Цепь Штайнера

В геометрии цепочка Штейнера представляет собой набор из $n$ окружностей, все из которых касаются двух заданных непересекающихся окружностей (синего и красного на рисунке 1), где $n$ конечно и каждый круг в цепочке касается предыдущего и следующие круги по цепочке. В обычных замкнутых цепях Штейнера первая и последняя ( $n$ -я) окружности также касаются друг друга; напротив, в открытых цепях Штейнера это не обязательно. Данные окружности $α$ и $β$ не пересекаются, но в остальном являются неограниченными; меньший круг может полностью лежать внутри или снаружи большего круга. В этих случаях центры окружностей цепочки Штейнера лежат на эллипсе или гиперболе соответственно.

Цепи Штайнера названы в честь Якоба Штайнера , который определил их в 19 веке и открыл многие их свойства. Фундаментальным результатом является Штейнера поризм , который гласит:

существует хотя бы одна замкнутая цепочка Штейнера из

n

Если для двух данных окружностей

α

и

β

окружностей , то существует бесконечное число замкнутых цепочек Штейнера из

n

окружностей; и любую окружность, касающуюся

α

и

β

таким же образом ^[а] является членом такой цепочки.

Метод обращения круга полезен при рассмотрении цепей Штейнера. Поскольку инверсия сохраняет касания, углы и окружности, она преобразует одну цепь Штейнера в другую, состоящую из того же числа окружностей. Один конкретный выбор инверсии преобразует данные окружности $α$ и $β$ в концентрические окружности; в этом случае все круги цепи Штейнера имеют одинаковый размер и могут «кататься» в кольце между кругами, подобно шарикоподшипникам . Эта стандартная конфигурация позволяет вывести несколько свойств цепей Штейнера, например, ее точки касания всегда лежат на окружности. Существует несколько обобщений цепей Штейнера, в первую очередь гекслет Содди и цепи Паппуса . ^[1]

Определения и виды касания

Цепочки Штейнера с разными внутренними и внешними касаниями.
Семь окружностей этой цепи Штейнера (черные) касаются снаружи заданного внутреннего круга (красного), но внутренне касаются заданного внешнего круга (синего).
Семь окружностей этой цепи Штейнера (черные) касаются снаружи обеих данных окружностей (красной и синей), лежащих вне друг друга.
Семь из 8 окружностей этой цепи Штейнера (черные) касаются снаружи обеих данных окружностей (красной и синей); восьмой круг внутренне касается обоих.

Две данные окружности α и β не могут пересекаться; следовательно, меньший данный круг должен лежать внутри или снаружи большего. Круги обычно изображаются в виде кольца , т. е. меньший заданный круг находится внутри большего. В этой конфигурации окружности цепи Штейнера касаются снаружи заданной внутренней окружности и касаются изнутри внешней окружности. Однако меньший круг может также полностью лежать за пределами большего (рис. 2). Черные кружки на рисунке 2 удовлетворяют условиям замкнутой цепочки Штейнера: все они касаются двух данных окружностей и каждый касается своих соседей в цепочке. В этой конфигурации окружности цепи Штейнера имеют одинаковый тип касания с обеими заданными окружностями, касающимися обеих снаружи или внутри. Если две заданные окружности касаются в одной точке, цепь Штейнера становится бесконечной цепью Паппуса , которая часто обсуждается в контексте арбелоса ( ножа сапожника ), геометрической фигуры, составленной из трех окружностей. Не существует общего названия для последовательности окружностей, касающихся двух данных окружностей, пересекающихся в двух точках.

Закрытые, открытые и многоцикловые

Замкнутые, открытые и многоцикловые цепи Штейнера.
Замкнутая цепочка Штейнера из девяти кругов. 1-я и 9-я окружности касаются друг друга.
Открытая цепочка Штейнера из девяти кругов. 1-й и 9-й круги перекрываются.
Мультициклическая цепочка Штейнера из 17 кругов в 2 витка. 1-й и 17-й круги соприкасаются.

