Гекслет Содди

В геометрии гекслет Содди представляет собой цепочку из шести сфер (показаны серым цветом на рисунке 1), каждая из которых касается обоих своих соседей, а также трех взаимно касающихся данных сфер. На рисунке 1 три сферы — это красная внутренняя сфера и две сферы (не показаны) выше и ниже плоскости, на которой лежат центры сфер гекслета. Кроме того, сферы гекслета касаются четвертой сферы (синяя внешняя сфера на рисунке 1), которая не касается трех других.

Согласно теореме, опубликованной Фредериком Содди в 1937 году, ^{[ 1 ]} всегда можно найти гекслет для любого выбора взаимно касающихся A , B и C. сфер Действительно, существует бесконечное семейство гекслетов, связанных вращением и масштабированием сфер гекслетов (рис. 1); в этом смысле гекслет Содди представляет собой сферический аналог цепочки Штейнера из шести кругов. ^{[ 2 ]} В соответствии с цепями Штейнера центры сфер гекслета лежат в одной плоскости, на эллипсе. Гекслет Содди также был независимо обнаружен в Японии, о чем свидетельствуют таблички Сангаку 1822 года в префектуре Канагава. ^{[ 3 ]}

Определение

Гекслет Содди представляет собой цепочку из шести сфер, обозначенных S ₁ – S ₆ , каждая из которых касается трех данных сфер A , B и C , которые сами касаются друг друга в трех различных точках. (Для единообразия в статье сферы гекслета всегда будут изображаться серым цветом, сферы A и B — зеленым, а сфера C — синим.) Сферы гекслета также касаются четвертой фиксированной сферы D (всегда показанной красным), которая не касается трех других A , B и C. :

Каждая сфера гекслета Содди также касается своих соседей по цепочке; например S4 касается S3 _. и S5 _, сфера Цепочка замкнутая, а это означает, что каждая сфера в цепочке имеет двух касательных соседей; начальная и конечная сферы S1 _{частности ,} и S6 _в касаются друг друга.

Кольцевой гекслет

Кольцевой гекслет Содди представляет собой особый случай (рис. 2), в котором три взаимно касательные сферы состоят из одной сферы радиуса r (синий), зажатой между двумя параллельными плоскостями (зеленый), разделенными перпендикулярным расстоянием 2 r . В этом случае гекслет Содди состоит из шести сфер радиуса r, упакованных как шарикоподшипники вокруг центральной сферы и также зажатых между собой. Сферы гекслета также касаются четвертой сферы (красной), которая не касается трех других.

Цепочку из шести сфер можно вращать вокруг центральной сферы, не затрагивая их касаний, показывая, что для этого случая существует бесконечное семейство решений. При вращении сферы гекслета очерчивают тор (поверхность в форме пончика); другими словами, тор — это оболочка этого семейства гекслетов.

Решение путем обращения

Общая задача нахождения гекслета для трех заданных взаимно касающихся сфер A , B и C может быть сведена к кольцевому случаю с помощью инверсии . Эта геометрическая операция всегда превращает сферы в сферы или в плоскости, которые можно рассматривать как сферы бесконечного радиуса. Сфера превращается в плоскость тогда и только тогда, когда сфера проходит через центр инверсии. Преимущество инверсии в том, что она сохраняет касание; если две сферы касаются друг друга до трансформации, они остаются таковыми и после. Таким образом, если инверсионное преобразование выбрано разумно, проблему можно свести к более простому случаю, такому как кольцевой гекслет Содди. Инверсия обратима; повторение инверсии в той же точке возвращает преобразованные объекты к их исходному размеру и положению.

Инверсия в точке касания сфер А и В превращает их в параллельные плоскости, которые можно обозначить как а и b . Поскольку сфера C касается как A, так и B и не проходит через центр инверсии, C превращается в другую сферу c , касающуюся обеих плоскостей; следовательно, c находится между двумя плоскостями a и b . Это кольцевой гекслет Содди (рис. 2). Шесть сфер s1 _– . s6 _могут упакованы вокруг c и аналогичным образом зажаты между ограничивающими плоскостями a и b быть Повторная инверсия восстанавливает три исходные сферы и преобразует s ₁ – s ₆ в гекслет исходной задачи. В общем, эти гекслет-сферы S ₁ – S ₆ имеют разные радиусы.

