Мадхава из Сангамаграмы

Мадхава из Сангамаграмы
Рожденный	в. 1340 (или ок. 1350 г. ) Сангамаграма , Королевство Кочин (современный Иринджалакуда , Керала , Индия )
Умер	в. 1425 г. (75–85 лет) Кочин , империя Виджаянагара (современный штат Керала , Индия )
Занятие	Астроном - математик
Известный	Открытие степенного ряда Разложения тригонометрических синуса , косинуса и арктангенса функций бесконечных рядов Формулы суммирования для π
Заметная работа	Голавада , Мадхьяманаянапракара , Венвароха , Спхутачандрапти
Заголовок	Голавид (Мастер сферики)

Мадхава из Сангамаграмы ( Мадхаван ) ( ок. 1340 – ок. 1425 ) был индийским математиком и астрономом , который считается основателем Керальской школы астрономии и математики в позднем средневековье . Мадхава внес новаторский вклад в изучение бесконечных рядов , исчисления , тригонометрии , геометрии и алгебры . Он был первым, кто использовал аппроксимации бесконечными рядами для ряда тригонометрических функций, что было названо «решительным шагом вперед от конечных процедур древней математики к их предельному переходу на бесконечность ».

Биография

О жизни Мадхавы мало что известно достоверно. Однако из разрозненных упоминаний о Мадхаве, найденных в различных рукописях, историки школы Кералы собрали воедино информацию о математике. В рукописи, хранящейся в Институте Востока в Бароде, Мадхава упоминается как Мадхаван венварохадинам картта… Мадхаван Иланниппади Эмпран . Было отмечено, что эпитет «Эмпран» относится к общине Эмпрантири , к которой мог принадлежать Мадхава.

Термин «Иланниппахи» был идентифицирован как ссылка на резиденцию Мадхавы. Это подтверждает сам Мадхава. В своей короткой работе о положениях Луны под названием «Венвароха » Мадхава говорит, что он родился в доме под названием бакудхиштхита. . . вихара . Это явно санскритское слово Иланниппахи . Иланньи — это малаяламское название вечнозеленого дерева Mimusops elengi , а его санскритское название — Бакуха . Палли — это термин, обозначающий деревню. Санскритское название дома бакудхиштхита. . . Вихара также интерпретировалась как отсылка к малаяламскому названию дома Иранньи нинна ппакхи , и некоторые историки пытались идентифицировать его с одним из двух существующих в настоящее время домов с названиями Ириннянаваки и Иринньярапакхи , оба из которых расположены недалеко от города Иринджалакуда в центральной Керале. Это отождествление надуманно, поскольку оба имени не имеют ни фонетического сходства, ни семантического эквивалента слову «Ilaññippaḷḷi».

Большинство авторов астрономических и математических работ, живших после периода Мадхавы, называли Мадхаву «Сангамаграма Мадхава», и поэтому важно, чтобы истинное значение слова «Сангамаграма» было разъяснено. По общему мнению многих ученых, Сангамаграма — это город Иринджалакуда, расположенный примерно в 70 км к югу от реки Нила и примерно в 70 км к югу от Кочина . Кажется, что для этой веры не так уж много конкретных оснований, за исключением, возможно, того факта, что главенствующему божеству раннего средневекового храма в городе, храма Кудалманикьям , поклоняются как Сангамешваре, что означает «Владыка Самгамы», и поэтому Самгамаграму можно интерпретировать как деревня Самгамешвара. есть несколько мест, Но в Карнатаке в названии которых присутствует самгама или ее эквивалент кудала, а также есть храм, посвященный Самгамсваре, повелителю слияния. ( Кудаласангама в районе Багалкот — одно из таких мест со знаменитым храмом, посвященным Господу Самгамы.)