Две данные окружности α и β касаются n окружностей цепи Штейнера, но каждая окружность C _k цепи Штейнера касается только четырех окружностей: α , β и двух ее соседей, C _{k −1} и C _{k +1} . По умолчанию цепи Штейнера считаются замкнутыми , т. е. первая и последняя окружности касаются друг друга. Напротив, открытая цепь Штейнера — это цепь, в которой первая и последняя окружности C ₁ и C _n не касаются друг друга; эти окружности касаются только трех окружностей. Мультициклические цепи Штейнера огибают внутреннюю окружность более одного раза, прежде чем замкнуться, т. е. прежде чем коснуться исходной окружности.

Замкнутые цепи Штейнера — это системы кругов, полученные как в соответствии с теоремой об упаковке кругов представление бипирамиды .

Кольцевой случай и критерий осуществимости

Кольцевые цепи Штейнера
п = 3
п = 6
п = 9
п = 12
п = 20

Простейший тип цепочки Штейнера — это замкнутая цепочка из n кругов одинакового размера, окружающих вписанный круг радиуса r ; сама цепочка окружностей окружена описанной окружностью радиуса R . лежат окружности цепи Штейнера Вписанные и описанные данные окружности концентричны, а в кольце между ними . По симметрии угол 2 θ между центрами окружностей цепочки Штейнера равен 360°/ n . Поскольку круги цепочки Штейнера касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, в данном случае удвоенному их радиусу ρ . Биссектриса (зеленая на рисунке) образует два прямоугольных треугольника с центральным углом θ = 180°/ n . Синус этого угла можно записать как длину его противоположного отрезка, разделенную на гипотенузу прямоугольного треугольника.

\sin \theta ={\frac {\rho }{r+\rho }}

Поскольку θ известно из n , это дает уравнение для неизвестного радиуса ρ окружностей цепочки Штейнера.

\rho ={\frac {r\sin \theta }{1-\sin \theta }}

Точки касания цепной окружности Штейнера с заданными внутренней и внешней окружностями лежат на прямой, проходящей через их общий центр; следовательно, внешний радиус R = r + 2 ρ .

Эти уравнения дают критерий возможности построения цепочки Штейнера для двух заданных концентрических окружностей. Замкнутая цепочка Штейнера из n окружностей требует, чтобы отношение радиусов R / r данных окружностей точно равнялось

{\frac {R}{r}}=1+{\frac {2\sin \theta }{1-\sin \theta }}={\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}=\left[\sec \theta +\tan \theta \right]^{2}

Как показано ниже, этот критерий отношения радиусов для концентрических данных кругов можно распространить на все типы данных кругов с помощью обратного расстояния δ между двумя данными кругами. Для концентрических кругов это расстояние определяется как логарифм отношения их радиусов.

\delta =\ln {\frac {R}{r}}

Используя решение для концентрических окружностей, общий критерий цепочки Штейнера из n можно записать окружностей:

\delta =2\ln \left(\sec \theta +\tan \theta \right).

Если многоциклическая кольцевая цепь Штейнера имеет всего n кругов и перед замыканием огибает m раз, угол между кругами цепи Штейнера равен

\theta ={\frac {m}{n}}180^{\circ }

В остальном критерий осуществимости не меняется.

Свойства при инверсии

Инверсивные свойства цепей Штейнера.
Две окружности (розовая и голубая), которые внутренне касаются обеих данных окружностей и центры которых коллинеарны с центром данных окружностей, пересекаются под углом 2 θ .
При инверсии эти линии и окружности становятся кругами с одинаковым углом пересечения 2 θ . Золотые круги пересекают два данных круга под прямым углом, т. е. ортогонально.
Окружности, проходящие через точки взаимного касания окружностей цепочки Штейнера, ортогональны двум данным окружностям и пересекают друг друга под углом, кратным углу 2 θ .
Окружности, проходящие через точки касания окружностей цепочки Штейнера с двумя заданными окружностями, ортогональны последней и пересекаются под углом, кратным углу 2 θ .

Инверсия кругов преобразует одну цепочку Штейнера в другую с тем же количеством кругов.

В преобразованной цепочке все точки касания между соседними окружностями цепи Штейнера лежат на окружности, а именно на концентрической окружности посередине между двумя фиксированными концентрическими окружностями. Поскольку касания и окружности при инверсии сохраняются, то это свойство всех касаний, лежащих на окружности, справедливо и в исходной цепочке. Это свойство также является общим с цепочкой кругов Паппуса , которую можно рассматривать как особый предельный случай цепочки Штейнера.