Бесконечное разнообразие гекслетов может быть создано путем вращения шести шаров s ₁ – s ₆ в их плоскости на произвольный угол перед их повторным инвертированием. Оболочка, создаваемая такими вращениями, представляет собой тор , окружающий сферу c и зажатый между двумя плоскостями a и b ; таким образом, тор имеет внутренний радиус r и внешний радиус 3 r . После реинверсии этот тор становится циклидой Дюпена (рис. 3).

Циклида Дюпена

Оболочкой циклида гекслетов Содди является Дюпена , инверсия тора . Таким образом, конструкция Содди показывает, что циклида Дюпена является оболочкой однопараметрического семейства сфер двумя разными способами, и каждая сфера в любом семействе касается двух сфер в том же семействе и трех сфер в другом семействе. ^{[ 4 ]} Этот результат, вероятно, был известен Шарлю Дюпену , который открыл циклиды, носящие его имя, в своей диссертации 1803 года под руководством Гаспара Монжа . ^{[ 5 ]}

Связь с цепями Штейнера

Пересечение гекслета с плоскостью его сферических центров образует цепочку Штейнера из шести окружностей.

Параболические и гиперболические гекслеты

Предполагается, что сферы $A$ и $B$ имеют одинаковый размер.

В любом эллиптическом гекслете, таком как показанный вверху статьи, есть две касательные плоскости к гекслету. Чтобы эллиптический гекслет существовал, радиус $C$ должен быть меньше четверти $A.$ радиуса Если $радиус C$ составляет четверть $радиуса A$ станет плоскостью , каждая сфера в путешествии . Однако перевернутое изображение показывает обычный эллиптический гекслет, а в параболическом гекслете точка, в которой сфера превращается в плоскость, наступает именно тогда, когда ее перевернутое изображение проходит через центр инверсии. В таком гекслете есть только одна касательная плоскость к гекслету. Линия центров параболического гекслета является параболой.

Если $C$ еще больше, образуется гиперболический гекслет, и теперь касательных плоскостей вообще нет. сферы $S1 от$ до $S6 .$ Обозначьте $Таким образом, S 1$ не может уйти очень далеко, пока не станет плоскостью (где его перевернутое изображение проходит через центр инверсии), а затем не изменит свою вогнутость на противоположную (когда его перевернутое изображение окружает центр инверсии). Теперь линия центров представляет собой гиперболу.

Предельным случаем является случай, когда $A$ , $B$ и $C$ имеют одинаковый размер. Гекслет теперь становится прямым. $S 1$ мал, когда проходит через отверстие между $A$ , $B$ и $C$ , и растет, пока не станет плоскостью, касающейся их. Центр инверсии теперь также находится в точке касания с изображением $S6, то есть это тоже$ плоскость, $A$ , $B$ и $C.$ касающаяся По мере $S1 продвижения$ она окружает все остальные сферы, касающиеся $A$ , $B$ , $C$ , $S2 S6$ и $ее вогнутость меняется на противоположную, и теперь$ . $S 2$ выталкивается вверх и увеличивается, образуя касательную плоскость, а $S 6$ сжимается. $S1 положение S6$ Тогда $принимает прежнее как касательная$ плоскость. Затем он снова меняет вогнутость на противоположную и снова проходит через отверстие, начиная новое путешествие туда и обратно. Теперь линия центров представляет собой вырожденную гиперболу, где она схлопнулась на две прямые линии. ^{[ 2 ]}

Таблетки Сангаку

Японские математики открыли тот же гекслет более чем на сто лет раньше Содди. Они анализировали задачи упаковки, в которых соприкасаются круги и многоугольники, шары и многогранники, и часто независимо находили соответствующие теоремы до их открытия западными математиками. Они часто публиковали их как сангаку . Сангаку о гекслете был создан Ирисавой Синтаро Хироацу в школе Учида Ицуми и посвящен храму Самукава в мае 1822 года. Оригинал сангаку утерян, но был записан в книге Учиды о Коконсанкане в 1832 году. Точная копия сангаку. был сделан на основе пластинки и посвящен музею Хотоку в храме Самукава в августе. 2009. ^{[ 6 ]}