На южном берегу реки Нила, примерно в 10 км вверх по течению от Тирунавая , есть небольшой городок, который называется Кудаллур. Точный дословный перевод этого названия на санскрит — Самгамаграм: кутал на малаялам означает слияние (что на санскрите — самгама ), а ур — деревня (что на санскрите — грама ). Также это место находится в месте слияния реки Нила и ее самого важного притока, а именно реки Кунти. (Рядом с Иринджалакуадой нет слияния рек.) Между прочим, до сих пор существует семья Намбудири (малаяли браминов) по имени Куталлур Мана в нескольких километрах от деревни Кудаллур . Семья берет свое начало в самой деревне Кудалур. На протяжении многих поколений в этой семье жил великий гурукулам, специализирующийся на Веданге . Тот факт, что единственная доступная рукопись « Сфутачандрапти» , книги, автором которой является Мадхава, была получена из коллекции рукописей Куталлура Мана, может укрепить гипотезу о том, что Мадхава мог иметь некоторую связь с Куталлур Мана . Таким образом, наиболее вероятно, что предки Мадхавы мигрировали из страны Тулу или окрестностей, чтобы поселиться в деревне Кудаллур, расположенной на южном берегу реки Нила, недалеко от Тируннавая, за поколение или два до его рождения и жили в дом, известный как Иланньиппакхи , нынешняя личность которого неизвестна.

Дата

Также нет определенных свидетельств, позволяющих точно определить период расцвета Мадхавы. В своей «Венварохе» Мадхава указывает дату 1400 г. н.э. как эпоху. Ученик Мадхавы Парамешвара Намбудири , единственный известный прямой ученик Мадхавы, как известно, завершил свою основополагающую работу «Дригганита» в 1430 году, а дата Парамешвары была определена как ок. 1360 -1455. На основании таких косвенных свидетельств историки установили дату ок. 1340 – ок. 1425 г., Мадхава.

Историография

Хотя есть некоторые свидетельства математической работы в Керале до Мадхавы ( например , Садратнамала в. 1300, набор фрагментарных результатов ), из цитат ясно, что Мадхава дал творческий импульс развитию богатой математической традиции в средневековой Керале. Однако, за исключением пары, большинство оригинальных работ Мадхавы утеряны. Он упоминается в работах последующих математиков Кералы, особенно в « Нилаканты Сомаяджи » Тантрасанграхе (ок. 1500 г.), как источник нескольких разложений в бесконечные ряды, включая sin θ и arctan θ . В тексте XVI века Махаджьянаяна пракара (Метод вычисления больших синусов) Мадхава цитируется как источник нескольких выводов ряда для числа π . В » Джьештхадева « Юктибхаше (ок. 1530 г.) написанные на малаялам , эти ряды представлены с доказательствами в терминах разложения в ряд Тейлора для полиномов типа 1/(1+ x ² ), где x = tan θ и т. д.

Таким образом, то, что явно является работой Мадхавы, является источником некоторых споров. Юкти -дипика (также называемая Тантрасанграха-вьяхья ), возможно, составленная Шанкарой Вариаром , учеником Джьештхадевы, представляет несколько версий разложений рядов для sin θ , cos θ и arctan θ , а также некоторые произведения с радиусом и длина дуги, большинство версий которой встречаются в Юктибхаше. Для тех, кто этого не делает, Раджагопал и Рангачари утверждают, подробно цитируя оригинальный санскрит: что, поскольку некоторые из них были приписаны Нилакантхой Мадхаве, некоторые другие формы также могут быть работой Мадхавы.

Другие предполагают, что ранний текст Каранападхати (ок. 1375–1475) или Махаджьянаяна пракара был написан Мадхавой, но это маловероятно.

Каранападхати , наряду с еще более ранним кералитским математическим текстом Садратнамала , а также Тантрасанграха и Юктибхаша , рассматривались в статье 1834 года К.М. Уиша , которая первой привлекла внимание к их приоритету над Ньютоном в открытии Флюксиона (название Ньютона для дифференциалы). В середине 20-го века российский ученый Юшкевич вновь обратился к наследию Мадхавы. а всесторонний обзор школы Кералы был предоставлен Сармой в 1972 году.

Родословная

Объяснение правила синуса в Юктибхаше

Есть несколько известных астрономов, которые предшествовали Мадхаве, в том числе Кталур Кижар (2 век), Вараручи (4 век) и Шанкаранараяна (866 г. н.э.). Не исключено, что ему предшествовали другие неизвестные личности. Однако после Мадхавы у нас есть более четкие сведения о традиции. Парамешвара был его прямым учеником. Согласно на пальмовом листе рукописи малаяламского комментария к Сурья-Сиддханте , сын Парамешвары Дамодара (ок. 1400–1500) имел Нилакантху Сомаяджи в качестве одного из своих учеников. Джьештадева был учеником Нилакантхи. Ачьютха Пишаради из Триккантиюра упоминается как ученик Джьештхадевы, а грамматист Мелпатур Нараяна Бхаттатири - как его ученик.