В преобразованной цепочке касательные от О к окружностям цепочки Штейнера разделены равными углами. В исходной цепочке это соответствует равным углам между касательными окружностями, проходящими через центр инверсии, используемый для преобразования исходных окружностей в концентрическую пару.

В преобразованной цепочке n линий, соединяющих пары точек касания окружностей Штейнера с концентрическими окружностями, проходят через O , общий центр. Аналогично, n прямых, касающихся каждой пары соседних окружностей в цепочке Штейнера, также проходят O. через Поскольку линии, проходящие через центр инверсии, инвариантны при инверсии, а касание и совпадение сохраняются при инверсии, 2 n линий, соединяющих соответствующие точки исходной цепи, также проходят через одну точку O .

Бесконечная семья

Если для двух данных кругов (синий) возможна даже одна замкнутая цепь Штейнера, то возможно бесконечное количество цепей Штейнера, связанных вращением. Их точки касания всегда попадают на окружность (оранжевого цвета). Если два заданных круга вложены один в другой, центры кругов цепи Штейнера (черные) попадают на эллипс (красный); в противном случае они падают на гиперболу .

Цепочку Штейнера между двумя непересекающимися окружностями всегда можно преобразовать в другую цепочку Штейнера из окружностей одинакового размера, зажатую между двумя концентрическими окружностями. Следовательно, любая такая цепь Штейнера принадлежит бесконечному семейству цепей Штейнера, связанных вращением преобразованной цепи вокруг O , общего центра преобразованных ограничивающих окружностей.

Эллиптическое/гиперболическое место центров

Центры окружностей цепочки Штейнера лежат на коническом сечении . Например, если меньший заданный круг лежит внутри большего, то центры лежат на эллипсе . Это верно для любого набора окружностей, которые касаются изнутри одной данной окружности и касаются снаружи другой; такие системы кругов появляются в цепочке Паппа , задаче Аполлония и трехмерном гекслете Содди . Аналогично, если некоторые окружности цепи Штейнера касаются снаружи обеих данных окружностей, их центры должны лежать на гиперболе, тогда как те, которые внутренне касаются обеих, лежат на другой гиперболе.

Окружности цепи Штейнера касаются двух неподвижных окружностей, обозначенных здесь как α и β , где β заключена в α . Обозначим радиусы этих двух окружностей как соответственно _{центрами} , а _{rα и rβ} будут точки A и B. их Пусть радиус, диаметр и центр k ^й цепи Штейнера обозначим rk _как , dk _{соответственно} и Pk _{окружность} .

Все центры окружностей в цепочке Штейнера расположены на общем эллипсе по следующей причине. ^[2] Сумма расстояний от центральной точки k ^й окружности цепи Штейнера к двум центрам A и B неподвижных окружностей равна константе

{\overline {\mathbf {P} _{k}\mathbf {A} }}+{\overline {\mathbf {P} _{k}\mathbf {B} }}=(r_{\alpha }-r_{k})+\left(r_{\beta }+r_{k}\right)=r_{\alpha }+r_{\beta }

Таким образом, для всех центров окружностей цепочки Штейнера сумма расстояний до A и B равна одной и той же константе r _α + r _β . Это определяет эллипс, двумя фокусами которого являются точки A и B , центры окружностей α и β , которые образуют цепочку окружностей Штейнера.

Сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси а эллипса; следовательно,

2a=r_{\alpha }+r_{\beta }

Пусть p расстоянию между фокусами A и B. равно Тогда эксцентриситет e определяется равенством 2 ae = p или

e={\frac {p}{2a}}={\frac {p}{r_{\alpha }+r_{\beta }}}

По этим параметрам малую полуось b и полурасширенную прямую кишку L. можно определить

b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)=a^{2}-{\frac {p^{2}}{4}}

L={\frac {b^{2}}{a}}=a-{\frac {p^{2}}{4a}}

Следовательно, эллипс можно описать уравнением в терминах расстояния d до одного фокуса

d={\frac {L}{1-e\cos \theta }}

где θ — угол с линией, соединяющей два фокуса.

