Форд круг

Круги Форда для p / q с q от 1 до 20. Круги с q ≤ 10 обозначаются как ⁠ p / q ⁠ и имеет цветовую маркировку в соответствии с q . Каждая окружность касается базовой линии и соседних окружностей. Несократимые дроби с одинаковым знаменателем имеют кружки одинакового размера.

В математике круг Форда — это круг в евклидовой плоскости , принадлежащий к семейству кругов, касающихся всех окружностей. $x$-ось в рациональных точках. Для каждого рационального числа $p/q$, выражаясь в самых простых терминах, существует круг Форда, центр которого находится в точке $(p/q,1/(2q^{2}))$ и чей радиус $1/(2q^{2})$. Это касается $x$-ось в нижней точке, $(p/q,0)$. Два круга Форда для рациональных чисел $p/q$ и $r/s$ (оба в самых простых терминах) являются касательными окружностями , когда $|ps-qr|=1$ в противном случае эти два круга не пересекаются.

История

Круги Форда — это частный случай взаимно касающихся кругов; базовую линию можно представить как круг бесконечного радиуса. Системы взаимно касающихся окружностей изучал Аполлоний Пергский , в честь которого проблема Аполлония и аполлоническая прокладка . названы В 17 веке Рене Декарт открыл теорему Декарта — соотношение между обратными радиусами взаимно касающихся окружностей.

Круги Форда также появляются в сангаку (геометрических головоломках) японской математики . Типичная задача, представленная на табличке 1824 года в префектуре Гунма , касается взаимосвязи трёх соприкасающихся окружностей с общей касательной . Учитывая размер двух внешних больших кругов, каков размер маленького круга между ними? Ответ эквивалентен кругу Форда:

${\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.$

Круги Форда названы в честь американского математика Лестера Р. Форда-старшего , написавшего о них в 1938 году.

Характеристики

Сравнение окружностей Форда и диаграммы Фарея с дугами окружностей для n от 1 до 9. Обратите внимание, что каждая дуга пересекает соответствующие ей окружности под прямым углом. На изображении SVG наведите указатель мыши на круг или кривую, чтобы выделить его и его термины.

Круг Форда, связанный с дробью $p/q$ обозначается $C[p/q]$ или $C[p,q].$ соответствует круг Форда Каждому рациональному числу . Кроме того, линия $y=1$ считается кругом Форда – его можно рассматривать как круг Форда, связанный с бесконечностью , и это так. $p=1,q=0.$

Два разных круга Форда либо не пересекаются , либо касаются друг друга. Никакие две внутренности кругов Форда не пересекаются, даже если существует круг Форда, касающийся x оси в каждой его точке с рациональными координатами. Если $p/q$ находится между 0 и 1, круги Форда, касающиеся $C[p/q]$ можно описать по-разному, как

1. круги $C[r/s]$ где $|ps-qr|=1,$
2. кружки, связанные с дробями $r/s$ это соседи $p/q$ в некоторой последовательности Фэрея , или
3. круги $C[r/s]$ где $r/s$ является следующим большим или следующим меньшим предком $p/q$ в дереве Штерна–Броко или где $p/q$ является следующим большим или следующим меньшим предком $r/s$.

Если $C[p/q]$ и $C[r/s]$ представляют собой две касательные окружности Форда, тогда окружность, проходящая через $(p/q,0)$ и $(r/s,0)$ (координаты x центров окружностей Форда) и перпендикулярно $x$-ось (центр которой находится на оси X) также проходит через точку, где две окружности касаются друг друга.

Центры окружностей Форда составляют дискретное (а значит, счетное) подмножество плоскости, замыканием которого является действительная ось — несчетное множество.

Круги Форда можно также рассматривать как кривые на комплексной плоскости . Модульная группа преобразований комплексной плоскости отображает круги Форда в другие круги Форда.

Круги Форда представляют собой подмножество кругов аполлонической прокладки, образованных линиями $y=0$ и $y=1$ и круг $C[0/1].$

Интерпретируя верхнюю половину комплексной плоскости как модель гиперболической плоскости ( модель полуплоскости Пуанкаре ), круги Форда можно интерпретировать как орициклы .В гиперболической геометрии любые два орицикла конгруэнтны . Когда эти орициклы описаны , апейрогонами . они замощают гиперболическую плоскость третьего порядка апейрогонами

Общая площадь кругов Форда

Существует связь между площадью кругов Форда и функцией Эйлера. $\varphi ,$ дзета -функция Римана $\zeta ,$ и постоянная Апери $\zeta (3).$ Поскольку никакие два круга Форда не пересекаются, отсюда сразу следует, что общая площадь кругов Форда

$\left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}$

меньше 1. Фактически общая площадь этих кругов Форда определяется сходящейся суммой, которую можно вычислить. Согласно определению, площадь

$A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.$

Упрощение этого выражения дает

$A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},$

где последнее равенство отражает производящую функцию Дирихле для функции тотента Эйлера $\varphi (q).$ С $\zeta (4)=\pi ^{4}/90,$ это наконец становится

$A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.$

Обратите внимание, что по соглашению из предыдущих расчетов была исключена окружность радиуса ${\frac {1}{2}}$ соответствующий дроби ${\frac {0}{1}}$. Он включает в себя полный круг ${\frac {1}{1}}$, половина которого лежит за пределами единичного интервала, следовательно, сумма по-прежнему представляет собой долю единичного квадрата, покрытого кругами Форда.

Ford spheres (3D)

Сферы Форда над комплексной областью

Понятие кругов Форда можно обобщить от рациональных чисел до гауссовских рациональных чисел , получив сферы Форда. В этой конструкции комплексные числа вложены в виде плоскости в трехмерное евклидово пространство , и для каждой гауссовой рациональной точки в этой плоскости строится сфера, касающаяся плоскости в этой точке. Для гауссовского рационального рационала, представленного в самых простых терминах как $p/q$, диаметр этой сферы должен быть $1/2q{\bar {q}}$ где ${\bar {q}}$ представляет собой сопряжение комплексное $q$. Полученные сферы касаются пар гауссовских рациональных чисел. $P/Q$ и $p/q$ с $|Pq-pQ|=1$, а в остальном они не пересекаются друг с другом.

См. также

• Аполлоническая прокладка - фрактал с бесконечными взаимно касательными кругами по кругу, а не по линии.
• Цепь Штайнера
• Цепочка Паппус

Внешние ссылки

• Трогательные круги Форда на развязке узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Форд Серкл» . Математический мир .
• Бонаон, Фрэнсис . «Веселые дроби и круги Форда» (видео на YouTube) . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. Проверено 9 июня 2015 г.