Архимедова спираль

Три петли на 360 ° одного плеча архимедовой спирали.

Спираль Архимеда (также известная как арифметическая спираль ) — это спираль, жившего в III веке до нашей эры названная в честь греческого математика Архимеда, . Это локус , соответствующий положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в полярных координатах ( r , θ ) это можно описать уравнением

$$r=b\cdot \theta$$

с действительным числом b . Изменение параметра b управляет расстоянием между циклами.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно сказать: положение частицы от начальной точки пропорционально углу θ с течением времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге «О спиралях» . Конон Самосский был его другом, и Папп утверждает, что эту спираль открыл Конон.

Вывод общего уравнения спирали

См. Также: Круговое движение.

Ниже используется физический подход для понимания понятия архимедовых спиралей.

Предположим, точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью v, направленной параллельно оси x , относительно плоскости xy . Пусть в момент времени t = 0 объект находился в произвольной точке ( c , 0, 0) . Если плоскость xy вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z , то скорость точки относительно оси z можно записать как:

Плоскость xy поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) вокруг начала координат за время t . ( c , 0) — положение объекта в момент t = 0 . P — положение объекта в момент времени t на расстоянии R = vt + c .

$${\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}$$

Как показано на рисунке рядом, у нас есть vt + c, представляющий модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , с v _x и v _y в качестве компонентов скорости вдоль осей x и y соответственно.

$${\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}$$

Приведенные выше уравнения можно проинтегрировать, применив интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

$${\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}$$

Возведение двух уравнений в квадрат, а затем добавление (и некоторые небольшие изменения) приводит к декартову уравнению

$${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c$$

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctan y / x ) или

$$\tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}$$

Его полярная форма

$$r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.$$

Длина и кривизна дуги

Соприкасающиеся окружности спирали Архимеда, касательные к спирали и имеющие одинаковую кривизну в точке касания. Сама спираль не нарисована, но ее можно рассматривать как точки, где круги расположены особенно близко друг к другу.

Учитывая параметризацию в декартовых координатах

$$f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )$$

дуги длина от θ ₁ до θ ₂ равна

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}$$

или, что то же самое:

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.$$

Таким образом, общая длина от θ ₁ = 0 до θ ₂ = θ равна

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].$$

Кривизна определяется выражением

$$\kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b\left(\theta ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}$$

Характеристики

Архимедова спираль представлена ​​на полярном графике

Спираль Архимеда обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные витки спирали в точках с постоянным расстоянием разделения (равным 2 πb, если θ измеряется в радианах ), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния точек пересечения, отсчитываемые от начала координат, образуют геометрическую прогрессию .

Спираль Архимеда имеет два рукава: один для θ > 0 и один для θ < 0 . Оба плеча плавно соединены в начале. На прилагаемом графике показана только одна рука. Если зеркально отобразить эту руку по оси Y, получится другая рука.

При больших θ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением вдоль спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью. (см. вклад Михаила Гайченкова).

По мере роста архимедовой спирали ее эволюция асимптотически приближается к окружности радиусом | в | / ω .

Общая спираль Архимеда

Иногда термин «спираль Архимеда» используется для обозначения более общей группы спиралей.

$$r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.$$

Обычная спираль Архимеда возникает, когда c = 1 . Другие спирали, попадающие в эту группу, включают гиперболическую спираль ( c = −1 ), спираль Ферма ( c = 2 ) и литуус ( c = −2 ).

Приложения

Один из методов квадратуры круга , предложенный Архимедом, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как с помощью спирали можно разделить угол на три части . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах.

Механизм спирального компрессора

Спираль Архимеда имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры , используемые для сжатия газов, имеют роторы, которые могут быть изготовлены из двух чередующихся спиралей Архимеда, эвольвент круга одинакового размера, почти напоминающих спирали Архимеда. или гибридные кривые.

Архимедовы спирали можно найти в спиральных антеннах , которые могут работать в широком диапазоне частот.

Витки часов пружин баланса и канавки очень ранних граммофонных пластинок образуют архимедовы спирали, делая канавки равномерно расположенными (хотя позже было введено переменное расстояние между дорожками, чтобы максимизировать количество музыки, которую можно было записать на пластинку).

Попросить пациента нарисовать спираль Архимеда — это способ количественной оценки человеческого тремора ; эта информация помогает в диагностике неврологических заболеваний.

Архимедовы спирали также используются в проекционных системах цифровой обработки света (DLP), чтобы минимизировать « эффект радуги », создавая впечатление, будто несколько цветов отображаются одновременно, хотя на самом деле красный, зеленый и синий чередуются очень быстро. . Кроме того, спирали Архимеда используются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий с помощью спирального планшета.

полученное с помощью большой миллиметровой решетки в Атакаме Изображение LL Pegasi,

Они также используются для моделирования узора, который возникает в рулоне бумаги или ленте постоянной толщины, обернутом вокруг цилиндра.

Многие динамические спирали (такие как спираль Паркера солнечного ветра или узор колеса Екатерины ) являются архимедовыми. Например, звезда LL Пегаса демонстрирует примерную архимедову спираль в окружающих ее пылевых облаках, которые, как полагают, являются выброшенным веществом из звезды, которая была превращена в спираль другой звездой-компаньоном как часть двойной звездной системы.

См. также

• Винт Архимеда – Механизм для откачки воды
• Спираль Ферма - спираль, охватывающая равную площадь за оборот.
• Золотая спираль - Самоподобная кривая, связанная с золотым сечением.
• Гиперболическая спираль - Спираль, асимптотическая прямой.
• Список спиралей
• Логарифмическая спираль – Самоподобная кривая роста
• Спираль Теодора – многоугольная кривая, состоящая из прямоугольных треугольников.
• Символ тройной спирали — различные символы с тройной вращательной симметрией. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Внешние ссылки

• Джонатан Мэтт делает спираль Архимеда интересной - Видео: Удивительная красота математики - TedX Talks , Green Farms
• Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Архимеда» . Математический мир .
• Архимедова спираль в PlanetMath .
• Страница с Java-приложением для интерактивного изучения спирали Архимеда и связанных с ней кривых.
• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
• Архимедова спираль в «mathcurve»