числа 3, 5 и т. д. То нечетное число, на котором этот процесс заканчивается, четырехкратный диаметр следует умножить на следующее четное число, разделенное пополам и [затем] разделенное на единицу, добавленное к этому [четному] числу, возведенному в квадрат. Результат нужно сложить или вычесть в зависимости от того, был ли вычтен или добавлен последний член. Это дает длину окружности более точно, чем это было бы. быть достигнуты, продолжая этот процесс».

В современных обозначениях это можно записать следующим образом (где $d$ диаметр круга):

Окружность

=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4d\left(p+1\right)/2}{1+(p+1)^{2}}}

Если мы установим $p=2n-1$ , последний член в правой части приведенного выше уравнения сводится к $4dF_{2}(n)$ .

В том же комментарии также приводится поправочный срок $F_{3}(n)$ в следующих стихах (Глава 2: Стихи 295–296):

Английский перевод стихов: ^{[ 3 ]}

«Более тонкий метод с другой коррекцией. [Сохраните] первую процедуру, включающую деление четырехкратного диаметра на нечетные числа, 3, 5 и т. д. [Но] затем добавьте или вычтите его [четыре диаметра], умноженного на единицу. прибавляется к следующему четному числу, делится пополам и возводится в квадрат, делится на единицу, добавляется к четырехкратному предыдущему множителю, [при этом] умноженному на четное число, разделенное пополам».

В современных обозначениях это можно сформулировать следующим образом:

{\text{Circumference}}=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4dm}{\left(1+4m\right)(p+1)/2}},

где «множитель» ${\textstyle m=1+\left((p+1)/2\right)^{2}.}$ Если мы установим $p=2n-1$ , последний член в правой части приведенного выше уравнения сводится к $4dF_{3}(n)$ .

Точность корректирующих условий

Позволять

s_{i}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F_{i}(n)

.

Затем, написав $p=2n+1$ , ошибки $\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{i}(n)\right|$ имеют следующие границы: ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}&{\begin{aligned}{\frac {1}{p^{3}-p}}-{\frac {1}{(p+2)^{3}-(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{1}(n)\right|<{\frac {1}{p^{3}-p}},\\[10mu]{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{2}(n)\right|<{\frac {4}{p^{5}+4p}},\end{aligned}}\\[20mu]&{\begin{aligned}&{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}-{\frac {36}{(p+2)^{7}+7(p+2)^{5}+28(p+2)^{3}-36(p+2)}}\cdots \\[10mu]&{\phantom {{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}}}<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{3}(n)\right|<{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}.\end{aligned}}\end{aligned}}

Численные значения ошибок вычисления $π$

Ошибки использования этих приближений при вычислении значения $π$ составляют

E(n)=\pi -4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}\right)

E_{i}(n)=E(n)-4\times (-1)^{n}F_{i}(n)

В следующей таблице приведены значения этих ошибок для нескольких выбранных значений. $n$ .

Ошибки в использовании приближений $F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)$ чтобы вычислить значение $π$
$n$	$E(n)$	$E_{1}(n)$	$E_{2}(n)$	$E_{3}(n)$
11	$-9.07\times 10^{-2}$	$1.86\times 10^{-4}$	$-1.51\times 10^{-6}$	$2.69\times 10^{-8}$
21	$-4.76\times 10^{-2}$	$2.69\times 10^{-5}$	$-6.07\times 10^{-8}$	$3.06\times 10^{-10}$
51	$-1.96\times 10^{-2}$	$1.88\times 10^{-6}$	$-7.24\times 10^{-10}$	$6.24\times 10^{-13}$
101	$-9.90\times 10^{-3}$	$2.43\times 10^{-7}$	$-2.38\times 10^{-11}$	$5.33\times 10^{-15}$
151	$-6.62\times 10^{-3}$	$7.26\times 10^{-8}$	$-3.18\times 10^{-12}$	$\approx 1\times 10^{-16}$

Выражения цепной дроби для поправочных членов

Отмечено, что условия коррекции $F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)$ являются первыми тремя дробями следующих выражений цепной дроби : ^{[ 3 ]}

${\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\cdots }}}}}}$

${\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {r^{2}}{n[4-3(r{\bmod {2}})]+\cdots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}$

Функция $f(n)$ что представляет собой уравнение

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots \pm {\frac {1}{n}}\mp f(n+1)

точное можно выразить в следующем виде: ^{[ 1 ]}

f(n)={\frac {1}{2}}\times {\cfrac {1}{n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{n+{\cfrac {3^{2}}{n+\cdots }}}}}}}}

Первые три дроби этой бесконечной цепной дроби являются в точности поправочными членами Мадхавы. Также эта функция $f(n)$ имеет следующее свойство:

f(2n)={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}

Спекулятивный вывод Хаяши и др.