Сангаку Ирисавы состоит из трех задач. Третья задача относится к гекслету Содди: «Диаметр внешней описывающей сферы равен 30 солнц . Диаметры ядерных шаров равны 10 солнц и 6 солнц каждый. Диаметр одного из шаров в цепочке шаров равен 5 солнц. Потом спросил диаметры остальных шариков. Ответ: 15 сан, 10 сан, 3,75 сан, 2,5 сан и 2+. 8/11, солнце». ^{[ 7 ]}

В его ответе записан метод расчета диаметров шариков, который в преобразовании в математическую запись дает следующее решение. Если отношения диаметра внешнего шара к каждому из ядерных шаров равны a ₁ , a ₂ , и если отношения диаметра к цепным шарам равны c ₁ , ..., c ₆ . мы хотим представить c ₂ , ..., 6 _через a ₁ , a ₂ c и c ₁ . Если

K={\sqrt {3\left(a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right)}}

затем,

{\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K.\end{aligned}}

.

Тогда c ₁ + c ₄ = c ₂ + c ₅ = c ₃ + c ₆ .

Если r ₁ , ..., r ₆ — диаметры шести шариков, получаем формулу:

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{4}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.

См. также

Примечания

Ссылки

Амано, Хироши (1992), Коллекция Сангаку в префектуре Канагава (Канагава-кен Сангаку-сю на японском языке) , Амано, Хироши .
Коксетер, HSM (1952), «Сцепленные кольца сфер», Scripta Mathematica , 18 : 113–121 .
Фукагава, Хидэтоси; Ротман, Тони (2008), Сакральная математика: геометрия японского храма , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12745-3
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), «Пьер Шарль Франсуа Дюпен» , архив MacTutor History of Mathematics .
Огилви, CS (1990), Экскурсии по геометрии , Дувр, ISBN 0-486-26530-7 .
Содди, Фредерик (1937), «Чаша целых чисел и гекслет», Nature , 139 (3506), Лондон: 77–79, doi : 10.1038/139077a0 .
Ротман, Т. (1998), «Геометрия японского храма», Scientific American , 278 : 85–91, doi : 10.1038/scientificamerican0598-84 .
Ямадзи, Кацунори, Нисида, Томоми, ред. (2009), Словарь Васана (Васан но Дзитен на японском языке) , Асакура, ISBN. 978-4-254-11122-4 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гекслет» . Математический мир .
Б. Аллансон. «Анимация гекслета Содди» .
Геометрия японского храма в Wayback Machine (архив от 19 марта 2019 г.) - анимация 0 ЗАДАЧИ САНГАКУ 0 показывает случай, когда радиусы сфер A и B равны друг другу, а центры сфер A, B и C находятся на линия. Анимация 1 показывает случай, когда радиусы сфер A и B равны друг другу, а центры сфер A, B и C не лежат на прямой. Анимация 2 показывает случай, когда радиусы сфер A и B не равны друг другу. На анимации 3 показан случай, когда центры сфер A, B и C находятся на прямой, а радиусы сфер A и B являются переменными.
Реплика Сангаку в музее Хотоку в храме Самукава в Wayback Machine (архивировано 26 августа 2016 г.). Третья проблема связана с гекслетом Содди.
Страница Коконсанкана (1832 г.) - Математический факультет Киотского университета
Страница Коконсанкана (1832 г.) - левая страница относится к гекслету Содди.

[1] Содди 1937 г.

[ogilvy-2] Jump up to: ^а ^б Огилви, 1990 г.

[3] Ротман 1998 г.

[4] Коксетер 1952

[5] О'Коннор и Робертсон 2000

[6] Ямаджи и Нисида 2009 , стр. 443.

[7] Амано 1992 , стр. 21–24.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]