Гипотеза Игана

В геометрии гипотеза Игана дает достаточное и необходимое условие для радиусов двух сфер и расстояния между их центрами, так что существует симплекс , который полностью содержится внутри большей сферы и полностью охватывает меньшую сферу. Гипотеза открытое обобщает равенство, Уильямом Чапплом (а позднее независимо Леонардом Эйлером ), которое является частным случаем теоремы о замыкании Понселе , а также неравенство Грейс-Дэниелссона в одном измерении выше.

Гипотеза была предложена в 2014 году австралийским математиком и писателем-фантастом Грегом Иганом . «Достаточная» часть была доказана в 2018 году, а «необходимая» — в 2023 году.

Основы

Для произвольного треугольника ( $2$ -симплекс), радиус $r$ вписанной в него окружности радиус $R$ окружности расстояния и $d$ их центров связаны теоремой Эйлера в геометрии :

d^{2}=R(R-2r)

,

который был опубликован Уильямом Чапплом в 1746 году. ^[1] и Леонарда Эйлера в 1765 году. ^[2]

Для двух сфер ( $2$ -сферы) с соответствующими радиусами $r$ и $R$ , выполнение $r<R$ , существует (неправильный) тетраэдр ( $3$ -симплекс), который полностью содержится внутри большей сферы и полностью заключает в себе меньшую сферу тогда и только тогда, когда расстояние $d$ их центров удовлетворяет неравенству Грейса – Даниэльссона :

d^{2}\leq (R+r)(R-3r)

.

Этот результат был независимо доказан Джоном Хилтоном Грейсом в 1917 году и Г. Дэниэлссоном в 1949 году. ^[3]^[4] Связь неравенства с квантовой теорией информации описал Энтони Милн. ^[5]

Гипотеза

Учитывать $n$ -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ для $n\geq 2$ . На двоих $n-1$ - сферы с соответствующими радиусами $r$ и $R$ , выполнение $r<R$ , существует $n$ - симплекс , который полностью содержится внутри большей сферы и полностью заключает в себе меньшую сферу тогда и только тогда, когда расстояние $d$ своих центров выполняет:

d^{2}\leq (R+(n-2)r)(R-nr)

.

Гипотеза была предложена Грегом Иганом в 2014 году. ^[6]

Для случая $n=1$ , где неравенство сводится к $d\leq R-r$ , гипотеза тоже верна, но тривиальна. А $0$ -сфера состоит из двух точек и $1$ -симплекс — это просто закрытый интервал . Желаемый $1$ -симплекс из двух данных $0$ -сферы можно просто выбрать как замкнутый интервал между двумя точками большей сферы, которая содержит меньшую сферу тогда и только тогда, когда она содержит обе свои точки на соответствующем расстоянии. $|d-r|$ и $d+r$ от центра большей сферы, следовательно, тогда и только тогда, когда приведенное выше неравенство выполнено.

Статус

Грег Иган показал, что условие является достаточным в сообщении в блоге Джона Баэза в 2014 году. Они были утеряны из-за реорганизации веб-сайта, но центральные части были скопированы в исходное сообщение в блоге. Дальнейшие комментарии Грега Игана от 16 апреля 2018 года касаются поиска обобщенной гипотезы, касающейся эллипсоидов . ^[6] Сергей Дроздов 16 октября 2023 года опубликовал статью об ArXiv, показывающую, что это условие также необходимо. ^[7]

Ссылки

^ Чаппл, Уильям, Miscellanea Curiosa Mathematica (ред.), Очерк о свойствах треугольников, вписанных в две заданные окружности и описанных вокруг них (1746) , том. 4, стр. 117–124, формула внизу стр. 123.
^ Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), The Mathematical Gazette (редактор), Эйлер и геометрия треугольника , том. 91, стр. 436–452. {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Грейс, Дж. Х. (1918), Proc. Лондонская математика. (ред.), Тетраэдры по отношению к сферам и квадрикам , т. 1, с. Соц.17, стр. 259–271.
^ Даниэльссон, Г. (1952), Йохан Грундт Танумс Форлаг (ред.), Доказательство неравенства d2≤(R+r)(R−3r) для расстояния между центрами описанной и вписанной сфер тетраэдра , стр. . 101–105
^ Энтони Милн (2 апреля 2014 г.). «Неравенства Эйлера и Грейс-Дэниелссон для вложенных треугольников и тетраэдров: вывод и обобщение с использованием квантовой теории информации» . Проверено 22 ноября 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Джон Баэз (01 июля 2014 г.). «Неравенство Грейс-Дэниелссон» . Проверено 22 ноября 2023 г.
^ Сергей Дроздов. «Гипотеза Игана верна» . Проверено 22 ноября 2023 г.

[:16-1] Чаппл, Уильям, Miscellanea Curiosa Mathematica (ред.), Очерк о свойствах треугольников, вписанных в две заданные окружности и описанных вокруг них (1746) , том. 4, стр. 117–124, формула внизу стр. 123.

[:17-2] Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), The Mathematical Gazette (редактор), Эйлер и геометрия треугольника , том. 91, стр. 436–452. {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[:13-3] Грейс, Дж. Х. (1918), Proc. Лондонская математика. (ред.), Тетраэдры по отношению к сферам и квадрикам , т. 1, с. Соц.17, стр. 259–271.

[:14-4] Даниэльссон, Г. (1952), Йохан Грундт Танумс Форлаг (ред.), Доказательство неравенства d2≤(R+r)(R−3r) для расстояния между центрами описанной и вписанной сфер тетраэдра , стр. . 101–105

[:15-5] Энтони Милн (2 апреля 2014 г.). «Неравенства Эйлера и Грейс-Дэниелссон для вложенных треугольников и тетраэдров: вывод и обобщение с использованием квантовой теории информации» . Проверено 22 ноября 2023 г.

[:18-6] Jump up to: ^а ^б Джон Баэз (01 июля 2014 г.). «Неравенство Грейс-Дэниелссон» . Проверено 22 ноября 2023 г.

[:19-7] Сергей Дроздов. «Гипотеза Игана верна» . Проверено 22 ноября 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]