Формула Лейбница для p

Другие формулы, известные под тем же названием, см. в разделе «Список вещей, названных в честь Готфрида Лейбница» .

В математике формула Лейбница для числа π , названная в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , утверждает, что $${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},$$

чередующийся сериал .

Его иногда называют рядом Мадхавы-Лейбница , поскольку он был впервые открыт индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы или его последователями в 14-15 веках (см. Серию Мадхавы ), и позже был независимо переоткрыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Лейбницем в 1673 году. Ряд Тейлора для функции обратного тангенса , часто называемый рядом Грегори , равен $$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.$$

Формула Лейбница является частным случаем. ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Это также L -серия Дирихле неглавного характера Дирихле с модулем 4, оцененная при $s=1,$ и, следовательно, значение β (1) Дирихле бета-функции .

Доказательства

Доказательство 1

$${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}$$

Учитывая только интеграл в последнем члене, имеем: $$0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .$$

Следовательно, по теореме о сжатии при n → ∞ у нас остается ряд Лейбница: $${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$$

Доказательство 2

Позволять $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}$, когда $|z|<1$, сериал $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}$ сходится равномерно, то $$\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).$$

Следовательно, если $f(z)$ подходы $f(1)$ так что он непрерывен и сходится равномерно, доказательство завершено, где ряд $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ сходиться по критерию Лейбница , а также, $f(z)$ подходы $f(1)$ изнутри угла Штольца, так что по теореме Абеля это верно.

Конвергенция

Сравнение сходимости формулы Лейбница ( □ ) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Формула Лейбница сходится крайне медленно: она демонстрирует сублинейную сходимость . Для вычисления числа π с точностью до 10 правильных десятичных знаков с помощью прямого суммирования ряда требуется ровно пять миллиардов членов, потому что ⁠ 4/2 < ⁠ к + 1 10 ⁻¹⁰ для к > 2 × 10 ¹⁰ − ⁠ 1/2 ⁠ ( ) необходимо применить оценку ошибки Калабрезе . Чтобы получить 4 правильных десятичных знака (ошибка 0,00005), нужно 5000 членов. Доступны границы ошибок даже лучше, чем Калабрезе или Джонсонбо.

Однако формулу Лейбница можно использовать для расчета π с высокой точностью (сотни цифр и более) с использованием различных методов ускорения сходимости . Например, преобразование Шенкса , преобразование Эйлера или преобразование Ван Вейнгаардена , которые являются общими методами чередующихся рядов, могут эффективно применяться к частичным суммам ряда Лейбница. Далее, попарное объединение членов дает неперемежающийся ряд $${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}$$

которую можно оценить с высокой точностью по небольшому количеству членов с использованием экстраполяции Ричардсона или формулы Эйлера-Маклорена . Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью формулы Абеля – Планы и оценить с помощью методов численного интегрирования .

Необычное поведение

Если ряд усечен в нужный момент, десятичное разложение приближения будет совпадать с разложением π для многих других цифр, за исключением отдельных цифр или групп цифр. Например, если взять пять миллионов членов, получим $$3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...$$

где подчеркнутые цифры неверны. На самом деле ошибки можно предсказать; они порождены Эйлера En _по асимптотической формуле числами $${\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}$$

где N — целое число, делящееся на 4. Если N выбрано в качестве степени десяти, каждый член правильной суммы становится конечной десятичной дробью. Эта формула представляет собой частный случай формулы суммирования Эйлера-Буля для чередующихся рядов, предоставляя еще один пример метода ускорения сходимости, который можно применить к рядам Лейбница. В 1992 году Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовали первую тысячу чисел Эйлера для вычисления числа π с точностью до 5263 десятичных знаков по формуле Лейбница.

произведение Эйлера

Формулу Лейбница можно интерпретировать как ряд Дирихле, используя уникальный неглавный характер Дирихле по модулю 4. Как и в случае с другими рядами Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечное произведение с одним членом для каждого простого числа . Такое произведение называется произведением Эйлера . Это: $${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}$$ В этом произведении каждый член представляет собой суперчастное отношение , каждый числитель — нечетное простое число, а каждый знаменатель — ближайшее к числителю число, кратное 4.

См. также

• Список формул, включающих π