Цепочка Паппус

В геометрии цепь Паппа представляет собой кольцо окружностей между двумя касательными окружностями, исследованное Паппом Александрийским в III веке нашей эры .

Строительство

Арбелос и определяется двумя окружностями, $и точке$ CV $, CU$ касаются в $A$ где $CU заключен$ в $CV которые$ . Обозначим радиусы этих двух окружностей как $r U, r V$ соответственно, а их центрами будут точки $U, V$ . Цепочка Паппуса состоит из кругов в заштрихованной серой области, которые касаются снаружи $CU C$ (внутренний круг) и касаются изнутри $V ($ внешний круг). Пусть радиус, диаметр и центр $n$ ^й окружность цепи Паппуса обозначим как $r n, d n, P n$ соответственно.

Характеристики

Центры кругов

Эллипс

Все центры окружностей в цепочке Паппа расположены на общем эллипсе по следующей причине. Сумма расстояний от $n$ ^й окружности цепи Паппа к двум центрам $U, V$ окружностей арбелоса равна константе

${\overline {P_{n}U}}+{\overline {P_{n}V}}=(r_{U}+r_{n})+(r_{V}-r_{n})=r_{U}+r_{V}$

Таким образом, фокусами этого эллипса являются $U, V$ , центры двух окружностей, определяющих арбело; эти точки соответствуют серединам отрезков $AB, AC$ соответственно.

Координаты

Если $r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},$ тогда центр $n-$ го круга в цепочке будет:

$(x_{n},y_{n})=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)$

Радиусы кругов

Если $r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},$ тогда радиус $n-$ го круга в цепочке равен: $r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}$

Инверсия круга

Высота $h n$ центра $n$ ^й Диаметр окружности над основанием $ACB$ равен $n$ раз $d n$ . ^[1] Это можно показать, окружность с центром в точке касания $A.$ инвертируя Окружность инверсии выбрана так, чтобы пересекать $n$ ^й окружность перпендикулярно, так что $n$ ^й круг трансформируется в себя. Два круга арбелоса, $CU замыкающие$ и $CV и$ , преобразуются в параллельные линии, касательные $n$ ^й круг; следовательно, другие круги цепочки Паппуса преобразуются в аналогичные зажатые круги того же диаметра. Начальный круг $C 0$ и конечный круг $C n$ каждый вносят вклад $½ d n$ в высоту $h n$ , тогда как каждый из кругов $от C 1$ до $C n -1$ вносит $d n$ . Сложение этих вкладов дает уравнение $h n = nd n$ .

С помощью того же обращения можно показать, что точки касания окружностей цепочки Паппуса лежат на одной окружности. Как отмечалось выше, инверсия с центром в точке $А$ преобразует круги арбелоса $CU в две параллельные линии, а, CV$ круги цепочки Паппуса в стопку кругов одинакового размера, зажатых между двумя параллельными линиями. Следовательно, точки касания преобразованных окружностей лежат на линии посередине между двумя параллельными прямыми. Отменив инверсию в окружности, эта линия касательных точек снова преобразуется в окружность.

Цепь Штайнера

По этим свойствам наличия центров на эллипсе и касаний на окружности цепочка Паппуса аналогична цепочке Штейнера , в которой конечное число окружностей касается двух окружностей.

Ссылки

^ Огилви, стр. 54–55.

Библиография

Огилви, CS (1990). Экскурсии по геометрии . Дувр. стр. 54–55 . ISBN 0-486-26530-7 .
Банкофф, Л. (1981). «Как Папп это сделал?». В Кларнере, Д.А. (ред.). Математический Гарднер . Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт. стр. 112–118.
Джонсон, РА (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0 .
Уэллс, Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 5–6 . ISBN 0-14-011813-6 .

Внешние ссылки

Флоер ван Ламоен и Эрик В. Вайсштейн. «Цепочка Паппуса» . Математический мир .
Тан, Стивен. «Арбелос» .

[1] Огилви, стр. 54–55.

[1]