Удаядивакара

Удаядивакара н.э.) был индийским астрономом и математиком, написавшим влиятельный и подробный комментарий под названием Сундари к Лагху-бхаскарии Бхаскары I. (ок. 1073 г. Никаких личных данных об Удаядивакаре неизвестно. Поскольку в комментарии Сундари за эпоху берется 1073 год нашей эры, вероятно, комментарий был завершен примерно в этом году. Сундари еще не опубликован и доступен только в рукописной форме. Некоторые из этих рукописей хранятся в хранилищах рукописей в Тируванантапураме. По словам К. В. Сармы , историка астрономии и математики школы Кералы, Удаядивакара, вероятно, был родом из Кералы , Индия .

Историческое значение Сундари

Помимо того, что Сундари представляет собой тщательно продуманный комментарий, он имеет некоторое историческое значение. В нем пространно цитируются ныне утерянные работы малоизвестного математика Джаядевы . Цитаты относятся к методу Чакравалы решения неопределенных интегральных уравнений вида $Nx^{2}+1=y^{2}$. Это показывает, что этот метод появился раньше Бхаскары II, вопреки общепринятым убеждениям. Еще одна важная ссылка на работу Джаядевы — это решение неопределенного уравнения вида $Nx^{2}+C=y^{2}$, $C$ быть положительным или отрицательным.

Проблема и ее решение

Удаядивакара использовал свой метод для решения уравнения $Nx^{2}+C=y^{2}$ получить некоторые частные решения некоторой алгебраической задачи. Проблема и решение Удаядивакары представлены ниже только для иллюстрации методов, используемых индийскими астрономами для решения алгебраических уравнений.

Проблема

Найдите положительные целые числа $x$ и $y$ удовлетворяющий следующим условиям:

${\begin{aligned}x+y&={\text{a prefect square}},\\x-y&={\text{a prefect square}},\\xy+1&={\text{a prefect square}}.\end{aligned}}$

Решение

Чтобы решить эту проблему, Удаядивакара делает ряд явно произвольных предположений, направленных на то, чтобы свести проблему к решению неопределенного уравнения вида $Nx^{2}+C=y^{2}$.

Удаядивакара начинает с предположения, что $xy+1=(2y+1)^{2}$ которое можно записать в виде $x-y=3y+4$. Далее он предполагает, что $3y+4=(3z+2)^{2}$ что вместе с предыдущим уравнением дает

${\begin{aligned}x&=12z^{2}+16z+4,\\y&=3z^{2}+4z,\\x+y&=15z^{2}+20z+4.\end{aligned}}$

Теперь Удаядивакара ставит

$15z^{2}+20z+4=u^{2}$

которое затем преобразуется в уравнение

$(30z+20)^{2}=60u^{2}+160.$

Это уравнение имеет вид $Nx^{2}+C=\lambda ^{2}$ с $N=60$, $C=160$ и $\lambda =30z+20$. Используя метод решения уравнения $Nx^{2}+C=y^{2}$, Удаядивакара находит следующие решения $(u=2,\lambda =20)$, $(u=18,\lambda =140)$ и $(u=8802,\lambda =68180)$ откуда значения $x$ и $y$ получаются обратной заменой.

См. также

• Список астрономов и математиков школы Кералы