Криякрамакари
| Автор | Шанкара Варьяр и Нараяна |
|---|---|
| Язык | санскрит |
| Предмет | Астрономия / Математика |
| Жанр | Комментарий к Лилавати |
Дата публикации | в. 1560 г. |
| Место публикации | Индия |
Криякрамакари ( Крия-крамакари ) — это подробный комментарий на санскрите, написанный Шанкарой Вариаром и Нараяной, двумя астрономами-математиками, принадлежащими к керальской школе астрономии и математики , к Бхаскары II известному учебнику математики «Лилавати» . [1] Криякрамакари («Операционные техники» [2] ), наряду с Юктибхасой Джьештхадевы , является одним из основных источников информации о работе и вкладе Сангамаграмы Мадхавы , основателя Керальской школы астрономии и математики . [3] Кроме того, цитаты, приведенные в этом трактате, проливают свет на вклад нескольких математиков и астрономов, процветавших в более раннюю эпоху. Есть несколько цитат, приписываемых Говиндасвами, астроному 9-го века из Кералы. [4]
Шанкара Вариар (ок. 1500–1560), первый автор Криякрамакари, был учеником Нилакантхи Сомаяджи и по профессии храмовым помощником. Он был видным представителем школы астрономии и математики Кералы. Его работы включают Юкти-дипику, обширный комментарий к Тантрасанграхе Нилакантхи Сомаяджи. Нараяна (ок. 1540–1610), второй автор, был Нампутири, брахманом принадлежащим к семье Махишамангалам в Пуруванаграме (Перуванам в современном округе Триссур в Керале ).
Шанкара Вариар написал свой комментарий к Лилавати до строфы 199. Вариар завершил его примерно к 1540 году, когда перестал писать из-за других забот. Иногда после своей смерти Нараяна завершал комментарий к оставшимся строфам Лилавати.
О вычислении π
[ редактировать ]Согласно » К.В. Сармы . критическому изданию «Лилавати [5] основанный на Криякрамакари, строфа 199 Лилавати гласит следующее: [6] ( Гарвардско-Киотское соглашение Для транскрипции индийских символов используется ):
- Вьясе бха-нанда-агни-хате вибхакте кха-бана-сурьайис паридхис сас сукшмас/
- ДваВиМзати-гхне вихрите атха заилаис стхулас атха-ва сьат вьявахАра-йогьяс//
Это можно перевести следующим образом;
- «Умножьте диаметр на 3927 и разделите произведение на 1250; это даст более точную длину окружности. Или умножьте диаметр на 22 и разделите произведение на 7; это даст приблизительную длину окружности, необходимую для обычных операций». [7]
Взяв этот стих за отправную точку и комментируя его, Санакара Вариар в своей «Криякракари» подробно изложил вклад Сангамаграмы Мадхавы в получение точных значений числа π. Шанкара Вариар прокомментировал это так:
- «Учитель Мадхава также упомянул значение окружности, более близкое [к истинному значению] чем это: «Боги [тридцать три], глаза [два], слоны [восемь], змеи [восемь], огни [три], три». , качества [три], Веды [четыре], накшатры [двадцать семь], слоны [восемь], руки [два] (2 827 433 388 233) — мудрецы сказали, что это мера окружности, когда диаметр круга равен девяти ниххарва[ 10^11].» Шанкара Вариар говорит здесь, что значение Мадхавы 2 827 433 388 233 / 900 000 000 000 более точное, чем «это», то есть более точное, чем традиционное значение π. [3]
набор из четырех стихов Мадхавы, которые предписывают геометрический метод вычисления значения длины окружности Затем Шанкара Вариар цитирует . Этот метод включает вычисление периметров последовательных правильных описанных многоугольников , начиная с квадрата .
Бесконечный ряд для π
[ редактировать ]Затем Шанкара Вариар описывает более простой метод, предложенный Мадхавой, для вычисления значения π.
