Поризм

Поризм — это математическое утверждение или следствие . Оно использовалось для обозначения прямого следствия доказательства , аналогично тому, как следствие относится к прямому следствию теоремы . В современном использовании это соотношение, которое справедливо для бесконечного диапазона значений, но только если предполагается определенное условие, такое как поризм Штейнера . Термин происходит от трех книг Евклида , которые были утеряны. Предложение может быть не доказано, поэтому поризм может не быть теоремой или истиной.

Происхождение

Книга, в которой сначала говорится о поризмах, – это Евклида » «Поризмы . Все, что о нем известно, содержится в Паппа Александрийского » «Сборнике , который упоминает его вместе с другими геометрическими трактатами и дает несколько лемм , необходимых для его понимания. Папп сообщает:

Поризмы всех классов не являются ни теоремами, ни проблемами, а занимают промежуточное положение между ними, так что их формулировки могут быть сформулированы либо как теоремы, либо как проблемы, и, следовательно, одни геометры думают, что они являются теоремами, а другие - что они являются проблемами. руководствуясь исключительно формой высказывания. Но из определений ясно, что старые геометры лучше понимали разницу между этими тремя классами. Старшие геометры рассматривали теорему как направленную на доказательство того, что предлагается, задачу как направленную на построение предложенного и, наконец, поризм как направленную на нахождение предложенного ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ).

Папп сказал, что последнее определение было изменено некоторыми более поздними геометрами, которые определили поризм как случайную характеристику как τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hipothései topikoû theōrḗmatos ), то, что не соответствует теореме о локусе из-за ( или в его ) гипотеза. Прокл указал, что слово «поризм» использовалось в двух смыслах: один смысл - это «следствие», как результат, которого не искали, но который, как считается, следует из теоремы. В другом смысле он ничего не добавил к определению «старших геометров», за исключением того, что сказал, что нахождение центра круга и нахождение наибольшей общей меры суть поризмы.

о

Папп отверг определение поризма, данное Евклидом . Поризм, выражаясь современным языком, утверждает, что даны четыре прямые линии, из которых три поворачиваются вокруг точек, в которых они пересекаются с четвертой, если две точки пересечения этих прямых лежат каждая на фиксированной прямой, оставшаяся точка пересечение также будет лежать на другой прямой. Общее определение применимо к любому числу n прямых линий, из которых n может вращаться вокруг такого количества точек, зафиксированных на ( n + 1)-й. Эти n прямых линий разрезают два и два на 1 ⁄ 2 n ( n − 1) очков, 1 ⁄ 2 n ( n − 1) — треугольное число со стороной n − 1. Если их заставить вращаться вокруг n неподвижных точек так, что любое n − 1 из их 1 ⁄ 2 n ( n − 1) точек пересечения, выбранных с некоторым ограничением, лежат на n − 1 заданных фиксированных прямых, тогда каждая из оставшихся точек пересечения, 1 ⁄ 2 n ( n - 1)( n - 2) описывает прямую линию. Число

Вышеупомянутое можно выразить так: если около двух фиксированных точек P и Q, то поворот совершается по двум прямым, встречающимся на данной прямой L, и если одна из них отсекает отрезок AM от фиксированной прямой. , AX, заданные в положении, другой фиксированной прямой BY и фиксированной на ней точке B, могут быть определены так, что отрезок BM', образованный второй движущейся линией на этой второй фиксированной линии, измеренной от B, имеет заданное соотношение X до АМ. Леммы, которые Папп дает в связи с поризмами, таковы:

1. фундаментальная теорема о том, что поперечное или ангармоническое отношение пучка четырех прямых, сходящихся в точке, постоянно для всех трансверсалей;
2. доказательство гармонических свойств полного четырехугольника;
3. теорема о том, что если шесть вершин шестиугольника лежат три и три на двух прямых, то три точки схождения противоположных сторон лежат на прямой.

Последующий анализ

Роберт Симсон объяснил единственные три положения, которые Папп указывает с достаточной полнотой, и это было опубликовано в «Философских трудах» в 1723 году. Позже он исследовал предмет поризмов в целом в работе, озаглавленной « De porismatibus traclatus»; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam for sperat auctor и опубликовано после его смерти в книге Роберти Симсона Opera Quaedam Reliqua (Глазго, 1776).

