Теорема о замыкании Понселе
В геометрии , теорема замыкания Понселе также известная как поризм Понселе , гласит, что всякий раз, когда многоугольник вписан в одно коническое сечение и описывает другое, этот многоугольник должен быть частью бесконечного семейства многоугольников, которые все вписаны в одни и те же два конических сечения и описывают их. коники. [ 1 ] [ 2 ] Он назван в честь французского инженера и математика Жана-Виктора Понселе , написавшего о нем в 1822 году; [ 3 ] однако треугольный корпус был открыт значительно раньше, в 1746 году Уильямом Чапплом . [ 4 ]
Поризм Понселе можно доказать аргументом с использованием эллиптической кривой , точки которой представляют собой комбинацию линии, касающейся одной коники, и точки пересечения этой линии с другой коникой.
Заявление
[ редактировать ]Пусть C и D — две плоские коники . Если можно найти для данного n > 2 один n -сторонний многоугольник который одновременно вписан в C (то есть все его вершины лежат на C ) и описан вокруг D (то есть все его ребра касаются , D ), то их можно найти бесконечно много. Каждая точка C или D является вершиной или касанием (соответственно) одного такого многоугольника.
Если коники представляют собой круги , то многоугольники, вписанные в одну окружность и описанные вокруг другой, называются бицентрическими многоугольниками , поэтому этот частный случай поризма Понселе можно выразить более кратко, сказав, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного семейства бицентрических многоугольников. многоугольники относительно одних и тех же двух окружностей. [ 5 ] : с. 94
Эскиз доказательства
[ редактировать ]Рассматривайте C и D как кривые на комплексной проективной плоскости P. 2 . Для простоты предположим, что C и D пересекаются поперечно (это означает, что каждая точка их пересечения является простым пересечением). Тогда по теореме Безу пересечение C ∩ D двух кривых состоит из четырех комплексных точек. Для произвольной точки d в D пусть ℓ d будет касательной к D в точке d . Пусть X — подмногообразие C × D, состоящее из ( c , d ), такое, что ℓ d проходит через c . Учитывая c , число d с ( c , d ) ∈ X равно 1, если c ∈ C ∩ D , и 2 в противном случае. Таким образом, проекция X → C ≃ P 1 представляет X как покрытие степени 2, разветвленное выше 4 точек, поэтому X является эллиптической кривой (как только мы фиксируем базовую точку на X ). Позволять будет инволюцией X, отправляющей общую точку ( c , d ) в другую точку ( c , d ′) с той же первой координатой. Любая инволюция эллиптической кривой с неподвижной точкой, выраженная в групповом законе, имеет вид x → p − x для некоторого p , поэтому имеет такую форму. Аналогично, проекция X → D представляет собой морфизм степени 2, разветвленный по точкам контакта на D четырех прямых, касающихся как C , так и D , и соответствующая инволюция имеет вид x → q − x для некоторого q . Таким образом, состав переводом на X. является Если мощность имеет фиксированную точку, эта сила должна быть идентичностью. В обратном переводе на язык C и D это означает, что если одна точка c ∈ C (наделенная соответствующим d ) порождает замыкающуюся орбиту (т. е. дает n -угольник), то то же самое делает и каждая точка. Вырожденные случаи, когда C и D не являются трансверсальными, следуют из предельного аргумента.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Поризм Понселе». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
- ^ Кинг, Джонатан Л. (1994). «Три проблемы в поисках меры» . амер. Математика. Ежемесячно . 101 : 609–628. дои : 10.2307/2974690 .
- ^ Понселе, Жан-Виктор (1865) [1-й. ред. 1822]. Трактат о проективных свойствах фигур; полезная работа для тех, кто занимается применением начертательной геометрии и геометрическими операциями в полевых условиях (на французском языке) (2-е изд.). Париж: Готье-Виллар. стр. 311–317.
- ^ Дель Сентина, Андреа (2016), «Поризм Понселе: длинная история новых открытий, I», Архив истории точных наук , 70 (1): 1–122, doi : 10.1007/s00407-015-0163-y , МР 3437893
- ^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
- Бос, HJM ; Керс, К.; Оорт, Ф.; Рэйвен, Д.В. «Теорема Понселе о замыкании». Математические экспозиции 5 (1987), вып. 4, 289–364.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Дэвид Шпейер о поризме Понселе
- Д. Фукс, С. Табачников, Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике
- Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий случаи n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (включая выпуклые случаи для n = 7, 8), созданные с помощью GeoGebra .
- Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий поризм Понселе для общего эллипса и параболы, созданный с использованием GeoGebra .
- Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий поризм Понселе для двух общих эллипсов (порядок 3), созданных с помощью GeoGebra .
- Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий поризм Понселе для двух общих эллипсов (порядок 5), созданных с помощью GeoGebra .
- Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий поризм Понселе для двух общих эллипсов (порядок 6), созданных с помощью GeoGebra .
- Java-апплет, показывающий внешний случай n = 3 в Национальном университете Цин Хуа.
- Статья о поризме Понселе в Mathworld.