- «Он (Мадхава) упоминает более простой способ получить длину окружности. То есть:
- Поочередно сложите или вычтите диаметр, умноженный на четыре и разделенный по порядку на нечетные числа, например три, пять и т. д., к диаметру, умноженному на четыре и разделенному на единицу, или из него.
- Предполагая, что деление завершается делением на нечетное число, каким бы ни было четное число выше [рядом с] этим [нечетным числом], половина этого числа является множителем последнего [члена].
- Квадрат этого [чётного числа], увеличенный на 1, является делителем диаметра, умноженного на 4, как и раньше. Результат этих двух (множитель и делитель) складывается, когда [предыдущий член] отрицательный, а когда положительный вычитается.
- В результате получается точная окружность. Если деление повторить много раз, оно станет очень точным». [3]
Чтобы перевести эти стихи в современные математические обозначения, пусть C — длина окружности , а D диаметр круга — . Тогда более простой метод Мадхавы по поиску C сводится к следующему выражению для C:
- С = 4Д/1 - 4Д/3 + 4Д/5 - 4Д/7 + ...
По сути, это ряд, известный как ряд Грегори-Лейбница для числа π. После изложения этого ряда Шанкара Вариар продолжает описание тщательно продуманного геометрического обоснования вывода этого ряда. [3]
Бесконечный ряд для арктангенса
[ редактировать ]Дальнейшее развитие теория получила в Криякрамакари. Он решает задачу получения аналогичного ряда для вычисления произвольной дуги окружности. Это дает бесконечный ряд разложение арктангенса в . Этот результат также приписывается Мадхаве.
- «Теперь, с помощью того же аргумента, можно [сделать] определение дуги желаемого синуса. Это происходит следующим образом:
- Первый результат — это произведение искомого синуса и радиуса, деленного на косинус. Если сделать квадрат синуса множителем, а квадрат косинуса делителем,
- теперь группа результатов должна быть определена из [предыдущих] результатов, начиная с первого. Если их разделить по порядку на нечетные числа 1, 3 и т. д.,
- и когда кто-то вычитает сумму четных [-нумерованных результатов] из суммы нечетных, [это] должна быть дуга. Здесь в качестве желаемого [синуса] требуется считать меньший из синуса и косинуса.
- В противном случае не было бы прекращения результатов, даже если бы они [вычислялись] неоднократно». [3]
формулы утверждают, что если для произвольной дуги θ окружности радиуса R известны мы Приведенные выше имеем : синус и косинус и если мы предположим, что sin θ < cos θ, то
- θ = (R sin θ)/(1 cos θ) − (R sin θ) 3 θ)/(3 потому что 3 и) + (R грех 5 θ)/(5 потому что 5 i) − (R грех 7 θ)/(7 потому что 7 я) + . . .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Штернбах, Людвик. «Обзор Лилавати Бхаскарачарьи с Криякрамакари» (PDF) . Журнал Американского восточного общества. Архивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2011 года . Проверено 5 марта 2011 г.
- ^ Джозеф, Джордж Гевергезе. «Развитие бесконечных серий в трех культурах – предыстория и внутренние достижения» . Проверено 5 марта 2011 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Плофкер, Ким (18 января 2009 г.). Математика в Индии . Принстон: Издательство Принстонского университета . стр. 221–248. ISBN 978-0-691-12067-6 .
- ^ Хаяси, Такао (2000). «Арифметические правила Говиндасвами, цитируемые в Криякрамакари Шанкары и Нараяны» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 35 (3): 189–231. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 года . Проверено 5 марта 2011 г.
- ^ Сарма, КВ (1975). Лилавати отредактировала комментарий Криякрамакари Шанкары и Нараяны . Хошиарпур: Институт ведических исследований Вишвешварананда.
- ^ Хаяси, Такао. «Электронный текст Лилавати Бхаскары II» . Проверено 5 марта 2011 г.
- ^ Джон, Тейлор (1816). Лилавати, или трактат по арифметике и геометрии . п. 94.
Научные исследования в Керале |
|---|