Трактат Симсона De porismatibus начинается с определений теоремы, проблемы, данных, поризма и локуса. Симон писал, что определение Паппа слишком общее и что он заменил его следующим:

Поризм — это утверждение, в котором предлагается доказать, что какая-то вещь или несколько вещей даны, кому, или кому, а также какой-либо из бесчисленных вещей, которые не даны, но имеют одно и то же основание для те вещи, которые описаны. Теорему можно сформулировать и в форме задачи, если, конечно, предлагается найти данные, на основе которых эти данные необходимо доказать.

Симсон сказал, что локус — это разновидность поризма. Затем следует латинский перевод заметки Паппа о поризмах и положений, составляющих основную часть трактата.

Джона Плейфэра Мемуары ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, т. iii), своего рода продолжение трактата Симсона, исследуют вероятное происхождение поризмов или шаги, которые привели древних геометров к их открытию. Плейфейр заметил, что тщательное исследование всех возможных частных случаев предложения покажет, что

1. при определенных условиях задача становится невозможной;
2. при некоторых других условиях неопределенны или способны иметь бесконечное число решений.

Эти случаи можно было определить отдельно, они были своего рода промежуточными между теоремами и задачами и назывались «поризмами». Плейфэр определил поризм как «предложение, подтверждающее возможность обнаружения таких условий, которые сделают определенную проблему неопределенной или способной к бесчисленным решениям».

Хотя определение поризма, данное Playfair, по-видимому, пользуется наибольшим одобрением в Англии, точка зрения Симсона получила наибольшее признание за границей и получила поддержку Мишеля Шасла . Однако в Лиувилля « Journal de mathematiques pures et appliquées» (т. XX., июль 1855 г.) П. Бретон опубликовал Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide , в которых дал новый перевод текста Паппа, и стремился обосновать взгляд на природу поризма, который более соответствует определению Паппа. За этим в том же журнале и в журнале La Science последовал спор между Бретоном и Винсентом, который оспаривал интерпретацию, данную первым тексту Паппа, и высказался в пользу идеи Франса ван Скутена , выдвинутой в его Mathematicae. упражнения (1657 г.). По Скутену, если различные отношения между прямыми на фигуре записать в виде уравнений или пропорций, то соединение этих уравнений всеми возможными способами и выведенных таким образом из них новых уравнений приводит к открытию бесчисленных новые свойства фигуры.

Дискуссии между Бретоном и Винсентом, к которым присоединился К. Хаусель, не продвинули вперед работу по восстановлению « Поризмов » Евклида , оставленную Шасле. Его работа ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , Париж, 1860) в полной мере использует весь материал, найденный у Паппа.

Интересную гипотезу о поризмах выдвинул Х. Г. Цойтен ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, гл. VIII). Цойтен заметил, например, что интерцепт-поризм по-прежнему верен, если две фиксированные точки являются точками на конике, а прямые линии, проведенные через них, пересекаются на конике, а не на фиксированной прямой. Он предположил, что поризмы являются побочным продуктом полностью развитой проективной геометрии коник.

См. также

• Поризм Понселе
• Поризм Штейнера

Ссылки

• Александр Джонс (1986) Книга 7 Сборника , часть 1: введение, текст, перевод ISBN   0-387-96257-3 , часть 2: комментарий, указатель, цифры. ISBN   3-540-96257-3 , Springer-Verlag .
• (Лейпциг, 1882) Дж. Л. Хейберга. Включена Litterargeschichtliche Studien über Euclid глава о поризмах (с филологической точки зрения). ценная
• Август Рихтер. Поризмы адаптированы из Симсона (Эльбинг, 1837 г.).
• М. Кантор , «О поризмах Евклида и их прорицателей», в « Шломильха Цайтше » . ф. Математика и Физика. (1857 г.) и Literaturzeitung (1861 г.), с. 3 сек.
• Т. Лейденфрост , Поризмы Евклида ( Программа средней школы в Веймаре , 1863 г.)
• Джон Дж. Милн (1911) Элементарный трактат о взаимной геометрии с историческими примечаниями , страница 115, Cambridge University Press .
• Г-жа Бухбиндер , «Поризмы и данные Евклида» ( программа Королевской государственной школы Пфорта , 1866 г.).

Атрибуция:

• В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе : Хит, Томас Литтл (1911). « Поризм ». В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 24 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 102–103.