В статье, опубликованной в 1990 году, группа из трёх японских исследователей предложила оригинальный метод, с помощью которого Мадхава мог бы получить три поправочных члена. Их предложение основывалось на двух предположениях: Мадхава использовал $355/113$ как значение $π$ , и он использовал алгоритм Евклида для деления. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Письмо

S(n)=\left|1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}-{\frac {\pi }{4}}\right|

и принимая $\pi =355/113,$ вычислить значения $S(n),$ выразите их в виде дроби с 1 в числителе и, наконец, игнорируйте дробные части в знаменателе, чтобы получить приближения:

{\begin{alignedat}{3}S(1)&=\ \ \,{\frac {97}{452}}&&=\ \ \ {\frac {1}{4+{\frac {64}{97}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]S(2)&=\ \ {\frac {161}{1356}}&&=\ \ \,{\frac {1}{8+{\frac {68}{161}}}}&&\approx {\frac {1}{8}},\\[6mu]S(3)&=\ \ {\frac {551}{6780}}&&=\ \,{\frac {1}{12+{\frac {168}{551}}}}&&\approx {\frac {1}{12}},\\[6mu]S(4)&=\ {\frac {2923}{47460}}&&=\ {\frac {1}{16+{\frac {692}{2923}}}}&&\approx {\frac {1}{16}},\\[6mu]S(5)&={\frac {21153}{427140}}&&={\frac {1}{20+{\frac {4080}{21153}}}}&&\approx {\frac {1}{20}}.\end{alignedat}}

Это предполагает следующее первое приближение к $S(n)$ что такое корректирующий член $F_{1}(n)$ говорили ранее.

S(n)\approx {\frac {1}{4n}}

Дроби, которые были проигнорированы, затем могут быть выражены с помощью 1 в качестве числителя, а дробные части в знаменателях игнорируются для получения следующего приближения. Два таких шага:

{\begin{alignedat}{5}{\frac {64}{97}}&=\ \,{\frac {1}{1+{\frac {33}{64}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},&{\frac {33}{64}}&=\,{\frac {1}{1+{\frac {31}{33}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},\\[6mu]{\frac {68}{161}}&=\ \,{\frac {1}{2+{\frac {25}{68}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},&{\frac {25}{68}}&=\,{\frac {1}{2+{\frac {18}{25}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},\\[6mu]{\frac {168}{551}}&=\ {\frac {1}{3+{\frac {47}{168}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},&{\frac {47}{168}}&=\,{\frac {1}{3+{\frac {27}{47}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},\\[6mu]{\frac {692}{2923}}&={\frac {1}{4+{\frac {155}{692}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},&{\frac {155}{692}}&={\frac {1}{4+{\frac {72}{155}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]{\frac {4080}{21153}}&={\frac {1}{5+{\frac {753}{4080}}}}&&\approx {\frac {1}{5}},&\quad {\frac {753}{4080}}&={\frac {1}{5+{\frac {315}{753}}}}&&\approx {\frac {1}{5}}.\end{alignedat}}

Это дает следующие два приближения к $S(n),$ точно так же, как условия коррекции $F_{2}(n),$

S(n)\approx {\frac {1}{4n+{\dfrac {1}{n}}}}={\frac {n}{4n^{2}+1}},

и $F_{3}(n),$

S(n)\approx {\dfrac {1}{4n+{\dfrac {1}{n+{\dfrac {1}{n}}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n(4n^{2}+5)}},

приписывают Мадхаве.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с К. Т. Раджагопал и М. С. Рангачари (1978). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142 . S2CID 51861422 .
^ Jump up to: ^а ^б К.В. Сарма с пояснительными примечаниями на английском языке К. Рамасубрахманяна, доктора медицинских наук Шриниваса, М.С. Шрирама (2008). Ганита-Юкти-Бхаша Джьештадевы. Том I – Математика . Нью-Дели: Книжное агентство Индостан. стр. 201–207. ISBN 978-81-85931-81-4 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д СК Раджу (2007). История науки, философии и культуры в индийской цивилизации. Главный редактор Д. П. Чаттопадхьяя. Том X. Часть 4. Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . Нью-Дели: Центр исследований цивилизаций и Dorling Kindersley (India) Pvt Ltd., стр. 173–174. ISBN 978-81-317-0871-2 .
^ Ранджан Рой (2011). Источники развития математики. Бесконечные ряды и произведения с пятнадцатого по двадцать первый век . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 5. ISBN 978-0-521-11470-7 .
^ Т. Хаяси, Т. Кусуба и М. Яно (1990). «Коррекция ряда Мадхавы на длину окружности». Ценлуур (33): 149–174.
^ Джордж Геваргезе Джозеф (2009). Переход в бесконечность Средневековая индийская математика из Кералы и ее влияние . Нью-Дели: SAGE Publications India Pvt Ltd., стр. 132–133. ISBN 978-81-321-0168-0 .