Взносы

Если мы рассматриваем математику как прогресс от конечных алгебраических процессов к рассмотрению бесконечного, то первые шаги к этому переходу обычно происходят с разложением в бесконечные ряды. Именно этот переход к бесконечной серии приписывают Мадхаве. В Европе первый такой ряд был разработан Джеймсом Грегори в 1667 году. Работа Мадхавы примечательна этой серией, но что действительно примечательно, так это его оценка ошибочного члена (или корректирующего члена). Это означает, что он очень хорошо понимал предельную природу бесконечного ряда. Таким образом, Мадхава, возможно, изобрел идеи, лежащие в основе бесконечные ряды разложения функций в , степенные ряды , тригонометрические ряды и рациональные аппроксимации бесконечных рядов.

Однако, как говорилось выше, какие результаты принадлежат именно Мадхаве, а какие — его преемникам, определить трудно. Ниже представлено краткое изложение результатов, приписываемых Мадхаве различными учеными.

Бесконечная серия

Основная статья: Серия Мадхава

Среди его многочисленных вкладов он открыл бесконечные ряды для функций синуса и множество , косинуса , арктангенса методов вычисления длины окружности тригонометрических . Одна из серий Мадхавы известна из текста Юктибхаша , который содержит вывод и доказательство степенного ряда для обратного тангенса , открытого Мадхавой. В тексте Джьештхадева описывает эту серию следующим образом:

Первое слагаемое представляет собой произведение заданного синуса и радиуса искомой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в результате итерационного процесса, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается путем сложения и вычитания соответственно членов нечетного и четного ранга. Установлено, что за заданный синус здесь следует принять синус дуги или синус ее дополнения, смотря по тому, что меньше. В противном случае члены, полученные в результате этой итерации, не будут стремиться к исчезающей величине.

Это дает:

$r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots$

или эквивалентно:

$\theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots$

Эта серия представляет собой серию Грегори (названную в честь Джеймса Грегори , который заново открыл ее через три столетия после Мадхавы). Даже если мы считаем эту конкретную серию работой Джьештхадевы , она возникла на столетие раньше Григория, и, конечно же, Мадхава разработал другие бесконечные серии аналогичной природы. Сегодня ее называют серией Мадхавы-Грегори-Лейбница .

Тригонометрия

Основная статья: таблица синусов Мадхавы

Мадхава составил точную таблицу синусов. Значения Мадхавы имеют точность до седьмого десятичного знака. Разметив четверть круга через двадцать четыре равных промежутка, он дал длины полухорды (синусы), соответствующие каждому из них. Считается, что он, возможно, вычислил эти значения на основе разложения в ряд:

грех q = q - q ³ /3! + д ⁵ /5! − q ⁷ /7! + ...

потому что q = 1 - q ² /2! + д ⁴ /4! − q ⁶ /6! + ...

Значение π (пи)

Основная статья: Срок исправления Мадхавы

Работа Мадхавы о значении математической константы Пи цитируется в Махаджьянаяне пракаре («Методы больших синусов»). Хотя некоторые ученые, такие как Сарма Чувствую, что эта книга могла быть написана самим Мадхавой, но, скорее всего, это работа его преемника 16-го века. Этот текст приписывает большинство расширений Мадхаве и дает следующее в бесконечный ряд разложение числа π , теперь известное как ряд Мадхавы-Лейбница :

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},$

который он получил из разложения в степенной ряд функции арктангенса. Однако самое впечатляющее то, что он также дал поправочный член R _n для ошибки после вычисления суммы до n членов: а именно:

Р _н = (−1) ^н / (4 n ), или

Р _н = (−1) ^н ⋅ н / (4 н ² + 1), или

Р _н = (−1) ^н ⋅( п ² + 1)/(4 н ³ +5н ) ,

где третья поправка приводит к очень точным вычислениям π .

Уже давно предполагают, как Мадхава нашел эти корректирующие условия. Это первые три дроби конечной цепной дроби, которая в сочетании с исходным рядом Мадхавы, рассчитанным до n членов, дает около 3 n /2 правильных цифр:

${\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.$

Абсолютное значение поправочного члена в следующем более высоком порядке равно

| р _н | = (4 н ³ + 13 н ) / (16 н ⁴ + 56 н ² + 9).