Сопряженные цепи

Сопряженные цепи Штейнера с n = 4
Цепь Штейнера с двумя заданными кружками, показанными красным и синим цветом.
Тот же набор кругов, но с другим выбором данных кругов.
Тот же набор кругов, но с еще одним выбором данных кругов.

Если в цепочке Штейнера четное число окружностей, то любые две диаметрально противоположные окружности в цепочке можно считать двумя заданными окружностями новой цепочки Штейнера, которым принадлежат исходные окружности. Если исходная цепочка Штейнера имеет n кругов в m витках, а новая цепочка имеет p кругов в q витков, то уравнение выполняется

{\frac {m}{n}}+{\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}.

Простой пример имеет место для цепочек Штейнера из четырех окружностей ( n = 4) и одной витки ( m = 1). В этом случае данные окружности и окружности цепи Штейнера эквивалентны в том смысле, что оба типа окружностей касаются четырех других; в более общем смысле, окружности цепи Штейнера касаются четырех окружностей, но две данные окружности касаются n окружностей. В этом случае любая пара противоположных членов цепочки Штейнера может быть выбрана в качестве заданных окружностей другой цепи Штейнера, включающей исходные заданные окружности. Поскольку m = p = 1 и n = q = 4, уравнение Штейнера удовлетворяется:

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}.

Обобщения

Гекслет Содди — это трехмерный аналог цепочки Штейнера.

Простейшее обобщение цепи Штейнера — позволить данным окружностям касаться или пересекать друг друга. В первом случае это соответствует цепочке Паппуса , имеющей бесконечное число окружностей.

Гекслет Содди — это трехмерное обобщение цепочки Штейнера из шести окружностей. Центры шести сфер ( гекслет ) перемещаются по тому же эллипсу, что и центры соответствующей цепочки Штейнера. Оболочка сфер гекслета представляет собой циклиду Дюпена , инверсию тора . Шесть сфер касаются не только внутренней и внешней сфер, но также и двух других сфер, центрированных выше и ниже плоскости центров гекслетов.

Еще одно обобщение - кратные кольца цепей Штейнера. Обыкновенная цепочка Штейнера получается обращением кольцевой цепочки касательных окружностей, ограниченной двумя концентрическими окружностями. Это можно обобщить до инвертирования трех или более концентрических окружностей, между которыми расположены кольцевые цепочки касательных окружностей.

Иерархические цепи Штейнера — еще одно обобщение. Если две данные окружности обычной цепи Штейнера вложены друг в друга, т. е. если одна полностью лежит внутри другой, то большая данная окружность описывает окружности цепи Штейнера. В иерархической цепи Штейнера каждый круг цепи Штейнера сам по себе является описывающим данный круг другой цепи Штейнера внутри нее; этот процесс может повторяться бесконечно, образуя фрактал .

См. также

Примечания

^ означает, что произвольная окружность касается внутренне или внешне так же, как окружность исходной цепи Штейнера.

Ссылки

^ Огилви, с. 60.
^ Огилви, с. 57.

Библиография

Огилви, CS (1990). Экскурсии по геометрии . Дувр. стр. 51–54 . ISBN 0-486-26530-7 .
Коксетер, HSM ; Грейцер, С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Новая математическая библиотека. Том. 19. Вашингтон : МАА . стр. 123–126, 175–176, 180. ISBN. 978-0-88385-619-2 . Артикул 0166.16402 .
Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 113–115. ISBN 978-0-486-46237-0 .
Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 244–245 . ISBN 0-14-011813-6 .

Дальнейшее чтение

Ивс Х (1972). Обзор геометрии (переработанное издание). Бостон: Аллин и Бэкон. стр. 134–135. ISBN 978-0-205-03226-6 .
Педо Д. (1970). Курс геометрии для колледжей и университетов . Издательство Кембриджского университета. стр. 97–101. ISBN 978-0-521-07638-8 .
Кулидж Дж. Л. (1916). Трактат о круге и сфере . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 31–37.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Цепочка Штайнера» . Математический мир .
Интерактивная анимация цепочки Штейнера , CodePen
Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий анимацию цепи Штайнера с переменным количеством кругов, созданную с помощью GeoGebra .

[1] означает, что произвольная окружность касается внутренне или внешне так же, как окружность исходной цепи Штейнера.

[2] Огилви, с. 60.

[3] Огилви, с. 57.

[а]

[1]

[2]