Дополнительное чтение

Ч. Т. Раджагопал и М. С. Рангачари (1986). «О средневековой математике Кералы» . Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. дои : 10.1007/BF00357622 . JSTOR 41133779 . S2CID 121678430 .
П. Раджасекхар (июнь 2011 г.). «Вывод остаточного члена для расширения числа $π$ в ряд , как показано в Юктибхасе, и его современной интерпретации». Бюллетень Математической ассоциации Кералы . 8 (1): 17–39.
Ранджан Рой (13 июня 2011 г.). «Степеньевой ряд в Керале пятнадцатого века», за исключением источников по развитию математики: бесконечные ряды и произведения с пятнадцатого по двадцать первый век . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11470-7 .

[Rajagopal-1] Jump up to: ^а ^б ^с К. Т. Раджагопал и М. С. Рангачари (1978). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142 . S2CID 51861422 .

[Sarma-2] Jump up to: ^а ^б К.В. Сарма с пояснительными примечаниями на английском языке К. Рамасубрахманяна, доктора медицинских наук Шриниваса, М.С. Шрирама (2008). Ганита-Юкти-Бхаша Джьештадевы. Том I – Математика . Нью-Дели: Книжное агентство Индостан. стр. 201–207. ISBN 978-81-85931-81-4 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Raju-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д СК Раджу (2007). История науки, философии и культуры в индийской цивилизации. Главный редактор Д. П. Чаттопадхьяя. Том X. Часть 4. Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . Нью-Дели: Центр исследований цивилизаций и Dorling Kindersley (India) Pvt Ltd., стр. 173–174. ISBN 978-81-317-0871-2 .

[Roy-4] Ранджан Рой (2011). Источники развития математики. Бесконечные ряды и произведения с пятнадцатого по двадцать первый век . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 5. ISBN 978-0-521-11470-7 .

[5] Т. Хаяси, Т. Кусуба и М. Яно (1990). «Коррекция ряда Мадхавы на длину окружности». Ценлуур (33): 149–174.

[6] Джордж Геваргезе Джозеф (2009). Переход в бесконечность Средневековая индийская математика из Кералы и ее влияние . Нью-Дели: SAGE Publications India Pvt Ltd., стр. 132–133. ISBN 978-81-321-0168-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Керальская школа астрономии и математики
Astronomers and mathematicians	(Complete list) Acyuta Piṣāraṭi Azhvāñceri Taṃprākkaḷ Citrabhānu Dāmodara of Vațaśreņi Devācārya Govinda Bhattathiri Govindasvāmin Haridatta Jyeṣṭhadeva Kochukrishnan Asan Madhava of Sangamagrama Mazhamaṅgalaṃ Nārāyaṇan Naṃpūtiri Nīlakaņțha Sōmayāji Nīlakaṇṭha II Parameśvara of Vațaśśeri Śaṅkaranārāyaṇa Śaṅkara of Mahiṣamaṅgalam Putumana Somayāji Śankara Vāriyar Śaṅkara Varma of Kaṭattanāṭ Udayadivākara Vararuci I Vidyamadhava
Treatises	Aryabhatiya-bhashya (Nīlakaņțha Sōmayāji) Candrachayaganita Dasādhyāyi Drigganita Dṛkkaraṇa Gaṇitayuktayah Golavada Golasara Grahacāraṇinibandhana Jātaka-sāara-saṃgraha Jyotirmimamsa Jyotiśśāstra-saṃgraha Kanakkusāraṃ Karaṇapaddhati Kriyakramakari Laghuvivṛti (commentary on Tantrasamgraha) Madhyamanayanaprakara Mahābhāskarīya Bhāshya Pañcabodha Sadratnamālā Sidhhantadarpana Spuṭanirṇaya Tantrasamgraha Venvaroha Yuktibhāṣā
Concepts/Topics	Chandravakyas Drigganita system Kaṭapayādi system Madhava's correction terms Madhava series Madhava's sine table Parahita system
Places associated with members of the school	Athavanad (Azhvanchery Thamprakkal) Alathiyur (Govinda Bhattathiri, etc) Kadathanadu (Sankara Varman) Mahodayapuram (Kodungallur) (Sankaranarayana) Kudallur (Madhava of Sangamagrama) Peruvanam (Mahishamangalam Sankaran Namputhiri) Thrikkandiyur (Nilakantha Somayaji, etc) Sivapuram (Thrissur) (Putumana Somayaji, etc) Tirunavaya (Haridatta)