Он также дал более быстро сходящийся ряд, преобразовав исходный бесконечный ряд π , получив бесконечный ряд

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).$

Используя первые 21 член для вычисления приближения π , он получает значение с точностью до 11 десятичных знаков (3,14159265359). Значение 3,1415926535898 с точностью до 13 десятичных знаков иногда приписывают Мадхаве. но, возможно, это связано с одним из его последователей. Это были самые точные приближения числа π, данные с V века (см. Историю численных приближений числа π ).

Текст Садратнамала , кажется, дает удивительно точное значение π = 3,14159265358979324 (с точностью до 17 десятичных знаков). На основании этого Р. Гупта предположил, что этот текст также был написан Мадхавой.

Мадхава также провел исследования других рядов для длин дуг и связанных с ними приближений к рациональным дробям π .

Исчисление

Мадхава разработал разложение в степенной ряд для некоторых тригонометрических функций, которые были далее развиты его преемниками в школе астрономии и математики Кералы . (Некоторые идеи исчисления были известны более ранним математикам .) Мадхава также расширил некоторые результаты, найденные в более ранних работах, в том числе в работах Бхаскары II . Однако они не объединили множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла, не показали связь между ними и не превратили исчисление в мощный инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня.

Работы Мадхавы

К. В. Сарма определил Мадхаву как автора следующих произведений:

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянаянапракара (метод вычисления больших синусов)
4. Lagnaprakarana (लग्नप्रकरणЛагнапракарана
5. Venvaroha (वेण्वारोहВенвароха
6. Сфутачандрапти ( Sphṭacandrāpti )
7. - Грахачара Аганита
8. Чандравакьяни ( Чандравакьяни ) (Таблица лунной мнемоники)

Керальская школа астрономии и математики

Основная статья: Школа астрономии и математики Кералы

Керальская школа астрономии и математики была основана Мадхавой из Сангамаграмы в Керале, Южная Индия, и среди ее членов входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Его расцвет пришелся на период с 14 по 16 века. Они дали три важных результата: разложение в ряд трех тригонометрических функций синуса, косинуса и арктанта, а также доказательство их результатов, которое позже было дано в Юктибхасы . тексте

Группа также проделала много другой работы в области астрономии; действительно, для астрономических вычислений создано гораздо больше страниц, чем для обсуждения результатов, связанных с анализом.

Школа Кералы также внесла большой вклад в лингвистику (отношения между языком и математикой — древняя индийская традиция, см. Катьяяна ). Аюрведические . и поэтические традиции Кералы также восходят к этой школе Знаменитое стихотворение «Нараяниям » было написано Нараяной Бхаттатири .

Влияние

Мадхаву называли «величайшим математиком-астрономом средневековой Индии». некоторые из его открытий в этой области показывают, что он обладал необычайной интуицией». О'Коннор и Робертсон заявляют, что справедливая оценка Мадхавы состоит в том, чтоон сделал решительный шаг к современному классическому анализу.

Возможное распространение в Европе

Керальская школа была хорошо известна в XV и XVI веках, в период первых контактов с европейскими мореплавателями на Малабарском побережье . В то время порт Музирис , недалеко от Сангамаграмы множество иезуитских , был крупным центром морской торговли, и в этом регионе действовало миссионеров и торговцев. Учитывая известность школы Кералы и интерес, проявленный некоторыми группами иезуитов в этот период к местной науке, некоторые ученые, в том числе Дж. Джозеф из Университета Манчестера, предложили что примерно в это же время сочинения керальской школы, возможно, также были переданы в Европу, то есть примерно за столетие до Ньютона. Однако прямых доказательств того, что такая передача действительно имела место, в виде соответствующих рукописей нет. По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких свидетельств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века».

См. также

• Мадхава обсерватория
• Таблица синусов Мадхавы
• Серия Мадхава
• Срок исправления Мадхавы
• Продать это
• Юктибхаша
• Керальская школа астрономии и математики
• Список астрономов и математиков школы Кералы
• Список индийских математиков
• Индийская математика
• История исчисления

Внешние ссылки

• Биография на MacTutor